2022-2023学年辽宁省鞍山市高三上学期第一次质量监测数学试题含解析

这是一份2022-2023学年辽宁省鞍山市高三上学期第一次质量监测数学试题含解析，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

鞍山市普通高中2022—2023学年度高三第一次质量监测
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果，那么在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
4. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的单调减区间是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为6，则能截得直三棱柱体积最大为（ ）

A B. C. D.
7. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）

A. B. C. D.
8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A 16 B. 25 C. 36 D. 49
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设函数在处的导数存在，则（ ）.
A B.
C. D.
10. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（ ）
附：







A. B. C. D.
11. 在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（ ）
A. 的周长为
B. （不重合时）平分
C. 面积的最大值为6
D. 当时，直线与轨迹相切
12. 已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，在单调递增
B. 当时，在处的切线方程为
C. 当时，在上至少有一个零点
D. 当时，在上不单调
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中的系数为__________.
14. 的值为_________.
15. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则__________.
16. 若实数，，，满足，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列满足首项为的值，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求角B；
（2）若，的面积为，求的周长.
19. 如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.

（1）求与平面AEF所成角正弦值；
（2）过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线：
①这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本事实（也称为公理）得出，请写出该基本事实的内容；
②求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.
20. 北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.
（1）求乙闯关成功的概率；
（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
21. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP斜率之积等于.
（1）求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；
（2）设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
22. 已知函数（），.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求的取值范围.




















鞍山市普通高中2022—2023学年度高三第一次质量监测
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果，那么在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先计算出，然后判断其所象限，即可求解
【详解】由可得，复数所对应的点位于第四象限.
故选：D
2. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先解指数不等式得到，即可得到，再求子集个数即可.
【详解】，
则，子集的个数为，
故选：D．
3. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
4. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为
故选：C
5. 函数的单调减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.根据正弦函数的单调性即可求出答案.
【详解】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.
令，
所以.
故选：A.
6. 如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为6，则能截得直三棱柱体积最大为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直三棱柱的定义及三角形的面积公式，再利用正弦定理及三元基本不等式，结合棱柱的体积公式即可求解.
【详解】由题意可知，设底面圆的半径为，则,解得.
因为直三棱柱的定义可知，要使能截得直三棱柱体积最大，只需要圆的内接三角形面积最大即可，

.
当且仅当，即时。等号成立，
所以三角形是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，
.
所以能截得直三棱柱体积最大为.
故选：B.
7. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由等比数列的通项公式计算．
【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为，
由题意可得，则，则数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，则视力4.9的视标边长为，
故选：D.
8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
【答案】B
【解析】
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，
又，即，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为25.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设函数在处的导数存在，则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由导数的定义得出，.
【详解】因为函数在处的导数存在，所以
，故B正确.
又∵，所以C正确.
故选：BC.
10. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（ ）
附：







A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先设男生人数为，，列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系即得答案．
【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，，由题意可列出列联表：

男生
女生
合计
喜欢锻炼



不喜欢锻炼



合计



．
由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，
所以；
解得：，因为，
故的可能取值为：9、10、11、12、13，即男生的人数可以是45，50，55，60，65.
则选项中被调查学生中男生的人数可能45或60．
故选：BC.
11. 在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（ ）
A. 的周长为
B （不重合时）平分
C. 面积的最大值为6
D. 当时，直线与轨迹相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，根据题意求得曲线的方程为，结合圆的周长公式，可判定A正确；求得，延长到，使，连结，得到，进而求得，可判定B正确；利用三角形的面积公式和圆的性质，可判定C错误；不妨取，求得直线的方程，结合直线与圆的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】设，因为，且点满足，可得，整理得，即曲线的方程为．
对于A中，曲线为半径为的圆，所以周长为，所以A正确；
对于B中，因为，所以，所以，
延长到，使，连结，如图所示，
因为，所以，所以，
所以，，
因为，所以，所以，
即平分，所以B正确．

对于C中，由的面积为，
要使得的面积最大，只需最大，
由由点的轨迹为，可得，
所以面积的最大值为，所以C错误；
对于D中，当时，或，
不妨取，则直线，即，
因为圆心到直线的距离为，
所以，即直线与圆相切，所以D正确．

故选：ABD．
12. 已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，在单调递增
B. 当时，在处的切线方程为
C. 当时，在上至少有一个零点
D. 当时，在上不单调
【答案】ABD
【解析】
【分析】A．代入m＝1，求，根据指数函数和正弦函数在上的值域即可判断的正负，由此可判断f(x)在上的单调性；
B﹒代入m＝1，求f(0)和，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程；
C﹒代入m＝－1，求，令，求，根据在上的正负判断的单调性，根据单调性可判断其在上是否有零点；
D﹒判断在，上的正负，由此判断的单调性，由此可判断在，上有零点，故可判断f(x)在，上不单调．
【详解】①当时，，，
当x＞0时，＞1，－1≤sinx≤1，∴＞0，∴f(x)在上单调递增，故A正确；
∵f(0)＝0，，∴在处的切线方程为y＝x，故B正确；
②当m＝－1时，，，
令，则，
当x＞0时，＞1，－1≤cosx≤1，∴＞0，∴在上单调递增，
∴当x≥0时，≥＝1，∴在上无零点，∴C错误；
当，时，cosx＜0，＞0，∴＞0，
∴在，单调递增，
又，而，
∴由零点存在定理可知，存在唯一，，使得，
当，时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
∴在，上不单调，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中的系数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项特点即可求解.
【详解】的展开式中第四项为，故的系数为：，
故答案为：
14. 的值为_________.
【答案】1
【解析】
【分析】把拆成，然后利用公式进行化简.
【详解】因，
所以；
故答案为：1.
15. 根据以往临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求，，根据条件概率和全概率公式可得，代入计算即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以.
故答案为：.
16. 若实数，，，满足，则的最小值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】把问题转化为曲线上的点与上点的距离的平方，进一步转化为点到直线的距离公式求解．
【详解】解：因为，所以，，
即，，
令，，
设直线与曲线相切于点，
由，得，
则，由，解得或（舍去），所以．
，则到直线的距离．
而的几何意义为曲线上的点与直线上点的距离的平方，
则的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列满足首项为的值，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算法则求得的首项，再利用等差数列的通项公式代入即可求解；
（2）将（1）中代入，利用裂项求和法即可求得.
【小问1详解】
根据题意得， ，
因为数列是等差数列，设公差为，则由，得，解得，所以.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求角B；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简，结合正弦定理边化角即可得，进而可求解，
（2）根据三角形面积公式以及可得，由余弦定理可求，进而可得周长.
【小问1详解】
∵，
∴，∴.
由正弦定理得，
，∴，∵，∴.
【小问2详解】
∵的面积为，即，得，
∵，∴，∵，∴，∴，
由余弦定理可得，∵，∴，
∴三角形的周长为.
19. 如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.

（1）求与平面AEF所成角的正弦值；
（2）过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线：
①这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本事实（也称为公理）得出，请写出该基本事实的内容；
②求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.
【答案】（1）
（2）①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；②
【解析】
【分析】（1）取AC中点O连接OB，OF，以O为原点，OA，OB，OF为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值；
（2）①由基本事实3可得，②延长交延长线于点M，连接FM且.则FP即为所求，确定点位置，由余弦定理求得的长．
【小问1详解】
取AC中点O连接OB，OF，因为正三棱柱，F为的中点，与三棱柱的侧棱平行，所以OA，OB，OF两两垂直，以O为原点，OA，OB，OF为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

所以，，，，
所以，，，
设平面AEF的法向量，则，即，
令，则，，所以，
设与平面AEF所成角为，则，
所以与平面AEF所成角的正弦值为.
【小问2详解】
①基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
②如下图，延长交延长线于点M，连接FM且.则FP即为所求.
是中点，且，所以是的一条中位线，所以是中点，又是中点，所以是的重心，∴.
由余弦定理可得：，∴.

20. 北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.
（1）求乙闯关成功的概率；
（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，，甲
【解析】
【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关成功的概率大小，即可判断谁的成功的可能性更大.
【小问1详解】
乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则.
【小问2详解】
由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以.
所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.
21. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
（1）求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；
（2）设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据两点间斜率公式以及题中条件斜率之积即可列方程求解，
（2）由面积相等可得长度的比例关系，由相似转化为长度关系，即可列式子求解.
【小问1详解】
因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为
设点P的坐标为，由题意得，化简得
故动点P的轨迹方程为；
【小问2详解】
若存在点P使得与的面积相等，设点P的坐标为，
则
因为，所以，所以
即，解得，因为，所以，
故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为.
22. 已知函数（），.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）当时，无极值点，当时，有极大值点，无极小值点，（2）
【解析】
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求出导函数，通过判断导函数的正负来判断函数的极点；
（2）将不等式恒成立转化为对恒成立，构造函数，利用导数研究函数性质，求解的最值，即可得到的取值范围
【详解】解：（1）函数的定义域为，
由，得，
当时，，所以在上单调递增，函数无极值点，
当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有极大值点，无极小值点，
综上，当时，无极值点，当时，有极大值点，无极小值点，
（2）因为恒成立，即恒成立，
所以对恒成立，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，
所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点，使得，
即，
两边取对数可得，即，
因为函数在上单调递增，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是恒成立，转化为对恒成立，然后构造函数，利用导数求出的最大值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难