高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时学案设计

  5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质

第1课时　正弦函数、余弦函数的性质(一)

1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．

2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．

3．掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．

1．周期函数

(1)周期函数的概念

(2)最小正周期

温馨提示：对周期函数的三点说明

(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．

(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．

(3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期．

2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

1．生活中，有很多“周而复始”的现象，你能举出几个常见的例子吗？

[答案]　每天的日出日落，四季更替，每周上课用的课程表等

2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)由于sin＝sin，则是函数y＝sinx的一个周期．(　　)

(2)因为sin＝sin，所以函数y＝sin的周期为4π.(　　)

(3)对任意实数x，若有f(x＋1)＝f(x)，则f(x)是周期函数，T＝1是f(x)的一个周期．(　　)

(4)函数y＝sin是奇函数．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

题型一  正、余弦函数的周期性

【典例1】　求下列函数的最小正周期．

(1)f(x)＝cos；(2)f(x)＝|sinx|.

[思路导引]　求三角函数周期时可利用定义f(x＋T)＝f(x)，也可用公式T＝，还可以利用图象求解．

[解]　(1)解法一：定义法

∵f(x)＝cos＝cos

＝cos＝f(x＋π)，

即f(x＋π)＝f(x)，

∴函数f(x)＝cos的最小正周期为π.

解法二：公式法

∵y＝cos，∴ω＝2.又T＝＝＝π.

∴函数f(x)＝cos的最小正周期为π.

(2)解法一：定义法

∵f(x)＝|sinx|，

∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，

∴f(x)的最小正周期为π.

解法二：图象法

函数y＝|sinx|的图象如图所示，

由图象可知最小正周期为π.

　求三角函数最小正周期的方法

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.

(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．

[针对训练]

1．求下列函数的周期．

(1)y＝3sin；

(2)y＝|cosx|.

[解]　(1)∵y＝3sin，∴ω＝.

又T＝＝＝4，

∴函数y＝3sin的周期T＝4.

(2)∵f(x)＝|cosx|，

∴f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|＝f(x)，

∴f(x)＝|cosx|的周期 T＝π.

题型二  正、余弦函数的奇偶性

【典例2】　判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin；

(2)f(x)＝sin|x|；

(3)f(x)＝＋.

[思路导引]　首先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系．

[解]　(1)因为函数的定义域为R，

f(x)＝sin＝－cos，

所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，

所以函数f(x)＝sin是偶函数．

(2)因为函数的定义域为R，

f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，

所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．

(3)由得cosx＝1，

所以x＝2kπ(k∈Z)，

此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．

　判断函数奇偶性应把握好2个关键点

关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；

关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．

对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．要特别注意化简前后式子的等价性．

[针对训练]

2．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝xsin；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝sin.

[解]　(1)函数f(x)＝xsin的定义域为R.

∵f(x)＝xsin＝xcosx，

∴f(－x)＝(－x)·cos(－x)

＝－xcosx＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(2)函数应满足1＋sinx≠0，

∴函数的定义域为

.

∵函数的定义域不关于原点对称，

∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．

(3)f(x)＝sin＝－cos2x，定义域为R.

∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，

∴f(x)是偶函数.

题型三  正、余弦函数周期性与奇偶性的应用

【典例3】　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．

[思路导引]　解决此类问题的关键是利用函数的周期性与奇偶性，将x化到可求值区间内．

[解]　∵f(x)的最小正周期是π，

∴f＝f＝f.

∵f(x)是R上的偶函数，

∴f＝f＝sin＝.∴f＝.

[变式]　本例中的“偶函数”改为“奇函数”其他条件不变．结果如何？

[解]　∵f(x)最小正周期为π，

∴f＝f＝f.

∵f(x)为奇函数，

∴f＝－f＝－sin＝－，

∴f＝－.

　解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法

利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．

[针对训练]

3．函数f(x)＝sin是周期为________的________(奇或偶)函数．

[解析]　∵f(x)＝sin＝－sin＝－cos2x，

∴周期 T＝＝π，y＝cos2x为偶函数．

故f(x)是周期为π的偶函数．

[答案]　π　偶

课堂归纳小结

1．求函数的最小正周期的常用方法

(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.

(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sinx|.

(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.

2.正弦函数、余弦函数的奇偶性

(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．

(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．

(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用.

1．函数y＝2sinx＋5的最小正周期是(　　)

A.    B．π 

C．2π    D．4π

[解析]　函数y＝2sinx＋5的最小正周期就是函数y＝sinx的最小正周期，即＝2π，故选C.

[答案]　C

2．函数y＝cos的奇偶性为(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数，又是偶函数

[解析]　函数的定义域为R，且y＝cos＝sinx，故所给函数是奇函数．

[答案]　A

3．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　　)

A．f(x)是周期为1的奇函数

B．f(x)是周期为2的偶函数

C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数

D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数

[解析]　∵f(x)＝sin－1

＝－sin－1

＝－cos(πx)－1

∴T＝＝2，而f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

[答案]　B

4．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　)

A．1    B．－1 

C．0    D．2

[解析]　由题意得f＝f

＝f＝－f＝－1.

[答案]　B

5．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．

[解析]　由题意得＝≤2，∴k≥4π.

∴正整数k的最小值为4π.

[答案]　4π

课后作业(四十四)

复习巩固

一、选择题

1．下列函数中，周期为的是(　　)

A．y＝sinx    B．y＝sin2x

C．y＝cos    D．y＝cos4x

[解析]　∵T＝＝，∴|ω|＝4，而ω>0，∴ω＝4.

[答案]　D

2．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于(　　)

A．x轴对称    B．原点对称

C．y轴对称    D．直线x＝对称

[解析]　y＝4sin(2x＋π)＝－4sin2x，奇函数图象关于原点对称．

[答案]　B

3．函数f(x)＝3sin是(　　)

A．周期为3π的偶函数    B．周期为2π的偶函数

C．周期为3π的奇函数    D．周期为的偶函数

[解析]　∵f(x)＝3sin

＝3sin

＝－3sin＝－3cosx

∴T＝＝3π，而f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．

[答案]　A

4．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x), f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)

[解析]　由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．

由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.

故选B.

[答案]　B

5．函数y＝的奇偶性为(　　)

A．奇函数    B．既是奇函数也是偶函数

C．偶函数    D．非奇非偶函数

[解析]　由题意知，当1－sinx≠0，

即sinx≠1时，

y＝＝|sinx|，

所以函数的定义域为，

由于定义域不关于原点对称，

所以该函数是非奇非偶函数．

[答案]　D

二、填空题

6．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω>0，则ω＝________.

[解析]　依题意得＝，∴ω＝10.

[答案]　10

7．f(x)＝sinxcosx是________(填“奇”或“偶”)函数．

[解析]　x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)

＝－sinxcosx＝－f(x)，即f(x)是奇函数．

[答案]　奇

8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.

[解析]　∵T＝，

∴f＝f

＝f＝sin＝.

[答案]　

三、解答题

9．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝cos2x；

(2)f(x)＝sin＋2；

(3)f(x)＝x·cosx.

[解]　(1)因为x∈R，

f(－x)＝cos(－2x)＝cos2x＝f(x)，

所以f(x)＝cos2x是偶函数．

(2)因为x∈R，f(x)＝sin＋2＝cos＋2，所以f(－x)＝cos＋2＝cos＋2＝f(x)，所以函数f(x)＝sin＋2是偶函数．

(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cosx＝－f(x)，

所以f(x)＝xcosx是奇函数．

10．已知函数y＝cosx＋|cosx|.

(1)画出函数的图象；

(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．

[解]　(1)y＝cosx＋|cosx|

＝

函数图象如图所示．

(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.

综合运用

11．若函数f(x)＝sin是偶函数，则φ的一个取值为(　　)

A．2010π    B．－

C．－    D．－

[解析]　当φ＝－时，f(x)＝sin＝cosx为偶函数，故选D.

[答案]　D

12．函数y＝cos(sinx)的最小正周期是(　　)

A.    B．π 

C．2π    D．4π

[解析]　∵y＝cos[sin(x＋π)]＝cos(－sinx)

＝cos(sinx)

∴函数y＝cos(sinx)的最小正周期为π.

[答案]　B

13．函数f(x)＝sin＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．

[解析]　f(x)＝sin＋1

＝cos2x＋1，

∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

∵偶函数图象关于y轴对称，

∴f(x)图象关于y轴对称．

[答案]　y轴

14．函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，则

sin＝________.

[解析]　∵函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，∴f(5)＝f(4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1，

则原式＝sin＝－sin＝－1.

[答案]　－1

15．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sinx，当x∈时，求f(x)的解析式．

[解]　x∈时，3π－x∈，因为x∈时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，

所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈.