(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第57讲《二项式定理》（讲）（解析版）

第57讲   二项式定理

思维导图

知识梳理

1．二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；

(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.

2．二项式系数的性质

题型归纳

题型1    二项展开式中特定项及系数问题

【例1-1】二项式10的展开式中，项的系数是(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B．－

C．15  D．－15

【解析】选B　10的二项展开式的通项为Tr＋1＝C10－rr＝(－1)r22r－10Cx，令5－＝，得r＝3，所以项的系数是(－1)3·2－4·C＝－.故选B.

【例1-2】(2019·天津高考)8的展开式中的常数项为________．

【解析】8的通项为Tr＋1＝C8－r·r＝C28－rr·x8－4r.

令8－4r＝0，得r＝2，∴ 常数项为T3＝C262＝28.

【答案】28

【跟踪训练1-1】(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．

【解析】由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C·()9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，

当项为常数项时，r＝0，T1＝C·()9·x0＝()9＝16.

当项的系数为有理数时，9－r为偶数，

可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.

【答案】16　5

【跟踪训练1-2】6的展开式的常数项为160，则实数a＝________.

【解析】法一：6的展开式的通项Tr＋1＝C(ax)6－r·r＝Ca6－rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以Ca6－3＝160，解得a＝2.

法二：6＝，要得到常数项，则需ax与的个数相同，各为3个，所以从6个因式中选择3个ax的系数，即Ca3＝160，解得a＝2.

【答案】2

【名师指导】

题型2    二项式系数的性质及各项系数和

【例2-1】(1)(2020·合肥模拟)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为(　　)

A．－1  B．1

C．32  D．64

(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)

A．0  B．1

C．32  D．－1

(3)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.

【解析】　(1)由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ca4b2，x5项的系数为Ca5b，则由题意可得解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b)6＝64.

(2)由(1－x)5的展开式的通项Tr＋1＝C(－x)r＝C(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在原二项展开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.

(3)二项式中仅x5的系数最大，其最大值必为Cn，即得＝5，解得n＝10.

【答案】　(1)D　(2)A　(3)10

【跟踪训练2-1】若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)

A．6   B.

C．4x   D. 或4x

【解析】选A　令x＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n，即8<2n<32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()22＝6.

【跟踪训练2-2】(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　)

A．1  B．243

C．121  D．122

【解析】选B　令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①

令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②

①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，

即a4＋a2＋a0＝－121.

①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，

即a5＋a3＋a1＝122.

所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.

【跟踪训练2-3】若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．

【解析】令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，

又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2

＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，

∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，

∴m＝－3或m＝1.

【答案】－3或1

【跟踪训练2-4】已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．

【解析】由已知得C＋C＋C＝121，则n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.

【答案】C(3x)7和C(3x)8

【名师指导】

题型3    多项式展开式中特定项系数问题

【例3-1】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是(　　)

A．10  B．15

C．20  D．25

【解析】　含x2项的系数为C＋C＋C＋C＝20.

【答案】　C

【例3-2】(1)(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)

A．12  B．16

C．20  D．24

(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.

【解析】　(1)(1＋x)4的二项展开式的通项为Tk＋1＝Cxk(k＝0,1,2,3,4)，故(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为C＋2C＝12.故选A.

(2)(ax＋1)6的展开式中x2的系数为Ca2，x的系数为Ca，因为(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，所以－Ca2＋Ca＝0，解得a＝0或a＝.因为a为正实数，所以a＝.

【答案】　(1)A　(2)

【例3-3】5的展开式中x2的系数是________．

【解析】　在5的展开式中，含x2的项为2C4,23C2，所以在这几项的展开式中x2的系数和为2CC＋23CC＝40＋80＝120.

【答案】　120

【跟踪训练3-1】在6的展开式中，含x5项的系数为(　　)

A．6  B．－6

C．24  D．－24

【解析】选B　由6＝C6－C5＋C4－…－C＋C，可知只有－C5的展开式中含有x5，所以6的展开式中含x5项的系数为－CC＝－6，故选B.

【跟踪训练3-2】5的展开式中常数项为(　　)

A．－30  B．30

C．－25  D．25

【解析】选C　5＝x25－3x5＋5，5的展开式的通项Tr＋1＝C(－1)rr，易知当r＝4或r＝2时原式有常数项，令r＝4，T5＝C(－1)44，令r＝2，T3＝C(－1)2·2，故所求常数项为C－3×C＝5－30＝－25，故选C.

【名师指导】