辽宁省鞍山市2023-2024学年高三上学期第一次质量监测数学试题

这是一份辽宁省鞍山市2023-2024学年高三上学期第一次质量监测数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
鞍山市普通高中2023-2024学年度高三第一次质量监测数学考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面内对应的点为，则（    ）A． B． C． D．2．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．3．已知一组数据从小到大排列如下：1，2，3，3，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，7，7，8，9，10，则这组数据的第分位数为（    ）A．4 B．4.5 C．5 D．5.54．已知函数为上的奇函数，则实数的值为（    ）A．0 B．1 C． D．1或5．已知，则（    ）A． B． C． D．6．已知数列的前项和为，且满足，则（    ）A．130 B．169 C．200 D．2307．已知函数，若为上的增函数，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．8．已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（    ）A．函数与的图象关于对称B．若函数为奇函数，则的图象关于点中心对称C．若为奇函数，则的图象关于点对称D．若为偶函数，且在上为增函数，则关于的不等式的解集为10．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则弦最短长度为4C．存在以为直径的圆与相交D．若直线，且点在轴的上方，则11．甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是（    ）A．若从甲盒中一次性取出2个球，记表示取出白球的个数，则B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记：从乙盒中取出的1球为白球，则12．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点在侧面上运动，且直线平面，下列说法正确的是（    ）A．点的轨迹长度为B．直线与直线所成的角记为，则的最小值为C．平面与平面所成的锐二面角记为，则D．平面将正方体分成的两部分体积之比为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等边中，，点在边上，且，则______．14．已知函数，．直线与函数的两相邻交点的距离最小值为，则______．15．有6名同学要分到4个不同的单位去实习，要求每个单位至少接收1名同学，则不同的分配方法有______种．16．已知椭圆，直线，直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，若，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本小题满分10分已知的内角、、的对边分别为、、，为边上一点，，且．（1）若，求；（2）若的面积为，求的长．18．本小题满分12分已知数列满足当时，，记表示为的前项和．（1）求；若，请写出的表达式（不必写出推导过程）；（2）求的最小正整数．19．本小题满分12分如图，四棱锥中，底面为平行四边形，为棱中点，且平面．（1）求证：；（2）若，二面角的大小为，求三棱锥的内切球半径．20．本小题满分12分为了促进某城市旅游产业的发展，该城市一家旅游公司拟推出一款优质旅游套餐，以下简记为“套餐”，已知套餐的成本为800元/份，经过对有购买套餐意向的人群（以下简称为“优质客户”）调查，得到销售价格元/份与购买套餐的概率之间的关系如下：约定：每位优质客户最多可以购买1份套餐，且每位优质客户购买套餐的概率只与销售价格有关．（1）若销售价格元/份，记表示4名优质客户购买套餐的人数，求；（2）若优质客户有人，该旅游公司销售套餐的利润为（单位：元），求最大时，销售价格的值．21．本小题满分12分已知双曲线的渐近线方程为，且经过点．（1）求双曲线的方程；（2）点在直线上，、分别为双曲线的左、右顶点，直线、分别与双曲线交于、两点．求证：直线过定点．22．本小题满分12分已知函数为实数．（1）时，求的极小值点；（2）若是的极小值点，求的取值范围．鞍山市普通高中2023-2024学年高三第一次质量检测数学科参考答案一、选择题：1~5、ACBCD  6~8、CBB 9、BCD  10、BD  11、BCD  12、ABC二、填空题：13、  14、2 15、1560 16、三、解答题：17．解：（1）在中，由正弦定理得，所以，（2）作，垂足为，则，，∴所以，为Rt，又，且，∴为等边18解：（1）因为，（2）由题意，为偶数时，由时，为奇数时，由时，综上：的最小正整数为1712分19：（1）中，为中点，∴，又∴平面平面平面，又平面（2）在Rt中，，∴，设，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则设为平面的法向量，则有，令，得，取为平面的法向量，，解得∴，该三棱锥的表面积记为则，由得综上：20（1）解：由题意每名优质客户购买套餐的概率为的取值集合为，且（1）记表示购买套餐的人数，则，（1）时，，此时时，的最大值为（2）时，，此时时，的最大值为（3）时，，此时时，的最大值为（4）时，，此时时，的最大值为综上：的最大值为，此时销售价格元/份21（1）由题意，可得，∴双曲线（2）法一：设直线，代入，得，，则有，直线，直线，由直线、的交点在上得，即：∴恒成立若，将代入得，∴过双曲线的顶点，与题意不符，故舍去  ∴直线过定点法二：设，则设直线由，得，记，则和是该方程的两个根则，由，得，记，则2和是该方程的两个根则则直线的斜率∴，令，故直线过定点22解：（1）时，令，所以，在上递减，在上递增的极小值点为0（也可写）（2），且，且①时在上单调递增单调递减，单调递增是的极小值点，符合题意②时，令单调递增，且单调递减，单调递增，是的极小值点，符合题意③时，单调递减，单调递减，这与是的极小值点矛盾，舍去④时，，单调递增，单调递减，在上单调递增，不是的极小值点，舍去综上：的取值范围为