广东省广州市执信中学2023届高三数学上学期第二次月考试题（Word版附解析）

广州市执信中学2023届高三年级第二次月考

数  学

第一部分  选择题（共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合的实部为0}，，，

为虚数单位，则为(    )

A．  B．  C.    D．

2．己知抛物线的准线与圆相切，则的值为(    )

A．    B．1       C．2       D．4

3．己知集合，一个必要条件是，则实数的取值范围为(    )

A．    B．   C．   D．

4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为(    )

A．    B．    C．    D．

5．小桦班的数学老师昨天组织了一次小测，老师给了小桦满分100分，但实际上小桦有一处表述错误，告诉了小岍和小江，这一处错误需要扣4分，这一处错误小桦自己不会告诉老师，小岍有的可能告诉老师，小江有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小桦的听写本上的得分期望(    )

A．    B．98    C．    D．97

6．若，则的值为(    )

A．    B．    C．    D．

7．设正实数满足，则的最大值为(    )

A．0              B．1                C．2               D．3

8．在中，角所对的边分别为，若，，则实数的最小值是(    )

A．    B．   C．   D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分．

9．下列命题中，真命题的是(    )

A．若回归方程，则变量与正相关

B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归效果，若值越小，则模型的拟合效果越好

C．若样本数据的方差为2，则数据方差为8

D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”

10．已知是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是(    )

A．若，则     B．若，，则

C．若，，则   D．若，，则

11．已知双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线上，分别是双曲线的左、右顶点，点为双曲线右支上位于第一象限的动点，的斜率分别为，则的取值可能为(    )

A．    B．1    C．    D．2

12．若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是(    )

A．0       B．   C．    D．

第二部分  非选择题（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．不等式的解集为        ．

14．已知向量满足，，，则等于       ．

15．已知是曲线上的两点，分别以为切点作曲线的切线

且，切线交轴于点，切线交轴于点，则线段的长度为       ．

16．对于集合A，B，定义集合.己知等差数列和正项等比数列满足，，，。设数列和中的所有项分别构成集合A，B，将集合A-B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和         .

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)己知二次函数函数过点，且满足.

(1)求函数的解析式；

(2)解关于的不等式：.

18．(12分)如图，在中，，，且点在线段上．

(1)若，求的长；

(2)若，，求的面积．

19．(12分)如图，三棱柱中，是的中点．

(1)证明：面；

(2)若是边长为2的正三角形，且，，平面平面．求平面与侧面所成二面角的正弦值．

20．（12分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节，己知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.

(1)若分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围．

21．（12分）如图，已知点是抛物线在第一象限上的点，为抛物线的焦点，且垂直于轴，过作圆的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于两点，且直线的斜率为4．

(1)求抛物线的方程及A点坐标；

(2)问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．

22．(12分)已知函数（其中为自然对数的底数）．

(1)求证：当时，；

(2)若不等式对成立，求实数的值.

数学参考答案

单选题：1-8题ACBA DCBC    9．CD    10．ABD    11. CD    12．BD

5．【解析】由题意可知的可能取值为：96，100，则，，因此，.

7．【解析】，则，

当且仅当时取等号，故的最大值为1．故选：B．

8．【解析】由，可得，

由余弦定理得：，

两式结合得：，

即，

即，，则当时，，则

，故由可得其最小值为.

11．【答案】CD．【解析】双曲线的一条渐近线方程为，可得，双曲线的左焦点在直线上，即，

由，解得，，双曲线的方程为，

由题意可得，，设，

可得，即有，可得，，

则，由为左右顶点，可得，则.

12．【答案】BD．【解析】若有两个友情点对，则且与在

时有两个交点，则，，即与在时有两个交点，

对于，得，当时，单调递增，

当时，单调递减，，

，又时，，

时，，的大致图象为：

要使与在时有两个交点，

则，即．故选

13．   14．  15．   16．1632.

17．【解析】(1)∵函数过点，，所以，即，因为，所以的对称轴为，所以，解得，故.

(2)由(1)，.

①当，即时，方程无解，此时解集为；

②当，即时，方程有两个相等的实数根，

当时，解集为：；当时，解集为：；

③当， 即或时， 方程有两个根为，，不等式的解集为

综上，时，不等式的解集是；当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为：.

18．【解析】(1)，，则，，解得，，

，，在中，由正弦定理可知得.

(2)由得，所以，得，所以，，在中，由余弦定理得，即，得，所以，

19．【解析】(1)连接交AC于E，连接，故为中点，是的中点，所以，又平面，平面. 故平面.

(2)取边中点连接，因为，为等边三角形，，

所以，又平面平面，

且平面平面，

平面，所以两两互相垂直．

故以为原点，建立空间直角坐标系如图所示：

则由题意可知，，.

设平面的法向量，则，即

，令，得．显然平面的一个法向量为.

，二面角的正弦值为.

20．【解析】(1)设该生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件A，则；

该考生报乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，.

(2)设该生报考甲大学通过的科目数为，根据题意可知，，则，报考乙大学通过的科目数为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3．

，，

，，

随机变量的分布列：

，

因为该考生更希望通过甲大学的笔试，，则，得：.

21．【解析】(1)因为．由，所以抛物线方程为，且.

(2)：直线的方程为，其中分别对应，于是，即，

，即，

由可知，因为直线的方程为，其中分别对应，再设直线的方程为，

联立求得其交点均满足，

代入抛物线的方程，于是有，

将，整理得，

进而得到，．

将代入前式，有，

化简得，再代入的方程得，

所以恒过定点.

22．【解析】(1)，当时，，，，

当时，，，，

故当时，，单调递增.

，而，故；

(2)令，即对成立，

若，则，与题意不符；

故只需考虑的情况：，，

，，显然当时，，

在上单调递增，

①       若，则，，

故，使得， 上单调递减，

，与题意不符，舍；

②       若，则，当时，，，

故，单调递增，又，故，

使得，在上单调递增，，与题意不符，舍；

③       若，则，当时，

当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

恒成立.    综上，