(新高考)高考数学一轮考点复习8.8.2《5大技法破解“计算繁而杂”这一难题》课时跟踪检测(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习8.8.2《5大技法破解“计算繁而杂”这一难题》课时跟踪检测(含详解)，共6页。试卷主要包含了过抛物线C，已知双曲线C，已知直线y＝2x＋m与椭圆C，记双曲线C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测（四十九）  5大技法破解“计算繁而杂”这一难题1．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为(　　)A.　　　　　　　　　　　 B．2C．3  D．2解析：选B　∵直线MF的斜率为，MN⊥l，∴∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，∴△NMF是边长为4的等边三角形，∴M到直线NF的距离为2.故选B.2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)A.－＝1  B．－＝1C.－＝1  D．－＝1解析：选D　不妨设B(0，b)，由＝2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，∴＝.①又||＝＝4，c2＝a2＋b2，∴a2＋2b2＝16.②由①②可得，a2＝4，b2＝6，∴双曲线C的方程为－＝1.3．已知直线y＝2x＋m与椭圆C：＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点．当       △AOB的面积取得最大值时，|AB|＝(　　)A.  B．C.  D．解析：选A　由得21x2＋20mx＋5m2－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，|AB|＝＝＝.又O到直线AB的距离d＝，则△AOB的面积S＝d·|AB|＝≤＝，当且仅当m2＝21－m2，即m2＝时，△AOB的面积取得最大值．此时，|AB|＝＝.4．记双曲线C：－＝1的左焦点为F，双曲线C上的点M，N关于原点对称，且∠MFN＝∠MOF＝90°，则＝(　　)A．3＋2  B．4＋2C．3＋  D．4＋解析：选A　设双曲线的右焦点是F′，由双曲线的对称性和∠MF′N＝90°，得四边形MFNF′是矩形，∵∠MOF＝120°，∴∠MOF′＝60°，故△MOF′是等边三角形．∴在Rt△MFF′中，∴∠MFF′＝30°，＝2c，∴＝c，＝c，∵－＝2a，∴c－c＝2a，∴＝＝＋1，∴＝＝－1＝(＋1)2－1＝3＋2，故选A.5．椭圆＋y2＝1上存在两点A，B，且A，B关于直线4x－2y－3＝0对称，若O为坐标原点，则＝(　　)A．1  B．C.  D．解析：选C　由题意直线AB与直线4x－2y－3＝0垂直，设直线AB的方程为y＝－x＋m.由消去y整理得x2－2mx＋2m2－2＝0，∵直线AB与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m)2－4(2m2－2)＝－4m2＋8>0，解得－<m<.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x1＋x2＝2m，∴x0＝＝m，y0＝－x0＋m＝，∴点M的坐标为.由题意得点M在直线4x－2y－3＝0上，∴4m－2×－3＝3m－3＝0，解得m＝1.∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2m＝1，∴＋＝(2,1)，∴|＋|＝.6．已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2)，直线l与抛物线交于相异两点A，B，若     △MAB的内切圆圆心为(1，t)，则直线l的斜率为________．解析：将点M(1,2)代入y2＝2px，可得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，由题意知，直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝my＋n(m≠0)，代入y2＝4x，得y2－4my－4n＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，又由△MAB的内切圆心为(1，t)，可得kMA＋kMB＝＋＝＋＝0，整理得y1＋y2＋4＝4m＋4＝0，解得m＝－1，从而l的方程为y＝－x＋n，所以直线l的斜率为－1.答案：－17．已知直线x＋2y－3＝0与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x－4y＋1＝0，则此椭圆的离心率为________．解析：联立得x＝1，y＝1，∴直线x＋2y－3＝0与3x－4y＋1＝0的交点为M(1,1)，∴线段AB的中点为M(1,1)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程＋＝1(a>b>0)，得两式相减整理，得＝－＝－，∴a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，∴a＝b＝c，∴e＝＝.答案：   8.(2021·镇江模拟)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点M与F关于坐标原点O对称，过F的直线与抛物线交于A，B两点，使得AB⊥BM，又A点在x轴上的投影为C，则＋－－＝________. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB过焦点得x1x2＝1，又AB⊥BM，得B在以MF为直径的圆上，故x＋y＝1，而y＝4x2，得1－x＝y＝4x2，又－＝1＋x1－(1＋x2)＝x1－x2＝－x2＝＝＝4，又∠ABM＝∠ACM，所以AMBC四点共圆，进而得AC＝BC，故＋－－＝4.答案：49．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F为抛物线y2＝4x的焦点，P，Q是椭圆C上的两个动点，且线段PQ长度的最大值为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若OP⊥OQ，求△OPQ面积的最小值．解：(1)因为y2＝4x的焦点为(1,0)，所以椭圆C的右焦点F为(1,0)，即c＝1，又的最大值为4，因此2a＝4，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)①当P，Q为椭圆顶点时，易得△OPQ的面积为×2×＝，②当P，Q不是椭圆顶点时，设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，由得x2＝，所以＝ ，由OP⊥OQ，得直线OQ的方程为：y＝－x，所以＝ ＝ ，所以S△OPQ＝·＝6＝6＝6，＝k2＋＋2≥4，当且仅当k2＝1时等号成立，所以0<≤，所以≤S△OPQ<，综上，△OPQ面积的最小值为.10．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)证明：设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，所以·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，得b2－4b＋4＝0，解得b＝2.所以直线l过定点(2,0)．