高端精品高中数学一轮专题-圆锥曲线 解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题（练）（带答案）试卷

这是一份高端精品高中数学一轮专题-圆锥曲线 解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题（练）（带答案）试卷，共6页。
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为eq \r(3)的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(3)
C．3eq \r(3) D．2eq \r(2)
解析：选B ∵直线MF的斜率为eq \r(3)，MN⊥l，
∴∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，
∴△NMF是边长为4的等边三角形，
∴M到直线NF的距离为2eq \r(3).故选B.
2．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若eq \(BA,\s\up7(―→))＝2eq \(AF,\s\up7(―→))，且|eq \(BF,\s\up7(―→))|＝4，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,5)＝1 B．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,12)＝1
C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1
解析：选D 不妨设B(0，b)，由eq \(BA,\s\up7(―→))＝2eq \(AF,\s\up7(―→))，F(c,0)，
可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2c,3)，\f(b,3)))，代入双曲线C的方程可得eq \f(4,9)×eq \f(c2,a2)－eq \f(1,9)＝1，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,2).①
又|eq \(BF,\s\up7(―→))|＝eq \r(b2＋c2)＝4，c2＝a2＋b2，∴a2＋2b2＝16.②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1.
3．已知直线y＝2x＋m与椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点．当 △AOB的面积取得最大值时，|AB|＝( )
A.eq \f(5\r(42),21) B．eq \f(\r(210),21)
C.eq \f(2\r(42),7) D．eq \f(3\r(42),7)
解析：选A 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m，,\f(x2,5)＋y2＝1，))得21x2＋20mx＋5m2－5＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(20m,21)，
x1x2＝eq \f(5m2－5,21)，
|AB|＝eq \r(1＋22)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(\r(5)\r(2021－m2),21)＝eq \f(10\r(21－m2),21).
又O到直线AB的距离d＝eq \f(|m|,\r(5))，
则△AOB的面积S＝eq \f(1,2)d·|AB|＝eq \f(\r(5)\r(m221－m2),21)≤eq \f(\r(5)×\f(m2＋21－m2,2),21)＝eq \f(\r(5),2)，
当且仅当m2＝21－m2，即m2＝eq \f(21,2)时，△AOB的面积取得最大值．此时，|AB|＝eq \f(10\r(21－m2),21)＝eq \f(5\r(42),21).
4．记双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0))的左焦点为F，双曲线C上的点M，N关于原点对称，且∠MFN＝eq \f(3,4)∠MOF＝90°，则eq \f(b2,a2)＝( )
A．3＋2eq \r(3) B．4＋2eq \r(3)
C．3＋eq \r(3) D．4＋eq \r(3)
解析：选A 设双曲线的右焦点是F′，由双曲线的对称性和∠MF′N＝90°，得四边形MFNF′是矩形，∵∠MOF＝120°，∴∠MOF′＝60°，故△MOF′是等边三角形．
∴在Rt△MFF′中，∴∠MFF′＝30°，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FF′))＝2c，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF′))＝c，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF))＝eq \r(3)c，
∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF′))＝2a，∴eq \r(3)c－c＝2a，
∴eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(c2,a2)－1＝(eq \r(3)＋1)2－1＝3＋2eq \r(3)，故选A.
5．椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上存在两点A，B，且A，B关于直线4x－2y－3＝0对称，若O为坐标原点，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))))＝( )
A．1 B．eq \r(3)
C.eq \r(5) D．eq \r(7)
解析：选C 由题意直线AB与直线4x－2y－3＝0垂直，设直线AB的方程为y＝－eq \f(1,2)x＋m.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1))消去y整理得x2－2mx＋2m2－2＝0，
∵直线AB与椭圆交于两点，
∴Δ＝(－2m)2－4(2m2－2)＝－4m2＋8>0，
解得－eq \r(2)b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x－4y＋1＝0，则此椭圆的离心率为________．
解析：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－3＝0，,3x－4y＋1＝0，))得x＝1，y＝1，
∴直线x＋2y－3＝0与3x－4y＋1＝0的交点为M(1,1)，∴线段AB的中点为M(1,1)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减整理，得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，
∴a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，∴a＝eq \r(2)b＝eq \r(2)c，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
8.如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点M与F关于坐标原点O对称，过F的直线与抛物线交于A，B两点，使得AB⊥BM，又A点在x轴上的投影为C，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AC))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC))＝________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB过焦点得x1x2＝1，又AB⊥BM，得B在以MF为直径的圆上，
故xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝1，而yeq \\al(2,2)＝4x2，得1－xeq \\al(2,2)＝yeq \\al(2,2)＝4x2，
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝1＋x1－(1＋x2)＝x1－x2＝eq \f(1,x2)－x2＝eq \f(1－x\\al(2,2),x2)＝eq \f(4x2,x2)＝4，又∠ABM＝∠ACM，
所以AMBC四点共圆，进而得AC＝BC，
故eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AC))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC))＝4.
答案：4
9．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F为抛物线y2＝4x的焦点，P，Q是椭圆C上的两个动点，且线段PQ长度的最大值为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若OP⊥OQ，求△OPQ面积的最小值．
解：(1)因为y2＝4x的焦点为(1,0)，
所以椭圆C的右焦点F为(1,0)，即c＝1，
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ))的最大值为4，因此2a＝4，
所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)①当P，Q为椭圆顶点时，
易得△OPQ的面积为eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)，
②当P，Q不是椭圆顶点时，
设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得x2＝eq \f(12,3＋4k2)，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OP))＝eq \r(k2＋1) eq \r(\f(12,3＋4k2))，
由OP⊥OQ，得直线OQ的方程为：y＝－eq \f(1,k)x，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OQ))＝ eq \r(\f(1,k2)＋1 )eq \r(\f(12,3＋4\f(1,k2)))＝eq \r(1＋k2) eq \r(\f(12,3k2＋4))，
所以S△OPQ＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OP))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OQ))＝6eq \r(\f(k2＋12,3＋4k23k2＋4))
＝6eq \r(\f(k2＋12,12k4＋25k2＋12))＝6eq \r(\f(1,12＋\f(k2,k2＋12)))，
eq \f(k2＋12,k2)＝k2＋eq \f(1,k2)＋2≥4，当且仅当k2＝1时等号成立，
所以0