(新高考)高考数学一轮复习学案5.3《第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案5.3《第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(含详解)，共14页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。

第3讲　简单的三角恒等变换


一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β；
cos(α∓β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos__α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．三角函数公式的关系

常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
(4)辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.
二、教材衍化
1．若cos α＝－.α是第三象限的角，则sin＝________．　
解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－.
答案：－
2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．
解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
答案：
3．化简：＝________．
解析：原式＝
＝＝＝.
答案：

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)不会用公式找不到思路；
(2)不会合理配角出错．
1．sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
答案：
2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
答案：
第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考点一　和差公式的直接应用(基础型)
复习指导1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
核心素养：逻辑推理、数学运算
1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选A．因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，
所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，
所以2sin α＝1－sin2 α，
解得sin α＝，故选B．
3．已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝×＋×＝－.

利用三角函数公式时应注意的问题
(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
考点二　三角函数公式的逆用与变形应用(基础型)
能运用三角函数公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
核心素养：数学运算
(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【解析】　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
(2)因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1　①，
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0　②，
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－.
【答案】　(1)B　(2)－

(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．

1．(1－tan215°)cos215°的值等于(　　)
A． B．1
C． D．
解析：选C．(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D．cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝.
3．(一题多解)cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　)
A． B．
C．1 D．
解析：选D．法一：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D．
法二：因为cos 15°＝，sin 15°＝，所以cos 15°－4sin215°·cos 15°＝×－4××＝×(－2＋)＝×(2－2)＝.故选D．
考点三　三角公式的灵活应用(综合型)
三角公式的灵活应用实质是三角恒等变换，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
角度一　三角函数公式中变“角”
(2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．
【解析】　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，所以cos＝－，cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.
【答案】　－
角度二　三角函数公式中变“名”
求值：－sin 10°.
【解】　原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝＝＝.

三角函数公式应用的解题思路
(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[提醒]　转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
　求4sin 20°＋tan 20°的值．
解：原式＝4sin 20°＋
＝＝
＝＝.

[基础题组练]
1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A．－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°
＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°
＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.
2．(2020·福建五校第二次联考)已知cos＝，则sin 2α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选C．法一：因为cos＝，所以sin 2α＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝.故选C．
法二：因为cos＝，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，平方得1＋sin 2α＝，得sin 2α＝.故选C．
3．(2020·陕西榆林模拟)已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.
又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，
故选C．
4．(2020·武汉模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)
A． B．－
C． D．±
解析：选A．因为cos＝，
所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝
＝cos＝×＝.
故选A．
5．(2020·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C．因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.故选C．
6．(2020·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________．
解析：由sin α＋cos α＝，得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.
答案：
7．(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．
解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝
＝＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.
答案：－1　
8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________．
解析：依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.
又β是第三象限角，因此有cos β＝－，
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin ＝.
答案：
9．已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝＝＝－3.
(2)＝
＝＝＝1.
10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
[综合题组练]
1．(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C．tan α＋tan ＝2tan αtan －2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sincos ＝－.
2．(创新型)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
解析：选C．因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，
所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
所以＝＝＝＝＝2.故选C．
3．已知0<α<，且sin α＝，则tan＝________；＝________．
解析：因为0<α<，且sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝，
则tan＝tan(α＋)＝＝7.
＝
＝＝＝.
答案：7　
4．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，
所以即≤α≤π，
所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cos α＋sin α＝sin.
因为≤α≤π，所以≤α＋≤，
所以－1≤sin≤1，
即取值范围为[－1，1]．
答案：[－1，1]
5．已知函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．
解：(1)f＝sin＝sin＝－.
(2)f＝sin
＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．
因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，
所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)
＝×＝.
6．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.
又2α∈，所以cos 2α＝ ＝，
所以tan 2α＝＝.
(2)因为β∈，所以β－∈，
又sin＝，所以cos＝，
于是sin 2＝2sin·cos＝.
又sin 2＝－cos 2β，
所以cos 2β＝－，
又2β∈，所以sin 2β＝，
又cos2α＝＝，α∈，
所以cos α＝，sin α＝.
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×
＝－.