2024届广东省广州市执信中学高三上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2024届广东省广州市执信中学高三上学期第二次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简集合B，根据集合的交集运算得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
2．在复数范围内方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设得，即可求复数解.
【详解】由题设.
故选：C
3．已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数图象关于对称，可通过函数平移变换得到所求函数.
【详解】由题意知：将图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
所得函数关于点对称，则所得函数为奇函数，
为奇函数.
故选：D.
4．两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，根据可得，设与的夹角为，利用即可求解.
【详解】由题意可得，，且，
所以.
设与的夹角为，，
则,
所以.
故选；D.
5．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对数的规则和对数函数的单调性比较大小.
【详解】因为，，
所以．
故选：D
6．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（ ）
A．49%B．51%C．65.7%D．72.9%
【答案】C
【分析】根据给定的函数模型，结合已知数据列出方程求解作答.
【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得，
因此前6小时过滤后剩余污染物数量为，
所以前6小时共能过滤掉污染物的.
故选：C
7．设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设等比数列的公比为，
若，
当时，由得，
解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递减数列.
当时，由得，
解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时此时为递减数列.
反之，若为递减数列，则，
所以“对于任意的，”是“为递减数列”的充分必要条件.
故选：C
8．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】C
【分析】根据椭圆、双曲线离心率定义及其方程写出关于m的表达式，利用基本不等式求范围，即可确定最值情况.
【详解】由已知，，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最大值为，无最小值(m范围为开区间).
故选：C
二、多选题
9．已知一组样本数据，，，…（）中，与样本平均数相等，．则去掉以下哪个数据以后，新的样本数据的方差一定比原来的样本数据的方差小？（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据平均数与方差定义判断可得答案．
【详解】根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，
故和符合条件；
去掉，样本平均数不变，则根据方差的计算公式可知方差变大，
故不符合条件；
去掉，样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件．
故选：AD.
10．在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据线面平行的判定定理可判断A，B选项；假设平面面，利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断C，D选项.
【详解】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接，
则，而，,
故，即四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
故平面，A正确；
对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接，
则，而，,
故，即四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
故平面，B正确；
对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接，
设交于，连接，
则，而,
故，即四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
平面平面，
假设平面，则，
即在平面内过点有两条直线和都平行，
这是不可能的，故此时平面不成立，C错误；
对于D，设底面为平行四边形，
连接交于点，交于，
则为的中点，连接，
由于为的中点，故；
又平面，平面，平面平面，
假设平面，则，
即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的，
故此时平面不成立，D错误；
故选：AB
11．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】确定点Q的初始位置，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.
【详解】由题意，点Q的初始位置的坐标为，锐角，
设t时刻两点重合，则,即，
此时点，
即，
当时，，故A正确；
当时，，即，故B正确；
当时，，即，故D正确.
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.
故选：ABD.
12．若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】BD
【分析】将分段函数图像上存在两个点关于原点对称这一性质，转化为的图像关于原点对称后与的图像有两个交点；再利用参变分离解决.
【详解】若有两个友情点对，则 在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点.由时，；得其关于原点对称后的解析式为.
问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，
化简得，即与在上有两个交点.
对于，求导，令，解得：，
即：当时，单调递增；
令，解得：，
即：当时，单调递减，为其极大值点，，
又时，；时，；画出其大致图像：
欲使与在时有两个交点，
则，即．
故选：BD
【点睛】重点是将一个函数上的对称点问题转化为两个函数图像交点的问题，再利用参变分离的方法，从而求解.
三、填空题
13．已知直线与圆相切，则r的值为 .
【答案】
【分析】由直线与圆相切，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解：由直线与圆相切，
则，
即，
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属基础题.
14．已知函数，是奇函数，则的值为 ．
【答案】/
【分析】根据三角函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】∵为偶函数，所以，为奇函数，
∴，，
∵，∴．
故答案为：
15．将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学的排法有 种．
【答案】20
【分析】由A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学，分类讨论B在A与C之间，B在A的一侧，A与C之间为D、E中任一人两种情形，分类计数后相加即可.
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
1、若A与C之间为B，即B在A、C中间且三人相邻，
考虑A、C的顺序，有种情况，将三人看成一个整体，
与D、E2人全排列，有种情况，
则此时有种排法，
2、若A与C之间不是B，
先D、E中选取1人，安排A、C之间，有种选法，
此时B在A的另一侧，将4人看成一共整体，考虑之间的顺序，有种情况，
将这个整体与剩余的1人全排列，有种情况，
则此时有种排法，
则一共有种符合题意的排法．
故答案为：20．
16．若函数，，则函数在上平均变化率的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用定义得到在上平均变化率为，令，根据几何意义可看做图象上任一点与点连线的斜率，数形结合，以及切线的几何意义求出变化率的取值范围.
【详解】当时，
在上平均变化率为，
令
可看做图象上任一点与点连线的斜率，
即，当点从点运动到点，斜率逐渐减小，点重合时，
表示函数在点处的切线的斜率，
，
所以，当点位于点时，点连线的斜率最大，
，
故.
故答案为：
四、解答题
17．记数列的前n项和为，对任意正整数n，有．
(1)证明：数列为常数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合计算推理作答.
（2）由（1）求出数列的通项，再利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）依题意，，，
两式相减得：，即，
整理得，即，因此，
所以数列是常数列.
（2）当时，，解得，
由（1）得：，于是，
则，
所以.
五、证明题
18．已知锐角中，，
(1)求证：；
(2)设，求AB边上的高.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用和差角的正弦公式、同角公式推理计算即得.
（2）利用同角公式求出，再结合（1）的结论及和角的正切求出即可列式计算得解.
【详解】（1）由，得，
即，两式相除得，
所以.
（2）在锐角中，，，则，，
即有，将代入上式并整理得，
而，解得，，
设边上的高为，则，
由，得，所以边上的高等于
六、解答题
19．中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.
表中：，
(1)根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；
(2)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
（2）参考数据：，，，，
【答案】(1)②更适宜，；
(2)7.5min.
【分析】（1）根据散点图选择②，取对数，再利用最小二乘法公式求出回归直线方程即可.
（2）利用（1）中回归方程，列出关于的方程求解即得.
【详解】（1）由散点图知，更适宜的回归方程为②，即.
由，得，两边取自然对数，得，
令，则，
，
结合表中数据，得，
结合参考数据可得，由，得，
所以茶水温度y关于时间x的回归方程为.
（2）依题意，室温下，茶水温度降至口感最佳，
即，整理得，
于是，解得，
所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳引用口感.
20．如图1，在平行四边形ABCD中，，，将沿AC折起，使得点D到点P的位置，如图2，经过直线PB且与直线AC平行的平面为，平面平面，平面平面
(1)证明：
(2)若，求直线BC与平面ABP所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的性质定理即可得线线平行，由平行的传递性即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用向量夹角即可求解.
【详解】（1）因为平面，平面PAC，平面平面
所以（线面平行性质定理的应用）．
同理，因为平面，平面，平面平面ABC =n，
所以， 所以
（2）由题，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，则
，，，设，
则由，可得，得，
所以，
又
设平面PAB的法向量为，则
，所以，得，令，可得，
所以
又，，
所以直线BC与平面ABP所成角的正弦值为
21．平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（）的离心率为，实轴长为4．

(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若直线的斜率满足，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用给定条件，求出即可得解.
（2）设出点的坐标及直线的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式计算得解.
【详解】（1）因为的实轴长为4，即，解得，
又离心率，则，
所以双曲线C的方程为.
（2）设，，，依题意，直线GH斜率存在，设直线，，
由（1）知，，则直线，直线，
由点M在直线l上，得，代入直线AG方程，得，
则点M坐标，因此，又，
由，得，整理得，
由消去y并整理得，则，，
又
，而，
因此，
则，解得，此时成立，所以点P坐标为.
【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求解.
22．已知函数，（其中为常数，是自然对数的底数）．
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据导函数的几何意义，先求斜率，再带入化简整理即可；
（2）方法一：不等式恒成立可等价转化为，构造函数，然后通过函数单调性，求最值即可；
方法二： 恒成立，即，进行同构变形，则构造函数，利用函数单调性求解不等式，进而转化为，接下来参变分离即得出结果.
【详解】（1）根据题意可知：
，，
所以，，
所求的直线方程为，
即．
（2）方法一：，，
故不等式恒成立可等价转化为：
在上恒成立，
记，，
当时，，不合题意；
当时，．
记，，
则，
所以在上是增函数，又，，
所以使得，即①，
则当时，，即，
当时，，即，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以②，
由①式可得，，
代入②式得，
因为，即，
故，，即，
所以时，恒成立，故的取值范围为．
方法二：根据已知条件可得：，，
且恒成立；
故可等价转化为：恒成立．
设，则，单调递增，
因而恒成立，即恒成立．
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，从而即为所求．
【点睛】恒成立问题求参数的取值范围的方法：
（1）参数分离法；
（2）构造函数法：①构造函数，然后通过研究函数的单调性，求出最值，解不等式即可；②构造函数，研究函数的单调性，利用单调性解不等式，然后转化之后进行参变分离.
73.5
3.85