第57讲 二项式定理（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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思维导图
知识梳理
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2．二项式系数的性质
题型归纳
题型1 二项展开式中特定项及系数问题
【例1-1】二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)－\f(2,x)))10的展开式中，eq \r(x)项的系数是( )
A.eq \f(15,2) B．－eq \f(15,2)
C．15 D．－15
【例1-2】(2019·天津高考)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3)))8的展开式中的常数项为________．
【跟踪训练1-1】(2019·浙江高考)在二项式(eq \r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
【跟踪训练1-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))6的展开式的常数项为160，则实数a＝________.
【名师指导】
求二项展开式中的项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n).
题型2 二项式系数的性质及各项系数和
【例2-1】(1)(2020·合肥模拟)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为( )
A．－1 B．1
C．32 D．64
(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
A．0 B．1
C．32 D．－1
(3)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.
【跟踪训练2-1】若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )
A．6eq \r(3,x) B.eq \f(4,\r(x))
C．4xeq \r(6,x) D.eq \f(4,\r(x)) 或4xeq \r(6,x)
【跟踪训练2-2】(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝( )
A．1 B．243
C．121 D．122
【跟踪训练2-3】若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
【跟踪训练2-4】已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．
【名师指导】
1．赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．
题型3 多项式展开式中特定项系数问题
【例3-1】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是( )
A．10 B．15
C．20 D．25
【例3-2】(1)(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
【例3-3】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)＋2))5的展开式中x2的系数是________．
【跟踪训练3-1】在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)－1))6的展开式中，含x5项的系数为( )
A．6 B．－6
C．24 D．－24
【跟踪训练3-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－3x＋\f(4,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,\r(x))))5的展开式中常数项为( )
A．－30 B．30
C．－25 D．25
【名师指导】
1. 对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
3.(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法