“西南汇”联考2022-2023学年高三上学期开学考试理科数学试题（含答案）

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这是一份“西南汇”联考2022-2023学年高三上学期开学考试理科数学试题（含答案），共13页。
2022年“西南汇”联考2023届高三第一学期开学考理科数学总分: 150分单选题（5分*12）1. 设集合，则( )A. B. C. D.2. 设复数满足，则( )A. B. C. D.3. 函数的零点共有( )A.个 B.个 C.个 D.个4. 已知正方体中，分別为的中点，则( )A. B.C. D.5. 已知的内角的对边分别是,则“”是“是钝角三角形”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 已知函数，下列说法正确的是( )A.的最小正周期是B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递增D.的图象可由的图象向左平移个单位得到7. 已知均为单位向量，且满足，命题，命题，则下列命题恒为真命题的是( )A. B.C. D.8. 函数的最小值为( )A. B. C. D.9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为( )A. B.C. D.10. 已知某校高三年级共人，按照顺序从到编学号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有个黑球和个白球的不透明盒子中随机取出个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级人全部参与调查，经统计：有人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为( )A. B. C. D.11. 单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为( )A. B.C. D.12. , 则（）A. B.C. D.填空题（5分*4）13. 已知函数则____________.14. 函数的一条过原点的切线方程为____________.15. 设是抛物线的焦点，点在抛物线上，，若，则____________.16. 已知正实数满足, 则的最小值为____________.解答题部分70分17. （12分）在三棱锥中，平面平面是的中点.(1)证明：；(2)若，求二面角的大小.18. （12分）已知的内角所对的边分别为.(1)求；(2)若，求.19. （12分）记数列前项和为.(1)证明：为等差数列；(2)若，记为数列的前项积，证明：.20. （12分）设椭圆，右焦点，短轴长为，直线与轴的交点到右焦点的距离为.(1)求的方程；(2)点均在上，且满足，若与轴交点为，求满足条件的点的坐标.21. （12分）设函数为常数).(1)讨论的单调性；(2)若函数有两个不相同的零点, 证明:.选考题22. （10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，正方形的顶点均在上，且依逆时针次序排列，点.(1)求的普通方程及点的坐标；(2)设为上任意一点，求的最小值.23. （10分）[选修4-5：不等式选讲]已知为正实数，.(1)求证：；(2)求证：.
答案 1. B 【解析】由题意，得. 2. C 【解析】由题意，得.则. 3. C 【解析】当时无解；当时，有解综上，函数有个零点. 4. D 【解析】建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为.则.故. 5. A 【解析】, 即为钝角, 故充分,而若钝角三角形中为钝角, 则为锐角,, 即有, 故不必要. 6. D 【解析】，故选项错误；令，此时对应的不为整数，直线不为其对称轴，故选项错误；上，函数单调递减，故选项错误；将的图象向左移个单位得.故D选项正确. 7. B 【解析】条件说明的夹角和的夹角相等，作图知命题必有一个为真命题，故恒为真命题的是. 8. D 【解析】. 9. D 【解析】由题意，得.则单调递增.又当时，；当时，.时，的解集为.又为奇函数，为偶函数，的解集为. 10. B 【解析】理想情况下，人分为(人)和(人)，人中将有人回答“否”，则人中有(人)回答“否”，人回答“是”，则问是否带手机的回答是人数约占，该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为(人). 11. C 【解析】如图为单位正四面体.过点作面的垂线交面于点为外接球球心，则为的中心，.不妨设.在中，由勾股定理，得.解得.最大正三角形得边长为. 12. A 【解析】构造 , 则,故 .由切线不等式 ,即 . 故. 13. 【解析】原式. 14. 【解析】由题意，得的切线方程为当时，此直线过原点，故函数过原点的一条切线方程为. 15. 【解析】由题意，得.点到抛物线准线的距离为.抛物线的准线方程为，或，. 16. 【解析】原式令则在正负性上等价, 故此函数在上单调递减,上单调递增.将代入, 得原式. 17. （2）【解析】(1)证明：由题意，得面.又，面.(2)建立如图坐标系：由题意, 得 .设面的一个法向量,则由设 .同理求得面的一个法向量.则 .则二面角的大小为. 18. （1）（2）【解析】(1)由题意，得.，.(2)将代入(1)中两式，得..当时，解得；当时，解得.又，.，.综上，. 19. 证明：(1)由题意，得.则.两式相减，得，即，是等差数列.(2)， 20. (1).(2)或或. 【解析】(1)由题意，得.即椭圆的方程为.(2)当轴时，此时点不存在；当不平行轴时，不妨设.联立直线和椭圆C的方程，得.则.由韦达定理，得.设的中点为，则..结合直线和，得.，即.若，则，将代入，解得..经验证：符合，此时点的坐标为；若，即，解得.经验证：符合，此时点的坐标为或.综上所述，符合条件的点的坐标有或或. 21. (1)由题意，得.又，在上，，在上，，在上单调递减，上单调递增.(2)由(1)的结论不妨有.又均，只需证.构造函数.则，当时，等号成立，不能取到，故，说明恒成立，结论得证. 22. (1)曲线的普通方程为；.(2). 【解析】(1)曲线的普通方程为；.(2)设.原式.当时取等号，其最小值为. 23. 证明：(1)由三元柯西不等式，得原式.当时，取等号.(2)由平均不等式，得整理，得.当时，取等号.