“西南汇”联考2022-2023学年高三上学期开学考试文科数学试题（含答案）

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2022年“西南汇”联考2023届高三第一学期开学考文科数学总分: 150分 单选题（5分*12）1. 设集合​，则(  )A.​ B.​ C.​ D.​2. 设复数​满足​，则​(  )A.​ B.​ C.​ D.​3. 函数 ​的零点共有(  )A.​个 B.​个 C.​个 D.​个4. 已知​，且​为第四象限角，则​(  )A.​ B.​C.​ D.​5. 已知正方体​中，​分別为​的中点，则(  )A.​ B.​C.​ D.​6. 已知函数​，下列说法正确的是(  )A.​的最小正周期是​B.​的图象关于直线​对称C.​在区间​上单调递增D.​的图象可由​的图象向左平移​个单位得到7. 已知​均为单位向量，且满足​，命题​，命题​，则下列命题恒为真命题的是(  )A.​ B.​C.​ D.​8. ​的最小值为(  )A.​ B.​ C.​ D.​9. 已知一个定义在​上的奇函数​，当​时，​，则不等式​的解集为(  )A.​ B.​C.​ D.​10. 已知某校高三年级共​人，按照顺序从​到​编学号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有​个黑球和​个白球的不透明盒子中随机取出​个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级​人全部参与调查，经统计：有​人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为(  )A.​ B.​ C.​ D.​11. 单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为(  )A.​ B.​C.​ D.​12. 设​，则(  )A.​ B.​C.​ D.，​填空题（5分*4）13. 已知函数​则​____________.14. 函数​的一条过原点的切线方程为____________.15. 设​是抛物线​的焦点，点​在抛物线​上，​，若​，则​____________.16. ​的外心为​，三个内角​所对的边分别为​，​.则​面积的最大值为____________.解答题部分17. （12分）记数列​前​项和为​.(1)证明：​为等差数列；(2)若​，记​为数列​的前​项积，证明：​.18. （12分）已知​的内角​所对的边分别为​.(1)求​；(2)若​，求​.19. （12分）在三棱锥​中，平面​平面​是​的中点.(1)证明：​；(2)若​，求点​到平面​的距离.20. （12分）设函数​为常数).(1)讨论​的单调性；(2)讨论函数​的零点个数.21. （12分）设椭圆​，右焦点​，短轴长为2，直线​与​轴的交点到右焦点的距离为​.(1)求​的方程；(2)点​均在​上，且满足​，若​与​轴交点为​，求满足条件的点​的坐标.选考题22. （10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系​中，曲线​的参数方程是​(​为参数)，正方形​的顶点均在​上，且​依逆时针次序排列，点​.(1)求​的普通方程及点​的坐标；(2)设​为​上任意一点，求​的最小值.23. （10分）[选修4-5：不等式选讲]已知​为正实数，​.(1)求证：​；(2)求证：​.
答案 1.  B 【解析】由题意，得​. 2.  C 【解析】由题意，得​.则​. 3.  C 【解析】当​时​无解；当​时，​有解​综上，函数​有​个零点. 4.  A 【解析】​为第四象限，​，​. 5.  D 【解析】建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为​.则​.故​. 6.  D 【解析】​，故​选项错误；令​，​此时对应的​不为整数，​直线​不为其对称轴，故​选项错误；​上，函数​单调递减，故​选项错误；将​的图象向左移​个单位得​​.故D选项正确. 7.  B 【解析】条件说明​的夹角和​的夹角相等，作图知​命题必有一个为真命题，故恒为真命题的是​. 8.  A 【解析】原式 ​. 9.  D 【解析】由题意，得​.则​单调递增.又​当​时，​；当​时，​.​时，​的解集为​.又​为奇函数，​为偶函数，​的解集为​. 10. B 【解析】理想情况下，​人分为​(人)和​(人)，​人中将有​人回答“否”，则​人中有​(人)回答“否”，​人回答“是”，则问是否带手机的回答是人数约占​，该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为​(人). 11. C 【解析】如图为单位正四面体​.过点​作面​的垂线交面于点​为外接球球心，则​为​的中心，​.不妨设​.在​中，由勾股定理，得​.解得​.​最大正三角形得边长为​. 12. B 【解析】​，​​，​在​上​，在​上​单调递增​，​. 13. ​ 【解析】原式​. 14. ​ 【解析】由题意，得​的切线方程为​当​时，此直线过原点，故函数​过原点的一条切线方程为​. 15. ​ 【解析】由题意，得​.​点​到抛物线准线的距离为​.​抛物线的准线方程为​，​或​，​. 16. ​ 【解析】设​的中点为​，则​.​​​​​，​​，​ 17. 证明：(1)由题意，得​.则​.两式相减，得​，即​，​是等差数列.(2)​，​ 18. (1)​.(2)​. 【解析】(1)由题意，得​.​，​.(2)将​代入(1)中两式，得​.​.当​时，解得​；当​时，解得​.又​，​.​，​. 19. (1)证明：由题意，得​面​.又​，​面​.(2)根据中点性质，知点​到​的距离为点​到​的距离的平均值.​​点​到​的距离为​. 20. (1)由题意，得​.又​，​在​上，​，在​上，​，​在​上单调递减，​上单调递增.(2)由(1)的结论不妨有​.又​均​，只需证​.构造函数​.则​​，当​时，等号成立，不能取到，故​，说明​恒成立，结论得证. 21. (1)​.(2)符合条件的点​的坐标有​或​或​. 【解析】(1)由题意，得​​.即椭圆​的方程为​.(2)当​轴时，此时点​不存在；当​不平行​轴时，不妨设​.联立直线​和椭圆C的方程，得​.则​.由韦达定理，得​.设​的中点为​，则​.​.结合直线​和​，得​.​，即​.若​，则​，将​代入​，解得​.​.经验证：符合​，此时点​的坐标为​；若​，即​，解得​.经验证：符合​，此时点​的坐标为​或​.综上所述，符合条件的点​的坐标有​或​或​. 22. (1)曲线​的普通方程为​；​.(2)​. 【解析】(1)曲线​的普通方程为​；​.(2)设​.原式​​.当​时取等号，其最小值为​. 23. 证明：(1)由三元柯西不等式，得原式​.当​时，取等号.(2)由平均不等式，得​整理，得​.当​时，取等号.