2022-2023学年四川省内江市第六中学高二下学期第一次月考数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省内江市第六中学高二下学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.

【详解】命题“”的否定是:.

故选：C.

2．椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意求，再求离心率即可.

【详解】由题意可得：，且椭圆焦点在y轴上，则，

故椭圆的离心率是.

故选：A.

3．下列说法正确的是（    ）

A．若为假命题，则p，q都是假命题

B．“这棵树真高”是命题

C．命题“使得”的否定是：“，”

D．在中，“”是“”的充分不必要条件

【答案】A

【分析】若为假命题，则p，q都是假命题，A正确，“这棵树真高”不是命题，B错误，否定是：“，”，C错误，充分必要条件，D错误，得到答案.

【详解】对选项A：若为假命题，则p，q都是假命题，正确；

对选项B：“这棵树真高”不是命题，错误；

对选项C：命题“使得”的否定是：“，”，错误；

对选项D：，则，，故，充分性；若，则，，则，必要性，故是充分必要条件，错误.

故选：A

4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解

【详解】连接，，如图，

因为正方体中，

所以就是与所成的角，

在中，.

∴.

故选：C

5．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，则该双曲线的虚轴长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析可得，求出的值，即可得出双曲线的虚轴长.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

由题意可知，可得，所以，，则，

因此，该双曲线的虚轴长为.

故选：B.

6．若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题得直线所过定点在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在轴上即可.

【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点，

则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或，

又表示焦点在轴上的椭圆，故，，

故选：C.

7．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由可以求得M在以原点为圆心，焦距为直径的圆周上，写出圆的方程，与双曲线的方程联立求得M的坐标，进而得到所求面积.

【详解】设双曲线的焦距为，则.

因为，所以为圆与双曲线的交点.

联立，解得，

所以的面积为.

故选:A.

【点睛】本题考查与双曲线有关的三角形面积最值问题，利用轨迹方程法是十分有效和简洁的解法.

8．已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆的定义可求，结合三角形的面积可求，进而可得答案.

【详解】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，

所以，得.

又因为，所以四边形为矩形，设，

则，所以得或；

则，则，

椭圆的标准方程为.

故选:C.

9．当双曲线的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（    ）

A．y＝±x B．y＝±x

C．y＝±2x D．y＝±x

【答案】C

【解析】求得关于的函数表达式，并利用配方法和二次函数的性质得到取得最小值时的值，进而得到双曲线的标准方程，根据标准方程即可得出渐近线方程

【详解】由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，

当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，

此时双曲线M的方程为，所以渐近线方程为y＝±2x.

故选：C．

【点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属基础题，掌握双曲线的基本量的关系是关键.由双曲线的方程：的渐近线可以统一由得出.

10．已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.

【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.

由，得，从而，∴.

∵，∴.

故选:B

11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由点在半圆上，可求，然后求出G，A，根据已知的面积最大的条件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程

【详解】由点在半圆上，所以，，

要使的面积最大，可平行移动AG，当AG与半圆相切于时，M到直线AG的距离最大， 此时，即，

又

，

所以半椭圆的方程为

故选：D

12．已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】由题可得，在中，由余弦定理得，结合基本不等式得，即可解决.

【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，

假设，

所以由椭圆，双曲线定义得，解得，

所以在中，，由余弦定理得

，即

，

化简得，

因为，

所以，即，

当且仅当时，取等号，

故选：A

二、填空题

13．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点构成的的周长为__________

【答案】4

【分析】先将椭圆的方程化为标准形式，求得半长轴的值，然后利用椭圆的定义进行转化即可求得.

【详解】解：椭圆方程可化为，显然焦点在y轴上，，

根据椭圆定义，

所以的周长为．

故答案为4．

14．若命题“，”为假命题，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】先求得命题为真时的等价条件，取补集即可得到为假命题时的参数取值范围.

【详解】当时，命题为“，”，该命题为真命题，不满足题意；

当时，命题，可得到，解得，

故若命题“，”是假命题，则

故答案为：

15．已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____．

【答案】

【分析】利用椭圆定义可得，再根据三角形三边长的关系可知，当共线时即可取得最值.

【详解】由椭圆标准方程可知，

又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以

所以

易知，当且仅当三点共线时等号成立；

又，所以；

即的范围为.

故答案为：

16．己知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，若C的离心率为，则的值为______．

【答案】3

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理求解即可.

【详解】由及双曲线的定义可得，

所以，，因为，在中，

由余弦定理可得，

即，所以，

即，解得或（舍去）.

故答案为：3

三、解答题

17．已知，，其中m＞0．

(1)若m＝4且为真，求x的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式得到，，由为真得到两命题均为真，从而求出的取值范围；

（2）由是的充分不必要条件，得到是的充分不必要条件，从而得到不等式组，求出实数m的取值范围.

【详解】（1），解得：，故，

当时，，解得：，故，

因为为真，所以均为真，

所以与同时成立，

故与求交集得：，

故的取值范围时；

（2）因为，，解得：，

故，

因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，

即，但，

故或，

解得：，

故实数m的取值范围是

18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；

(1)短轴长为，离心率的椭圆；

(2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据题意求出、、的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出椭圆的标准方程；

（2）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程.

【详解】（1）解：由题意可知，解得.

若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，

若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为.

综上所述，所求椭圆的标准方程为或.

（2）解：设所求双曲线方程为，

将点代入所求双曲线方程得，

所以双曲线方程为，即．

19．已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.

【详解】（1）连接AC交BD于点，连接，

在直四棱柱中，，

所以四边形为平行四边形，即，，

又因为底面ABCD为菱形，所以点为AC的中点，

点为的中点，即点为的中点，所以，，

即四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，，所以平面；

（2）在直棱柱中平面，平面，

所以，

又因为上底面为菱形，所以，

因为平面，

所以平面，

因为在中，，

且点为BD的中点，所以，即，

所以．

20．已知椭圆E：的离心率为，且过点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.

（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.

【详解】（1）由题意知，，所以，，设椭圆E的方程为.

将点的坐标代入得：，，所以椭圆E的方程为.

（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为，上顶点为，所以直线m斜率为，

由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为，

所以直线l的方程为，即，

联立，可得，

，，，

所以.

21．已知双曲线.

(1)试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；

(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.

【答案】(1)不能，理由见解析；

(2)，.

【分析】（1）设出直线的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答.

（2）联立直线与双曲线的方程，由给定条件得到，求出的坐标及过点与直线垂直的直线方程，即可求解作答.

【详解】（1）点不能是线段的中点，

假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，

显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

而双曲线渐近线的斜率为，即，

由得，则有，解得，

此时，即方程组无解，

所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点.

（2）依题意，由消去y整理得，

因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，

则有，即，点M的横坐标为，

点，，过点与直线垂直的直线为，

因此，，，，

所以点的轨迹方程为，.

22．已知椭圆：上的点到左、右焦点，的距离之和为4.

(1)求椭圆的方程.

(2)若在椭圆上存在两点，，使得直线与均与圆相切，问：直线的斜率是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，定值为

【分析】（1）由椭圆的定义结合性质得出椭圆的方程.

（2）根据直线与圆的位置关系得出，将直线的方程代入椭圆的方程，由韦达定理得出坐标，进而由斜率公式得出直线的斜率为定值.

【详解】（1）由题可知，所以.

将点的坐标代入方程，得

所以椭圆的方程为.

（2）由题易知点在圆外，且直线与的斜率均存在.

设直线的方程为，直线的方程是

由直线与圆相切，

可得，同理可得

由题可知，所以.

将直线的方程代入椭圆的方程，

可得.

设，.因为点也是直线与椭圆的交点，

所以，

因为，所以，

所以直线的斜率