(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第32讲《复数》（讲）（解析版）

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第32讲   复数 思维导图 知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 题型归纳题型1    复数的有关概念【例1-1】（2020•新课标Ⅲ）复数的虚部是　　A． B． C． D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，复数的虚部是．故选：．【例1-2】（2020春•宜宾期末）已知复数满足，且为纯虚数，则　　A． B． C． D．【分析】由已知可得，，求得，则答案可求．【解答】解：由，且满足，得，①又为纯虚数，，代入①，得．．故选：．【例1-3】（2020春•朝阳区期末）已知复数，则的共轭复数等于　　A．0 B． C． D．【分析】直接根据共轭复数的定义求解即可．【解答】解：因为复数，则的共轭复数；故选：．【跟踪训练1-1】（2020春•湖南期末）若的实部为，的虚部为，则　　A．6 B．8 C．7 D．4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由题意求得与的值，则答案可求．【解答】解：，，，，则．故选：．【跟踪训练1-2】（（2020春•德州期末）已知复数是纯虚数，则实数　　A． B． C．0 D．1【分析】把复数化为的形式，再由实部为0且虚部不为0列式求得值．【解答】解：是纯虚数，，解得．故选：．【跟踪训练1-3】（（2020春•无锡期末）已知复数为虚数单位），则的虚部为　　A． B． C． D．【分析】利用虚部的定义即可得出．【解答】解：由复数为虚数单位），则的虚部为．故选：．【跟踪训练1-4】（（2020春•沙坪坝区校级期中）若复数是纯虚数，其中是实数，则　　   ．【分析】由复数是纯虚数，列出方程组，求解可得的值，然后代入求出，进而求得答案．【解答】解：因为复数是纯虚数，其中是实数，所以：且；故；故；所以：；故答案为：．【名师指导】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． 题型2   复数的几何意义【例2-1】（2020春•湖北期末）已知复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．【解答】解：由，得，，在复平面内对应的点的坐标为，，所在的象限为第四象限．故选：．【例2-2】（2020春•开封期末）在复平面内，是坐标原点，向量对应的复数是，若点关于实轴的对称点为点，则向量对应的复数的模为　　  ．【分析】由已知求得的坐标，得到的坐标，进一步求出向量对应的复数，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：向量对应的复数是，，又点关于实轴的对称点为点，．向量对应的复数为，该复数的模为．故答案为：．【跟踪训练2-1】（2020春•泉州期末）若复数，则复数在复平面内对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据复数的几何意义先求出对应点的坐标，然后进行判断即可．【解答】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选：．【跟踪训练2-2】（2020春•六盘水期末）复数，则的共轭复数在复平面内所对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由已知求得，进一步得到的坐标得答案．【解答】解：，，则在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：．【跟踪训练2-3】（2020春•赤峰期末）复数满足，则在复平面表示的点所在的象限为　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得；复数在复平面内对应的点的坐标为，，所在的象限为第一象限．故选：．【跟踪训练2-4】（2020春•平顶山期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】解：；在复平面内对应的点的坐标为，，在复平面内对应的点的坐标为，，位于第四象限．故选：．【跟踪训练2-5】（2020春•内江期末）已知复数是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：，，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：．【跟踪训练2-6】（2020春•宜宾期末）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第　    　象限．【分析】利用虚数单位的运算性质变形，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．【解答】解：，，则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故答案为：一．【名师指导】1．准确理解复数的几何意义(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应． 题型3    复数的运算【例3-1】（2020•新课标Ⅰ）若，则　　A．0 B．1 C． D．2【分析】由复数的乘方和加减运算，化简，再由复数的模的定义，计算可得所求值．【解答】解：若，则，则，故选：．【例3-2】（2020•新课标Ⅲ）若，则　　A． B． C． D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：由，得，．故选：．【例3-3】（2020•新课标Ⅱ）　　A． B．4 C． D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：．故选：．【跟踪训练3-1】（2020•山东）　　A．1 B． C． D．【分析】运用复数的除法运算法则，化简可得所求值．【解答】解：，故选：．【跟踪训练3-2】（2020•海南）　　A． B． C． D．【分析】根据复数的乘法公式计算．【解答】解：，故选：．【跟踪训练3-3】（2020春•沙坪坝区校级月考）已知复数，则　　A．2 B．5 C．10 D．18【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由求解．【解答】解：由，得．故选：．【跟踪训练3-4】（2020•河南模拟）已知，则　　A． B． C． D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，．故选：．【名师指导】复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式