新高考数学一轮复习精选考点专项突破题集专题6.3《双曲线与抛物线的性质与应用》（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选考点专项突破题集专题6.3《双曲线与抛物线的性质与应用》（含解析），共26页。
专题6.3 双曲线与抛物线的性质与应用
一、 单选题
1、(2018年高考浙江卷)双曲线的焦点坐标是( )
A．(−，0)，(，0)
B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，−)，(0，)
D．(0，−2)，(0，2)
【答案】B
【解析】设的焦点坐标为，因为，，
所以焦点坐标为，故选B．
2、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)双曲线的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
双曲线为，
，，渐近线方程为：，
其渐近线方程为：，
故选：B.
3、(2020·浙江高三)若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，
由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为：
所以双曲线的渐近线方程为：yx．
故选：A．
4、(2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初)已知双曲线的一条渐近线为，则离心率为( )
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线为，
.
故选:A.
5、(2020届山东省烟台市高三上期末)若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题,离心率,解得,
因为焦点在轴上,则渐近线方程为,即
故选：C
6、(2018年高考全国Ⅱ理数)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A
7、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为
故选：B
8、(2020届山东省德州市高三上期末)双曲线(，)的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
如下图所示：

设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得，
所以，的周长为，
当且仅当、、三点共线时，的周长取得最小值，即，解得.
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
9、(2020届浙江省温州市高三4月二模)已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，
故，，故，代入双曲线化简得到：，故.
故选：.
10、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，
的离心率.
故选：C.
11、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)设双曲线E：，命题p：双曲线E离心率，命题q：双曲线E的渐近线互相垂直，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程为，离心率为，
由，可得，即有，可得，
即得渐近线方程为，可得两渐近线垂直；
若两渐近线垂直，可得，可得，
即有是的充要条件，
故选：．
12、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，
又由圆，可得圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，则，可得，
故选C.
13、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)设双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=( )
A． 1 B． 2
C． 4 D． 8
【答案】A
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A．
14、(2020届山东省滨州市高三上期末)已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，，A为垂足.若直线AF的斜率为，则的面积为( )
A． B． C．8 D．
【答案】B
【解析】由题意，抛物线的焦点为，
设抛物线的准线与轴交点为，则，
又直线AF的斜率为，所以，因此，；
由抛物线的定义可得：，所以是边长为的等边三角形，
所以的面积为.
故选：B.

15、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中点，连接 ,由条件可知，
是的中点，
又，
,
根据双曲线的定义可知，
，
直线的方程是： ，即 ，
原点到直线的距离，
中，，
整理为： ，
即 ，
解得： ，或(舍)
故选：C
16、(2020年高考北京)设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线( )
A． 经过点 B． 经过点
C． 平行于直线 D． 垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B．

17、(2020·浙江学军中学高三3月月考)抛物线()的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N(点N在轴上方)，点E为轴上F右侧的一点，若，，则( )
A．1 B．2 C．3 D．9
【答案】C
【解析】

设准线与x轴的交点为T，直线l与准线交于R，，则
，，过M，N分别作准线的垂线，垂足分别为，
如图，由抛物线定义知，，，因为∥，所以，
即，解得，同理，即，解得
，又，所以，，过M作的垂线，垂足为G，则
，所以
，解得，故.
故选：C.
18、(2020年高考全国Ⅱ卷理数)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
【答案】B
【解析】，
双曲线的渐近线方程是，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限，
联立，解得，
故，
联立，解得，
故，
，
面积为：，
双曲线，
其焦距为，
当且仅当取等号，
的焦距的最小值：.
故选：B．
二、 多选题
19、(2020届山东省滨州市高三上期末)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是( )
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
【答案】ABC
【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；
A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；
B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；
C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，
所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；
D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；
故选：ABC.
20、(2020届山东省日照市高三上期末联考)过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则( )
A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时， D．的最小值为4
【答案】ACD
【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，
，所，.
故选:ACD.
21、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则( )

A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】

由抛物线的定义，，A正确；
∵，是的平分线，∴，∴，B正确；
若，由是外角平分线，，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，，也即有，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；
连接，由A、B知，又，是平行四边形，∴，显然，∴，D正确．
22、(2020届山东省德州市高三上期末)已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】如下图所示：

分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.
抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，
轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，
，则，，得，
A选项正确；
，又，为的中点，则，B选项正确；
，，(抛物线定义)，C选项正确；
，，D选项错误.
故选：ABC.
23、(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知曲线.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD．

三、 填空题
24、(2019年高考江苏卷)在平面直角坐标系中，若双曲线经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】由已知得，解得或，
因为，所以.
因为，所以双曲线的渐近线方程为.
25、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.
【答案】
【解析】设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，
由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，
∴MF1﹣MF2＝(MA+AP+PF1)﹣(MB+BF2)＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，
由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，
故而a＝PQ，又c＝2，∴双曲线的离心率为e．
故答案为：．

26、(2020年高考全国I卷理数)已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
【答案】2
【解析】联立，解得，所以.依题可得，，，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.故答案为：．
27、(2020年新高考全国Ⅰ卷)斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.


故答案为：
28、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且(O为坐标原点)，则C的离心率为________.
【答案】2
【解析】由题意，一条渐近线方程为，即，
∴ ，由得，
∴，，∴．
故答案为：2.
29、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标为，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】设抛物线的焦点是，
根据抛物线的定义可知
，，
当三点共线时，等号成立，的最小值是，
，的最小值是.

故答案为：
30、(2020年高考北京)已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】；
【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.
故答案为：；.

四、 解答题
31、(2020届浙江省嘉兴市5月模拟)设点为抛物线上的动点，是抛物线的焦点，当时，．

(1)求抛物线的方程；
(2)过点作圆：的切线，，分别交抛物线于点．当时，求面积的最小值．
【解析】(1)当时，，
所以，故所求抛物线方程为.
(2)点为抛物线上的动点，则，
设过点的切线为，
则，
得，
是方程(*)式的两个根，
所以，，
设，
因直线，与抛物线交于点A，
则得，
所以，即，
同理，
设直线，
则，
，
又，
，
所以


令，，
当且仅当，即时，取得最小值.
32、(2020届山东省临沂市高三上期末)如图，已知点F为抛物线C：()的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.

(1)求抛物线C的方程.
(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，
，的方程为.
由得.
设，，则，
∴，，
∴抛物线C的方程为.
(2)假设满足条件的点P存在，设，由(1)知，
①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为()，
由得，
，
，.
∵直线PM，PN关于x轴对称，
∴，，.
∴∴时，此时.
②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，
易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.
综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.
33、(2020届浙江省绍兴市4月模拟)如图，已知点，，抛物线的焦点为线段中点.

(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于两点，，过点作抛物线的切线，为切线上的点，且轴，求面积的最小值.
【解析】(1)由已知得焦点的坐标为，
，抛物线的方程为：；
(2)设直线的方程为：，设，，，
联立方程，消去得：，
，，，
设直线方程为：，
联立方程，消去得：，
由相切得：，，
又，，
，，直线的方程为：，
由，得，，
将代入直线方程，解得，
所以
，
又，
所以，当且仅当时，取到等号，
所以面积的最小值为.
34、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)如图，已知抛物线的焦点为.

若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.
，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点 (不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.
【解析】由抛物线的方程可得，准线方程：，设，
由抛物线的方程可得，所以在处的切线的斜率为：，
所以在处的切线方程为：，
令，可得，
即，
所以，而到准线的距离，由抛物线的性质可得
所以，，
可证得：.
设直线的方程为：，，，
直线与抛物线联立，
整理可得：，
，
即，
，，，
所以的中点坐标为：，
所以线段的中垂线方程为：，
由题意中垂线过，所以，即，①
由抛物线的性质可得：，
所以，即，②
设，，
的中点的纵坐标为，
所以以为直径的圆与直线的相交弦长的平方为：


，
要使以为直径的圆截得的弦长为定值则可得，时相交弦长的平方为定值，即
所以到直线的距离为：，
而弦长
，
所以，
将①代入可得
，
设为偶函数，
只看的情况即可，

令，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
所以且上，为最大值，
所以的最大值为：.