(新高考)高考数学一轮考点复习10.1《两个计数原理、排列与组合》课时跟踪检测(含详解)

课时跟踪检测（五十三）  两个计数原理、排列与组合

一、基础练——练手感熟练度

1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是(　　)

A．26　　　　　　　　　 B．60

C．18  D．1 080

解析：选A　由分类加法计数原理知有5＋12＋3＋6＝26(种)不同走法．

2．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(　　)

A．10种  B．25种

C．52种  D．24种

解析：选D　每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．

3．(2021·德州模拟)某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(　　)

A．504  B．210

C．336  D．120

解析：选A　分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．

4．(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)

A．120种  B．90种

C．60种  D．30种

解析：选C　先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法．故选C.

5．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有________个．

解析：当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有1＋2＋3＋4＝10个这样的三角形．

答案：10

6．(2021·长春质检)某班主任准备请2020届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)

解析：若甲、乙同时参加，有CACA＝120(种)，若甲、乙有一人参加，有CCA＝960(种)，从而不同的发言顺序有1 080种．

答案：1 080

二、综合练——练思维敏锐度

1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)

A．192种  B．216种

C．240种  D．288种

解析：选B　第一类：甲在左端，有A＝120种排法；

第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝96种排法；

所以共有120＋96＝216种排法．

2．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)

A．4种  B．6种

C．10种  D．16种

解析：选B　分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，同理，甲先踢给丙时，满足条件也有3种方法．由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．

3．(多选)2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是(　　)

A．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种

D．所有不同分派方案共43种

解析：选ABC　对于选项A：若C企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共用24＝16种，若C企业派1名医生则有C·23＝32种，所以共有16＋32＝48种．

对于选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有·A＝36种．

对于选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，若甲企业分2人，则有A＝6种；若甲企业分1人，则有CCA＝6种，所以共有6＋6＝12种．

对于选项D：所有不同分派方案共有34种．

4．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为(　　)

A．CA  B．CA

C．CA  D．CA

解析：选C　先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C种方法，再排剩余的瓶子，有A种方法，故不同的放法共CA种，故选C.

5．从数字1,2,3,4,5,6,7中任取3个奇数，2个偶数，组成一个无重复数字且两个偶数数字不相邻的五位数，则满足条件的五位数共有(　　)

A．864个  B．432个

C．288个  D．144个

解析：选A　从数字1,2,3,4,5,6,7中任取3个奇数，2个偶数的取法种数为CC.把3个奇数全排列，有A种，再把2个偶数在3个奇数排后产生的空位置中排列，有A种，所以根据分步乘法计数原理知，满足条件的五位数共有CCAA＝864(个)．

6.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有(　　)

A．22种  B．24种

C．25种  D．27种

解析：选D　由题意知正方形ABCD(边长为2个单位)的周长是8个单位，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，表示三次骰子的点数之和是8或16，点数和为8或16的有125,134,116,224,233,466,556，共有7种组合．组合125,134，每种情况可以排列出A＝6种走法，共有2A＝2×6＝12种走法；组合116,224,233,466,556各自可以列出3种走法，共有5×3＝15种走法．根据分类加法计数原理知，共有12＋15＝27(种)走法，故选D.

7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)

A．12种  B．10种

C．9种  D．8种

解析：选A　将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．

8．学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种．(用数字作答)

解析：由已知可得，先将5名学生分成3组，有＝15种分组方法，再安排到三个班中有A种方法，所以共有15×A＝90种方案．

答案：90

9．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，则4只鞋子恰成两双的不同情况有________种；4只鞋子没有成双的不同情况有________种．

解析：根据题意只需选出两双鞋，所以有C＝45(种)情况．

4只鞋若没有成双的，则它们来自4双鞋；先从10双中取4双，有C种取法，再从每双中取一只，各有C种取法，所以由分步乘法计数原理共有CCCCC＝3 360(种)情况．

答案：45　3 360

10．(2021·泰安一模)北京大兴国际机场为4F级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)

解析：从4条跑道中选取安排共有A＝12种选择，

排除西一跑道、西二跑道都没有的A＝2种选择，共有12－2＝10种选择．

答案：10

11．(2021·潍坊模拟)植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在如图所示的一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，其中A，B，C分别与E，F，G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是________(用数字作答)．

解析：由题意对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有C种选法；在四个位置上种植有＝12种方法，则由分步乘法计数原理得共有C×12＝36种方法．

答案：36

12．(2021·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同的路口疏导交通，每个路口至少1人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有________种．

解析：把甲、乙2人看作一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少1人，共有C种方法，再把这3部分人分到3个路口，有A种方法，根据分步乘法计数原理，不同分法的种类为CA＝36(种)．

答案：36

13．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________．

解析：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．

答案：12

14．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．

(1)共有多少种不同的排法？

(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)

解：(1)从4名男生中选出2人，有C种选法，

从6名女生中选出3人，有C种选法，

根据分步乘法计数原理知选出5人，再把这5个人进行排列，共有CCA＝14 400(种)．

(2)在选出的5个人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，第二步再让男生插空，根据分步乘法计数原理知共有CCAA＝8 640(种)．

15．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？

(1)比21 034大的偶数；

(2)左起第二、四位是奇数的偶数．

解：(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；

当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有CA＝12个五位数；

当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有CA＝12个五位数；

当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；

当末位数字是4，而首位数字是3时，有A＝6个五位数．

故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．

(2)可分为两类：

末位数是0，个数有A·A＝4；

末位数是2或4，个数有A·C＝4.

故共有4＋4＝8个满足条件的五位数．