高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质学案

第四讲　三角函数的图象与性质

知识梳理·双基自测

知识点一　周期函数的定义及周期的概念

(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做 周期函数 .非零常数T叫做这个函数的 周期 .如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小 正周期 .

(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数， 2kπ(k∈Z，k≠0)　都是它们的周期，最小正周期是 2π　.

知识点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质

1．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是 (0,0) 、 　、 (π，0) 、 　、 (2π，0) .

函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是 (0,1) 、 　、 (π，－1) 、 　、 (2π，1) .

2．函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．

3．对于y＝tan x不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)内为增函数．

题组一　走出误区

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝sin x在第一象限是增函数．(　×　)

(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)

(3)y＝sin |x|是周期为π的函数．(　×　)

(4)y＝cos x，x∈(0,4π)不是周期函数．(　×　)

(5)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　×　)

(6)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1(　×　)

题组二　走进教材

2．(必修4P45T3改编)函数y＝tan 2x的定义域是(　D　)

A.  B．

C．  D．

[解析]　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域为.

3．(必修4P40T4改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　B　)

A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数

B．在上是增函数，在及上是减函数

C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数

D．在及上是增函数，在上是减函数

[解析]　函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.

4．(必修4P38T3改编)函数y＝3－2cos的最大值为 5 ，此时x＝ ＋2kπ(k∈Z)　.

[解析]　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z)．

题组三　走向高考

5．(2020·天津，8,5分)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：

①f(x)的最小正周期为2π；

②f是f(x)的最大值；

③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．

其中所有正确结论的序号是(　B　)

A．①  B．①③

C．②③  D．①②③

[解析]　函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝2π，①正确；易知f＝sin ＝1，f＝sin＝sin ＝<1，②错误；把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的是函数y＝sin的图象，③正确．综上，①③正确，②错误．故选B.

6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　A　)

A．f(x)＝|cos 2x|  B．f(x)＝|sin 2x|

C．f(x)＝cos |x|  D．f(x)＝sin |x|

[解析]　A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos |x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin |x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确，故选A.

考点突破·互动探究

考点一　三角函数的定义域、值域——自主练透

　　例1 (1)函数y＝的定义域为(　B　)

A.

B.(k∈Z)

C．(k∈Z)

D.(k∈Z)

(2)函数y＝3－2cos，x∈的值域为 [1,4] .

(3)函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值分别为 ，　.

[解析]　(1)由2sin x－1≥0，得sin x≥，

所以2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．故选B.

(2)因为≤x≤，所以0≤2x－≤，

所以－≤cos≤1，

所以1≤3－2cos≤4.

所以函数的值域为[1,4]．

(3)令t＝sin x，因为|x|≤，

所以t∈.

所以y＝－t2＋t＋1＝－2＋，

所以当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.

所以函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.

名师点拨

三角函数定义域、值域的求解策略

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；

②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).

考点二　三角函数的单调性——师生共研

　　例2 (1)求下列函数的单调区间：

①y＝cos的单调递减区间；

②y＝3tan的单调区间；

③y＝－的单调递减区间．

(2)(2021·洛阳模拟)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　A　)

A.  B．

C．  D．(0,2]

[解析]　(1)①∵y＝cos＝cos，

∴由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

即所求单调递减区间为(k∈Z)．

②y＝3tan＝－3tan，

由kπ－<－<kπ＋，解得4kπ－π<x<4kπ＋π(k∈Z)．

∴函数的单调递减区间为(k∈Z)．

③画图知单调递减区间为(k∈Z)．

(2)由<x<π得ω＋<ωx＋<πω＋，由题意知⊆，所以，解得≤ω≤.故选A.

[答案]　(1)①(k∈Z)

②(k∈Z)

③(k∈Z)

(2)A

名师点拨

三角函数单调性问题的解题策略

(1)求三角函数单调区间的两种方法：①代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．②图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．注：正、余弦型单调区间长度为半周期．

(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

〔变式训练1〕

(1)(多选题)(2020·山东泰安第二次段考)函数f(x)＝3sin的一个单调递增区间是(　AD　)

A.  B．

C．  D．

(2)(2018· 课标全国Ⅱ，10)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则实数a的最大值是(　C　)

A.  B．

C．  D．π

[解析]　(1)f(x)＝3sin＝3cos＝3cos.令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)的增区间为，k∈Z.令k＝0,1，可得选项AD正确，故选A、D.

(2)本题主要考查三角函数的图象及性质．f(x)＝cos x－sin x＝cos.因为f(x)在[0，a]上是减函数，所以解得0<a≤.故a的最大值是，故选C.

考点三　三角函数的周期性、奇偶性、对称性——多维探究

角度1　周期性

　　例3  求下列函数的周期：

(1)y＝2sin；

(2)y＝3；

(3)y＝|tan x|；

(4)y＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1.

[解析]　(1)∵y＝2sin，

∴T＝＝3π，即y＝2sin的周期为3π.

(2)画图知y＝|cos x|的周期是y＝cos x的周期的一半，∴y＝3的最小正周期是y＝3cos的最小正周期的一半，即T＝×＝.

(3)画出y＝|tan x|的图象．

如图所示．

由图象易知T＝π.

∴y＝|tan x|的图象与y＝tan x的周期相同.

(4)y＝－sin 2x·cos －cos 2x·sin ＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

[答案]　(1)3π　(2)　(3)π　(4)π

角度2　奇偶性

　　例4 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)，θ∈是偶函数，则θ的值为(　B　)

A．0  B．

C．  D．

[解析]　因为f(x)＝2sin是偶函数，所以＋θ＝＋kπ，即θ＝＋kπ(k∈Z)，又因为θ∈，故θ＝.

角度3　对称性

　　例5 (多选题)已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　AD　)

A．关于点对称  B．关于直线x＝对称

C．关于点对称  D．关于直线x＝对称

[解析]　由T＝π知ω＝＝＝2，

所以函数f(x)＝sin.

函数f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)；

函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ(k∈Z)，

解得x＝－＋(k∈Z)．故选A、D.

名师点拨

(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T＝或T＝求解．

(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)．

(3)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．

①∵y＝sin x的对称中心是(kπ，0)，(k∈Z)，

∴y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心，由方程ωx＋φ＝kπ解出x＝，故对称中心为(k∈Z)．

②∵y＝sin x的对称轴是x＝kπ＋，k∈Z，

∴ωx＋φ＝kπ＋解出x＝，即x＝为函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程．

③函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．

(4)注意y＝tan x的对称中心为(k∈Z)．

〔变式训练2〕

(1)(角度1)(2018·课标全国Ⅲ，6)函数f(x)＝的最小正周期为(　C　)

A.  B．

C．π  D．2π

(2)(角度2)(多选题)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　BD　)

A．y＝sin

B．y＝cos

C．y＝sin 2x＋cos 2x

D．y＝sin＋cos

(3)(角度3)(2018·江苏)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是 －　.

[解析]　(1)本题考查三角函数的周期．

解法一：f(x)的定义域为.

f(x)＝＝sin x·cos x＝sin 2x，

∴f(x)的最小正周期T＝＝π.

解法二：f(x＋π)＝＝＝f(x)，

∴π是f(x)的周期．

f＝，

而tan＝＝＝－，

∴f＝－≠f(x)，

∴不是f(x)的周期，

∴也不是f(x)的周期．故选C.

(2)y＝sin＝cos 2x是偶函数，不符合题意．y＝cos＝－sin 2x是T＝π的奇函数，符合题意，同理C不是奇函数，D为y＝sin 2x，故选B、D.

(3)由题意可得sin＝±1，所以＋φ＝＋kπ，φ＝－＋kπ(k∈Z)，因为－<φ<，所以k＝0，φ＝－.故填－.

名师讲坛·素养提升

三角函数的值域与最值

　　例6 (1)函数y＝的值域为 　.

(2)函数f(x)＝2sin xsin，当x∈时，函数f(x)的值域为 　.

(3)函数y＝的值域为 　.

(4)若x是三角形的最小内角，则函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x的最小值是(　A　)

A．－＋  B．＋

C．1  D．

[解析]　(1)解法一：y＝＝2＋，

由于－1≤sin x≤1，所以－5≤≤－，

∴函数的值域为.

解法二：由y＝，解得sin x＝，

∵－1≤sin x≤1，

∴－1≤≤1，解得－3≤y≤，

∴函数的值域为.

(2)f(x)＝2sin x＝sin2x＋sin xcos x＝＋＝sin＋，

∵x∈，∴2x－∈，

∴sin∈.

∴f(x)∈.

(3)解法一：由y＝得sin x－ycos x＝3y－1，

∴sin(x＋φ)＝

其中sin φ＝，cos φ＝.

∴≤1，解得0≤y≤.

解法二：可理解为点P(－cos x，－sin x)与点C(3,1)连线的斜率，点P(－cos x，－sin x)在单位圆上，如图所示．

故t＝满足kCA≤t≤kCB，设过点C(3,1)的直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.

由原点到直线的距离不大于半径1，得≤1，解得0≤k≤.从而值域为.

(4)由条件知0<x≤，

令t＝sin x＋cos x＝sin，

又0<x≤，∴<x＋≤，得1<t≤；

又t2＝1＋2sin xcos x，得sin xcos x＝，

得y＝t－＝－(t－1)2＋1，则－＋≤y<1，

所以函数的最小值为－＋.故选A.

名师点拨

求三角函数值域或最值的方法

(1)y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的值域为[－|a|＋b，|a|＋b]．

(2)y＝asin2x＋bcos x＋c可转化为关于cos x的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可．

(3)y＝asin2x＋bsin xcos x＋c·cos2xy＝Asin 2x＋Bcos 2xy＝sin(2x＋φ)，再利用sin(2x＋φ)的有界性求解，注意2x＋φ的取值范围．

(4)y＝(或y＝)可反解出sin x＝f(y)(或cos x＝f(y))由正、余弦函数的有界性(|f(y)|≤1)求解；y＝可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin(x＋φ)＝利用三角函数的有界性求解．

(5)y＝f(sin x±cos x，sin x·cos x)常用换元法，令t＝sin x±cos x＝sin(x±)，则cos xsin x＝，可化为关于t的二次函数在某区间上的值域或最值．

〔变式训练3〕

(1)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是 1 .

(2)(2021·黑龙江宜春二中月考)函数y＝的最大值是(　D　)

A.－1  B．－－1

C．1－  D．1＋

(3)(2021·云南调研)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域是 　.

[解析]　(1)依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，

因为x∈，所以cos x∈[0,1]，

因此当cos x＝时，f(x)max＝1.

(2)y＝，

∵2－≤2＋sin≤2＋，

∴y≤＝1＋，故选D.

(3)设t＝sin x－cos x，则t2＝1－2sin xcos x，

sin xcos x＝，且－≤t≤，

∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.

当t＝1时，ymax＝1，当t＝－时，ymin＝－－.

∴函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为.