数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课堂教学课件ppt
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这是一份数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课堂教学课件ppt,共31页。PPT课件主要包含了问题导学,题型探究,当堂训练,学习目标等内容,欢迎下载使用。
1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.
知识点一 空间向量的坐标运算
问题导学
思考 设m=(x1,y1),n=(x2,y2),那么m+n,m-n,λm,m·n如何运算?
答案 m+n=(x1+x2,y1+y2),m-n=(x1-x2,y1-y2),λm=(λx1,λy1),m·n=x1x2+y1y2.
梳理 (1)空间向量a,b,其坐标形式为:a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),λa=(λa1,λa2,λa3),a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
a1b1+a2b2+a3b3=0
类型一 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
解 如图所示,建立空间直角坐标系,其中O为底面正方形的中心,P1P2⊥Oy轴,P1P4⊥Ox轴,SO在Oz轴上.∵|P1P2|=2,而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上,∴P1(1,1,0),P2(-1,1,0).在xOy平面内,P3与P1关于原点O对称,P4与P2关于原点O对称,∴P3(-1,-1,0),P4(1,-1,0).
建立适当的空间直角坐标系,以各点的坐标表示简单方便为宜.向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标.求点的坐标时,一定要注意向量的起点是否在原点,在原点时,向量的坐标与终点坐标相同;不在原点时,向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.
类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
向量平行与垂直问题的三种题型题型1:空间向量平行与垂直的判断,利用空间向量平行与垂直的条件进行判断.题型2:利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用,解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的. 题型3:利用向量坐标处理空间中的平行与垂直:①向量化:即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行;②向量关系代数化:即写出向量的坐标;③求解:利用向量的坐标运算列出关系式求解.
跟踪训练2 在正方体AC1中,已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.证明:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;
(2)A1G⊥平面EFD.
证明 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0 ),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),
类型三 空间向量的夹角与长度的计算
解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上,以便写点时便捷.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
跟踪训练3 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
解 ∵四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠DAB=60°,
在Rt△POB中,∠PBO=60°,
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
解 如图,以O为原点,OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
∵异面直线所成的角为锐角或直角,
当堂训练
1.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于( )A.(16,0,4) B.(8,-16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4)
解析 4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).
2.若a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a·(b+c)的值为( )A.4 B.15 C.3 D.7
解析 ∵b+c=(2,2,5),∴a·(b+c)=4-6+5=3.
3.已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是( )A.(1,1,1) B.(-4,6,-2) C.(2,-3,5) D.(-2,-3,5)
解析 若b=(-4,6,-2),则b=-2(2,-3,1)=-2a,所以a∥b.
解析 依题意(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,
6.已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则x=___.
解析 ∵(a+b)·c=(-2,1,3+x)·(1,-x,2)=x+4=0,∴x=-4.
(3)空间向量的数量积和夹角有关,经常以空间向量数量积为工具,解决立体几何中与夹角相关的问题,把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题,但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.
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