数学八年级下册17.1 一元二次方程精品单元测试课时训练

第17章   一元二次方程

考试时间：120分钟

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．下列方程中，为一元二次方程的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

【解答】解：．方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；

．符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；

．不是整式方程，故本选不合题意；

．一元一次方程，故本选项不合题意．

故选：．

【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．

2．将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是　　

A．3，5 B．3， C．，5 D．，

【分析】先把方程化为一般式为，然后确定二次项系数和一次项系数．

【解答】解：方程化为一般式为，

所以二次项系数、一次项系数分别是3，．

故选：．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．

3．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是　　

A． B． C．1 D．2

【分析】把代入方程得，然后解关于的方程即可．

【解答】解：把代入方程得，

解得．

故选：．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

4．受疫情及其他因素影响，2021年2月份猪肉价格两次大幅度上涨，排骨价格由原来23元千克，连续两次上涨后，售价上升到60元千克，则下列方程中正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】利用经过两次上涨后的猪肉价格原价每次上涨的百分数），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意得：．

故选：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

5．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．由定义求解即可．

【解答】解：方程是关于的一元二次方程，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

6．若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（　　）

A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12

【分析】将x＝a代入方程x2+2x﹣4＝0，求出a2+2a＝4，再代入所求代入式即可．

【解答】解：∵a为方程x2+2x﹣4＝0的解，

∴a2+2a﹣4＝0，

∴a2+2a＝4，

∴a2+2a﹣8＝4﹣8＝﹣4，

故选：C．

【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．

7．下列方程中，有实数根的是　　

A． B． C． D．

【分析】分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．

【解答】解：．此选项方程根的判别式△，此方程没有实数根；

．此选项方程根的判别式△，此方程没有实数根；

．此选项方程根的判别式△，此方程没有实数根；

．此选项方程根的判别式△，此方程有两个不相等的实数根；

故选：．

【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：

①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△时，方程无实数根．

8．关于的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是　　

A．3 B． C． D．

【分析】根据两根之和等于，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根．

【解答】解：，，

方程的两根之和，

方程的另一根．

故选：．

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

9．一元二次方程x2+3x+2＝0的实数根情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法判断

【分析】先计算出根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：∵Δ＝32﹣4×1×2＝1＞0，

∴方程有两个不相等的两个实数根．

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

10．已知一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为　　

A．1，5 B．，3 C．，1 D．，5

【分析】根据已知方程的解得出或，求出即可．

【解答】解：一元二次方程的两根分别为，1，

方程中或，

解得：或3，

即方程的两根分别为和3，

故选：．

【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据已知方程的解得出或是解此题的关键．

二．填空题（共4小题）

11．方程的解是 　，　．

【分析】利用因式分解法求解即可．

【解答】解：，

，

或，

，；

故答案为：，．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

12．方程两个根的和为 　3　，积为 　　．

【分析】直接利用根与系数的关系求解．

【解答】解：根据根与系数的关系两个根的和为3，积为2．

故答案为：3，2．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．

13．若一元二次方程无实根，则取值范围是 　　．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．

【解答】解：一元二次方程无实根，

△，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程无实数根”是解题的关键．

14．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过　3　秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．

【分析】根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可．

【解答】解：根据题意，知BP＝AB﹣AP＝6﹣t，BQ＝2t．

∵△PQB的面积等于△ABC面积的，

则根据三角形的面积公式，得PB•BQ＝××6×8，

2t（6﹣t）＝18，

（t﹣3）2＝0，

解得t＝3．

故经过3秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．

故答案是：3．

【点评】考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用直角三角形的面积公式列方程求解．

三．解答题（共9小题）

15．解方程：

（1）x2﹣4x﹣1＝0；

（2）100（x﹣1）2＝121．

【分析】（1）利用配方法求解即可；

（2）先求出（x﹣1）2的值，然后利用直接开平方法求解即可．

【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，

x2﹣4x＝1，

x2﹣4x﹣+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，

∴x﹣2＝或x﹣2＝﹣，

∴x1＝2+，x2＝2﹣；

（2）（x﹣1）2＝1.21，

开平方得，x﹣1＝±1.1，

∴x﹣1＝1.1或x﹣1＝﹣1.1，

∴x1＝2.1，x2＝﹣0.1．

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

16．已知关于的一元二次方程．

（1）当时，求方程的两个实数根；

（2）如果方程有两个相等的实数根，求的值．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△，可得出△，由偶次方的非负性可得出，即△，进而可证出方程总有两个实数根；

（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出，，结合方程的两个实数根都是正整数，即可得出的取值范围，取其中的最小整数即可得出结论．

【解答】解：（1），

关于的一元二次方程为，

，；

（2）方程有两个相等的实数根，

△，

．

【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解法，在解答（1）时得到方程的两个根是解题的关键．

17．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；

（2）将x＝﹣1代入原方程可求出m的值，进而可得出原方程为x2﹣4x﹣5＝0，设另一根为x1，利用根与系数的关系可得出关于x1的方程，解之即可求出x1的值．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×m≥0，

解得：m≤4，

∴实数m的取值范围为m≤4．

（2）把x＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m＝0，

解得：m＝﹣5，

∴原方程为x2﹣4x﹣5＝0．

设另一根为x1，则x1+（﹣1）＝4，

∴x1＝5，

∴m的值为﹣5，方程的另一根为5．

【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”．

18．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人．

（1）第二轮被传染上流感人数是 　　；（用含的代数式表示）

（2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有81人患病的情况发生，并说明理由．

【分析】（1）利用第二轮被传染上流感人数在每轮的传染中平均一个人传染的人数（第一轮被传染上流感人数，即可用含的代数式表示出第二轮被传染上流感人数；

（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，利用经过两轮传染后患病的人数第一轮被传染上流感人数第二轮被传染上流感人数，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，由其正值为正整数，可得出第二轮传染后会有81人患病的情况发生．

【解答】解：（1）在每轮的传染中平均一个人传染了个人，

第一轮被传染上流感人数是，第二轮被传染上流感人数是．

故答案为：．

（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，理由如下：

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去），

为正整数，

第二轮传染后会有81人患病的情况发生．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出第二轮被传染上流感人数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

19．等腰三角形的三边长分别为、、，若，与是方程的两根，求此三角形的周长．

【分析】分为腰及为底两种情况考虑：①若是三角形的腰，将代入原方程可求出的值，将的值代入原方程，解之即可得出，的值，结合三角形的周长计算公式，即可求出此三角形的周长；②若是三角形的底边，利用根的判别式△，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，将的值代入原方程，解之即可得出，的值，利用三角形的三边关系可得出此情况不符合题意，需舍去．综上即可得出此三角形的周长．

【解答】解：①若是三角形的腰，则与中至少有一边长为6．

将代入原方程得：，

解得：，．

当时，原方程可化为，

解得：，，

此时三角形三边长分别为4，6，6，

三角形的周长为；

当时，原方程可化为，

解得：，，

此时三角形三边长分别为6，6，10，

三角形的周长为．

②若是三角形的底边，则、为腰且，即方程有两个相等的实数根，

△，

解得：，

原方程可化为，

解得：，

，

不能构成三角形，舍去．

综上所述，此三角形的周长为16或22．

【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分为腰及为底两种情况，求出的值及方程的两根是解题的关键．

20．如图，在宽为长为的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为．若设路宽为，列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．

【分析】若设路宽为，耕地的长应该为，宽应该为；那么根据耕地的面积为，即可得出方程．

【解答】解：设路宽为，

则耕地的长应该为，宽应该为；

根据面积公式可得：．

整理得出：．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，可将耕地面积看作一整块的矩形的面积，根据矩形面积长宽求解．

21．百货大楼童装专柜平均每天可售出30件童装，每件盈利40元，为了迎接“周年庆”促销活动，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．要使平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？

【分析】设每件童装应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售童装获得的总利润每件童装的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合降价不能超过15元即可得出每件童装应降价10元．

【解答】解：设每件童装应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

又降价不能超过15元，

．

答：每件童装应降价10元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22．已知关于的方程．

（1）求证：不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根为，求的值．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△，可得出△，进而可证出：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值．

【解答】（1）证明：△，

不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；

（2）解：将代入原方程得：，

则

解得或6，

，的值为2或6．

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入，求出的值．

23．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同

（1）求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

【分析】（1）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；

（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．

【解答】解：（1）设每次下降的百分率为，根据题意，得：

，

解得：（舍或，

答：每次下降的百分率为；

（2）设每千克应涨价元，由题意，得

，

整理，得，

解得：，，

因为要尽快减少库存，所以符合题意．

答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．