2022届四川省内江市第六中学高三下学期考前第一次强化训练数学（文）试题含解析

这是一份2022届四川省内江市第六中学高三下学期考前第一次强化训练数学（文）试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届四川省内江市第六中学高三下学期考前第一次强化训练数学（文）试题
一、单选题
1．设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由对数函数性质，二次根式定义确定集合，然后确定Venn图中阴影部分表示的集合并计算．
【详解】由题意，或，
，
Venn图中阴影部分为．
故选：A．
2．已知复数满足，则的虚部为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，根据共轭复数及虚部的概念求解即可.
【详解】，，
，故复数的虚部为.
故选：A
3．命题“，”的否定是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】含有全称量词和特称量词的否定是：否量词，否结论，不否范围.
【详解】解：命题“，”的否定是，.
故选：D.
【点睛】本题考查含有全称量词和特称量词的命题的否定，熟练掌握否定的规则是解题的关键，本题属于基础题.
4．正项等比数列中，，，成等差数列，若，则（       ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【分析】依题意，，成等差数列，可求出公比，进而由求出，根据等比中项求出的值.
【详解】由题意可知，，，成等差数列，
所以，即，
所以，或（舍），
所以，
，
故选：D.
5．如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（       ）


A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正视图、侧视图的特点选出正确答案.
【详解】根据正视图可知，正视图中间是一条实线，
而A选项中的俯视图，其对应的正视图中间是虚线，所以A选项符合题意.
BCD选项中的俯视图，可以符合正视图和俯视图.
故选：A
6．有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，…，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（       ）
A．0.003 B．0.096 C．0.121 D．0.216
【答案】B
【分析】直接通过两种方法求出，作差取绝对值即可求出结果.
【详解】，
又
与实际的的误差绝对值近似为.
故选：B.
7．设为第二象限角，若，则=（       ）
A． B．
C． D．2
【答案】B
【分析】结合平方关系解得，由商数关系求得，再由两角和的正切公式计算．
【详解】由得，，
是第二象限角，，，
所以由，解得：，
所以，
．
故选：B．
8．已知函数的定义域为，其图象关于原点及对称.当时，，则下列叙述错误的是（       ）
A．是周期函数 B．为奇函数
C．在单调递增 D．的值域为
【答案】A
【分析】根据函数的对称性，结合对数型函数的单调性进行求解判断即可.
【详解】因为函数的图象关于原点对称，所以该函数是奇函数，即，
当时，单调递增，故，
当函数时，，
函数单调递增，即值域为，
而，所以函数当时，函数单调递增，且，
因为函数的图象关于对称，所以有，
所以有，所以该函数又关于点对称，因为点和在该函数的图象上，所以由函数的对称性可知：该函数在单调递增且值域为，该函数不可能是周期函数，
故选：A
9．设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的对称中心、零点求得，进而求得，结合三角函数单调区间的求法求得正确答案.
【详解】据题意可以得出直线和点分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
所以，
即（），
所以；又由得，
即（），
，所以，所以；
由得的单调减区间为（），
所以在上的单调减区间是.
故选：C
10．已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且.则该双曲线离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意画出图形，求得，再由求得的范围，结合双曲线的离心率公式得答案．
【详解】如图，

由题意，，，
则．
由，得，
即．
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．在三棱锥中，，在底面上的投影为的中点，.有下列结论：
①三棱锥的三条侧棱长均相等；
②的取值范围是；
③若三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为；
④若，是线段上一动点，则的最小值为.
其中所有正确结论的编号是（       ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】根据三角形全等判断①，根据的值和三角形的内角和得出的范围，计算外接球半径判断③，将棱锥侧面展开计算最短距离判断④．
【详解】解：如图1，，是的中点，，
又平面，，，故①正确；
，，又，，
过作，为垂足，如图2，则，
又，，，故②正确；
，为平面截三棱锥外接球的截面圆心，
设外接球球心为，则在直线上，如图3，
设，则，解得，故为外接球的球心．
外接球的体积为，故③错误．

若，则，又，故是等边三角形，
将平面沿翻折到平面上，如图4，图5.
则的最短距离为线段的长．

，，，
，故④正确．
故选：．
【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．
12．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是最小正周期为2的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把函数有3个零点，转化为有3个不同根，画出函数与的图象，转化为关于的不等式组求解．
【详解】解：由函数的图象与函数的图象关于直线对称，得，
函数是最小正周期为2的偶函数，当时，，
函数有3个零点，即有3个不同根，
画出函数与的图象如图：

要使函数与的图象有3个交点，则
，且，即．
∴实数k的取值范围是．
故选：B．
【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．
二、填空题
13．已知实数x，y满足，则的最大值为______．
【答案】8
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时，取得最大值8．
【详解】作出实数满足表示的平面区域，
得到如图的及其内部，其中.

设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值.
．
故答案为：8
14．已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点.则圆的标准方程为________.
【答案】
【分析】由圆与直线：相切于点，可得过切点与圆心的直线的方程再根据圆的圆心在直线上，可求得圆心坐标，从而可得答案.
【详解】解：过点与直线：垂直的直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
由，解得，
所以.
故圆的方程为：.
故答案为：.
15．已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________.
【答案】
【分析】先根据三点共线求解出之间的关系，由此确定出为周期数列，并求解出前项的值，然后根据周期性可求的值.
【详解】设，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以是周期为的周期数列，
因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：.
【点睛】结论点睛：已知平面中三点共线 (O在该直线外)，若，则必有.
16．过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，（，不重合），设直线，分别与y轴交于点A，B，则下列结论中正确的序号为______．
①两点的横坐标之积为定值；②直线的斜率为定值；
③线段AB的长度为定值；④三角形ABP面积的取值范围为．
【答案】①②③
【分析】设点、的横坐标分别为、，且，分析可知或，利用导数的几何意义可判断①的正误；利用斜率公式可判断②的正误；求出点、的坐标，利用两点间的距离公式可判断③的正误；求出点的横坐标，利用三角形的面积公式可判断④的正误.
【详解】因为，
所以，当时，；当时，，
不妨设点、的横坐标分别为、，且，
若时，直线、的斜率分别为、，此时，不合乎题意；
若时，则直线、的斜率分别为、，此时，不合乎题意.
所以，或，则，，
由题意可得，可得，
若，则；若，则，不合乎题意，所以，，①对；
对于②，易知点、，
所以，直线的斜率为，②对；
对于③，直线的方程为，令可得，即点，
直线的方程为，令可得，即点，
所以，，③对；
对于④，联立可得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，④错.
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的综合问题，需要根据题意设切点横坐标，并根据题意列式分析横坐标满足的关系式，同时也需要构造函数分析所求式的单调性于最值，属于难题.
三、解答题
17．某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.
（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；
（Ⅱ）从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率.
【答案】（Ⅰ）不需要对该销售小组发放奖励；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）求出月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例，与比较判断即可；
（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为，，其余的记为，，，利用列举法，列举出5名销售员中随机抽取2名的所有结果和至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果，最后根据古典概型求概率，即可得出结果.
【详解】解：（Ⅰ）该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元，
分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70，
∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为，
∵，故不需要对该销售小组发放奖励.
（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，
其中超过3.68万元的销售员有2名，记为，，其余的记为，，，
从上述5名销售员中随机抽取2名的所有结果为：
，，，，，，
，，，，共有10种，
其中至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果为：
，，，，，，，共有7种，
故选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率为.
【点睛】本题考查利用列举法写出基本事件和古典概率求概率，以及利用概率对实际问题进行评估，属于基础题.
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．
①O为的内心；②O为的外心．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
(1)求A；
(2)若，________，求的面积．
【答案】(1)
(2)选①，；选②，．
【分析】（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得角；
（2）选①，由余弦定理求得，由面积公式求得三角形面积，再结合内切圆半径表示三角形面积求得内切圆半径，即可求面积；选②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圆半径，由圆周角定理和圆心角定理求得，直接由面积公式计算出面积．
（1）因为，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，则，所以，；
（2）选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点，，，设内切圆半径为，则，，所以；选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上，由（1），所以，又，，，．
19．如图，在多面体ABCDEF中，ADEF为矩形，ABCD为等腰梯形，，，，且，平面平面，M，N分别为EF，CD的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取AD的中点O,连接OM，ON，可证，然后利用平面平面ACF，可证平面ACF.（2）将多面体分为四棱锥B-ADEF和三棱锥B-CDE两部分，将转化为，然后利用四棱锥和三棱锥的体积公式分别求出然后求和即可.
【详解】解：（1）如图，取AD的中点O,连接OM，ON，
在矩形ADEF中，∵O，M分别为线段AD，EF的中点，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
在中，∵O，N分别为线段AD，CD的中点，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
又，平面，
∴平面平面
又平面，∴平面.
（2）如图，过点作于.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
同理平面.
连接，.在中，∵，，
∴.
同理.
∵，∴等边的高为，即.
连接.
∴

.

【点睛】本题考查利用线线平行，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，考查分割法求多面体的体积，考查四棱锥和三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.
20．已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：.
【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）利用导数求函数的单调区间；
（Ⅱ）先证明存在唯一的，使得，再利用导数求出，再利用基本不等式证明不等式.
【详解】解：（Ⅰ）当时，.则.
∵在上单调递增（增函数+增函数=增函数），且，
∴当时，；当时，.
∴的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅱ）当时，.则.
∵在上单调递增，且，，
∴存在唯一的，使得.
∴当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
∴.
又，即.化简，得.
∴.
∵，∴.
∴当时，.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21．已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.
（i）当直线的斜率都存在时，记直线的斜率分别为.求证：；
（ii）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】（1）把点代入椭圆方程，结合，，即可求得椭圆的标准方程.
（2）（i）设点 ，写出切线方程，联立方程组，再由，结合韦达定理，写出的表达式，化简得出结果;
（ii）设点，，进而求得直线和的直线方程，结合两条直线的形式，可写出直线的方程，运用弦长公式求得，结合的范围，可求得的取值范围.
【详解】（1）∵椭圆的左焦点，∴.
将代入，得.
又，∴，.
∴椭圆的标准方程为.
（2）（i）设点，设过点与椭圆相切的直线方程为.
由，消去，得.
.
令，整理得.
由已知，则.
又，∴.
（ii）设点，.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
由，消去，得.
.
令，整理得.
则.
∴直线的方程为.
化简，可得，即.
经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或，也满足.
同理，可得直线的方程为.
∵在直线，上，∴，.
∴直线的方程为.
由，消去，得.
∴，.
∴
.
又由（i）可知当直线，的斜率都存在时，；
易知当直线或斜率不存在时，也有.
∴为圆的直径，即.
∴.
又，∴.
∴的取值范围为.
【点睛】本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识，考查学生分析问题解决问题的能力.采用了设而不求的方法，运用韦达定理和弦长公式求得，结合椭圆纵坐标的有界性可求得范围，属于较难题.
22．已知直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）.
(1)若点的直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；
(2)若,当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）化曲线的参数方程为直⻆角坐标方程是:
由点在曲线的内部，可得，解不等式可得实数的取值范围；(2)根据极径的几何意义可得直线截得曲线的弦长为：，根据三角函数的有界性可得结果.
试题解析：(1)由得曲线对应的直⻆角坐标⽅方程为:
由点在曲线的内部，,
求得实数m的取值范围为.
(2)直线的极坐标⽅方程为，代入曲线的极坐标⽅方程整理理得
设直线与曲线的两个交点对应的极径分别为，
则直线截得曲线的弦长为：.
即直线与曲线截得的弦长的取值范围是.
23．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）
【详解】试题分析：
(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为；
(Ⅱ)由题意可得面积函数为为，求解不等式可得实数a的取值范围为
试题解析：
（I）当时，化为，
          当时，不等式化为，无解；
          当时，不等式化为，解得；
          当时，不等式化为，解得．
          所以的解集为．
（II）由题设可得，
            所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为．
            由题设得，故．
            所以a的取值范围为