人教版高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质学案理含解析

第四节　三角函数的图象与性质

‖知识梳理‖

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．

(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

►常用结论

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.

(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把(ωx＋φ)看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解．

(3)函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．

(4)对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　　)

(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．(　　)

(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)

(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)

(5)y＝sin|x|是偶函数．(　　)

(6)若sin x>，则x>.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×

二、走进教材

2．(必修4P46A2，3改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)

A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1

C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2

答案：A

3．(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________________．

答案：，k∈Z

三、易错自纠

4．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不可能是(　　)

A． B．

C．π D．

解析：选A　画出函数y＝sin x的草图分析知，b－a的取值范围为.

5．函数y＝sin的单调递减区间为____________．

解析：函数y＝sin＝－sin的单调递减区间是函数y＝sin的单调递增区间．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所给函数的单调递减区间为kπ－，kπ＋，k∈Z.

答案：，k∈Z

6．函数y＝sin的图象的对称轴为____________，对称中心为____________．

解析：由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z；

由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，

故函数y＝sin的图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，对称中心为，k∈Z.

答案：x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z

|题组突破|

1．函数y＝的定义域为______________．

解析：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.

答案：(k∈Z)

2．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．

解析：当x∈时，2x－∈，

∴sin∈，

故3sin∈，

∴函数f(x)在区间上的值域为.

答案：

3．(2019年全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．

解析：∵f(x)＝sin－3cos x

＝－cos 2x－3cos x

＝－2cos2x－3cos x＋1，

令t＝cos x，则t∈[－1，1]，

∴f(x)＝－2t2－3t＋1.

又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.

答案：－4

4．函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．

解析：设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，

∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.

∴当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.

∴函数的值域为.

答案：

►名师点津

求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)．

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

【例1】　(1)函数f(x)＝sin 2xsin －cos 2xcos 在上的单调递增区间为________．

(2)函数y＝|tan x|在上的单调减区间为______________．

(3)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．

[解析]　(1)(整体代入法)依题意，得f(x)＝sin 2xsin ＋cos 2xcos ＝cos.

当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是增函数．因此函数f(x)在上的单调递增区间是.

(2)(图象法)如图，观察图象可知，y＝|tan x|在上的单调减区间为和.

(3)解法一：由题意，可知f(x)在上单调递减，则<x<π，ω>0，得＋<ωx＋<ωπ＋，由正弦函数的单调性知函数在上单调递减，所以解得≤ω≤，所以ω∈.

解法二：由已知＝≥，所以0<ω≤2.又<x<π，得<ωx＋<π.当≤ωx＋≤π时，f(x)单调递减，解得≤x≤，于是应有解得≤ω≤.

[答案]　(1)　(2)和　(3)

►名师点津

三角函数单调性问题的解题策略

(1)已知三角函数的解析式求单调区间

①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

(2)已知三角函数的单调区间求参数

先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

|跟踪训练|

1．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)

A．(k∈Z)

B．(k∈Z)

C．(k∈Z)

D．(k∈Z)

解析：选B　由kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，得－<x<＋(k∈Z)，

所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为－，＋(k∈Z)，故选B．

2．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．

解析：∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，

∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；

当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．

由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，

在上单调递减，知＝，∴ω＝.

答案：

——多维探究

三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．

常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的奇偶性；(3)三角函数的对称性；(4)三角函数性质的综合应用．

●命题角度一　三角函数的周期性

【例2】　在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)

A．①②③ B．①③④

C．②④ D．①③

[解析]　①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；

②由图象知，y＝|cos x|的最小正周期为π；

③y＝cos的最小正周期T＝＝π；

④y＝tan的最小正周期T＝，故选A．

[答案]　A

●命题角度二　三角函数的奇偶性

【例3】　(2019届抚顺调研)已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________．

[解析]　∵函数f(x)为偶函数，∴θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又θ∈，∴θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．

[答案]　

●命题角度三　三角函数的对称性

【例4】　(1)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)

A．关于点对称 B．关于点对称

C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称

(2)(2018年江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．

[解析]　(1)因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.

令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，

故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)．

令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)，

故f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．

(2)由题意得，f＝sin＝±1，

∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

∴φ＝kπ－(k∈Z)．

∵φ∈，∴φ＝－.

[答案]　(1)B　(2)－

●命题角度四　三角函数性质的综合应用

【例5】　(2019年全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数；

②f(x)在区间单调递增；

③f(x)在[－π，π]有4个零点；

④f(x)的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①②④ B．②④

C．①④ D．①③

[解析]　解法一：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确，④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C．

解法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确，排除A；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)的最大值为2，故④正确．故选C．

[答案]　C

►名师点津

三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路

(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．

(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为求解．

(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．

|跟踪训练|

3．(2018年全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

解析：选B　易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3×＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π.当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.故选B．

4．(2019年全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)

A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|

C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|

解析：选A　A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A．

5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选A　由题意得，3cos＝3cos＋φ＋2π＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，

∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.故选A．

【例】　(2019年全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)

A．2 B．

C．1 D．

[解析]　依题意得，函数f(x)的最小正周期T＝＝2×＝π，解得ω＝2，故选A．

[答案]　A

►名师点津

通过极值点分析问题转化为三角函数周期可快速求解．

|跟踪训练|

(2019届武汉市高三二调)函数f(x)＝2sinωx＋(ω>0)的图象在[0，1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为(　　)

A．[2π，4π] B．

C． D．

解析：选C　由函数f(x)在[0，1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图象可知ω＋∈，则≤ω<.故选C．