2024届高考数学一轮复习第4章第3节三角函数的图象与性质学案

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第三节　三角函数的图象与性质
考试要求：1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质及正切函数在-π2，π2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等)．

一、教材概念·结论·性质重现
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，-1，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
xx∈R，且x≠kπ+π2
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增
区间
2kπ-π2，π+π2
[2kπ－π，2kπ]
kπ-π2，kπ+π2
递减
区间
2kπ+π2，π+3π2
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称
中心
(kπ，0)
kπ+π2，0
kπ2，0
对称轴方程
x＝kπ＋π2
x＝kπ
无


1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．要注意求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω22，则x>π4. (　×　)
2．对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)在π4，π2上单调递增
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
B　解析：因为函数y＝sin x在π2，π上单调递减，
所以f(x)＝sin 2x在π4，π2上单调递减，故A错误．
因为f(－x)＝sin [2(－x)]＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确．
f(x)的最小正周期为π，故C错误．
f(x)的最大值为1，故D错误．
3．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝π3对称的是(　　)
A．y＝2sin 2x+π3　　
B．y＝2sin 2x-π6
C．y＝2sin x2+π3
D．y＝2sin 2x-π3
B　解析：函数y＝2sin 2x-π6的最小正周期T＝2π2＝π，又sin 2×π3-π6＝1，
所以函数y＝2sin 2x-π6的图象关于直线x＝π3对称．
4．函数y＝3－2cos x+π4的最大值为______，此时x＝_________．
5　3π4＋2kπ(k∈Z)　解析：函数y＝3－2cos x+π4的最大值为3＋2＝5，
此时x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝3π4＋2kπ(k∈Z)．
5．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是____________．
sin 68°>cos 23°>cos 97°　解析：sin 68°＝cos 22°，又y＝cos x在0°～180°上是减函数，所以sin 68°>cos 23°>cos 97°.


考点1　三角函数的定义域——基础性

1．函数y＝tan π4-x的定义域是(　　)
A．xx≠π4
B．xx≠－π4
C．xx≠kπ＋π4，k∈Z
D．xx≠3π4＋kπ，k∈Z
D　解析：函数y＝tan π4-x＝－tan x-π4，
令x－π4≠π2＋kπ，k∈Z，解得x≠3π4＋kπ，k∈Z，
所以函数的定义域是xx≠3π4＋kπ，k∈Z．
2．函数y＝2sinx-1的定义域为(　　)
A．π6，5π6
B．2kπ+π6，2kπ+5π6(k∈Z)
C．2kπ+π6，2kπ+5π6(k∈Z)
D．kπ+π6，kπ+5π6(k∈Z)
B　解析：由2sin x－1≥0，得sin x≥12，
所以2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6(k∈Z)．
3．已知x∈[0，2π]，则y＝tanx+-cosx的定义域为(　　)
A．0，π2 B．0，π2
C．π，3π2 D．π，3π2
C　解析：由题意tanx≥0，-cosx≥0，x∈0，2π，得x≠kπ＋π2(k∈Z)，
所以函数的定义域为π，3π2.
4．函数y＝lg (sin x)＋ cosx-12的定义域为_________．
x2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z　解析：要使函数有意义必须有sinx＞0， cosx-12≥0，即sinx＞0，cosx≥12，
解得2kπ＜x＜π+2kπk∈Z， -π3+2kπ≤x≤π3+2kπk∈Z．
所以2kπ＜x≤π3＋2kπ(k∈Z)．

1．解答T3容易忽视正切函数的定义域而错选D.
2．求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

考点2　三角函数的值域或最值——综合性

(1)函数f(x)＝cos 2x－2sin π2-x·cos π2+x，x∈0，π2的最小值为(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．0
A　解析：f(x)＝cos 2x－2cos x(－sin x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin 2x+π4，
因为x∈0，π2，可得2x＋π4∈π4，5π4，sin2x+π4∈-22，1，
所以f(x)＝2sin 2x+π4∈[－1，2]，即其最小值为－1.
(2)函数y＝cos2x－sinx的值域是(　　)
A．-1，54 B．1，54
C．[0，2] D．[－1，1]
A　解析：y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝-sinx+122＋54，
由于sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝1时，y的最小值为－1；
当sin x＝－12时，y的最大值为54.所以函数的值域是-1，54.

求解三角函数的值域(最值)常见的类型
(1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．

1．函数y＝2sin xπ6≤x≤2π3的值域是(　　)
A．[1，2) B．(1，2)
C．(1，2] D．[1，2]
D　解析：对于函数y＝2sin xπ6≤x≤2π3，当x＝π6时，函数y取得最小值为1；
当x＝π2时，函数y取得最大值为2，故函数y的值域为[1，2].
2．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的最小值是_________．
－1　解析：设sin x－cos x＝t，
则t＝2sin x-π4，sin x cos x＝1-t22.
因为x∈[0，π]，所以x－π4∈-π4，3π4，所以t∈[－1，2]，
所以y＝t＋1-t22＝－12(t－1)2＋1，当t＝－1时，ymin＝－1.

考点3　三角函数的单调性——应用性

考向1　求三角函数的单调区间
(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin x-π6单调递增的区间是(　　)
A．0，π2 B．π2，π
C．π，3π2 D．3π2，2π
A　解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为2kπ-π2，2kπ+π2(k∈Z)，
对于函数f(x)＝7sin x-π6，由2kπ－π2