高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法优秀同步测试题

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第二册

4.4《数学归纳法》同步练习

一、     单选题：

1.用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（    ）

A．假设当时成立，再推出当时成立

B．假设当时成立，再推出当时成立

C．假设当时成立，再推出当时成立

D．假设当时成立，再推出当时成立

2.若命题在时命题成立，则有时命题成立，现知命题对时命题成立，则有（    ）．

A．命题对所有正整数都成立

B．命题对小于的正整数不成立，对大于或等于的正整数都成立

C．命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立

D．以上说法都不正确

3.设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ）

A．若成立，则成立 

B．若成立，则当时，均有成立

C．若成立，则成立 

D．若成立，则当时，均有成立

4. 现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ）

A．不能用数学归纳法判断此命题的真假

B．此命题一定为真命题

C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题

D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题

5.证明：当时，能被64整除．则下列选项不正确的是(    ）

A.当时，能被64整除．

B.假设当时，能被64整除，

C.当时，．     故也能被64整除．

      D.以上答案都不对.

二、填空题:

6.用数学归纳法证明，假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是_______________________.

7.用数学归纳法证明：，第一步应验证的等式是__________；从“”到“”左边需增加的等式是_________.

8.用数学归纳法证明1＋≤1＋≤＋n(n∈N*)时，当n＝k＋1时，应该证明那个式子                                                     .

三、多选题：

9. 对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：

①当时，，不等式成立.

②假设当时，不等式成立，即，则当时，，

所以当时，不等式成立.上述证法（    ）

A．过程全部正确 B．时证明正确

C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确

10.如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（    ）

A．若对成立，则对所有正整数都成立

B．若对成立，则对所有正偶数都成立

C．若对成立，则对所有正奇数都成立

D．若对成立，则对所有自然数都成立

四、拓展题：

11.用数学归纳法证明：，其中.

.

12.已知数列的前项和为，，且.

（1）求、、；

（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

五、创新题：

13. 已知数列满足，函数，

，.

（1）求证：；       （2）求证：当时，.

同步练习答案

一、 选择题：

1.答案：B

解析：第二步假设当时成立，再推出当时成立. 故选B.

2.答案:C

解析：由已知可得时命题成立，则有时命题成立，

在时命题成立的前提下，可推得时命题也成立，

以此类推可知命题对大于或等于的正整数都成立，

但命题对小于的正整数成立与否不能确定．    故选C.

3.答案:D

解析：选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；

选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；

根据题意，若成立，则成立，即 成立，结合，所以当时，均有成立. 故选D.

4.答案:B

解析：①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；

②假设时，等式成立，

即，则当时，

，

即当时，等式成立．综上，对任意，

等式恒成立，

故选：B．

5.答案：D.

二、填空题：

6.答案:

解析：假设时，不等式成立，则当时，应推证的目标不等式是，    .

7. 答案:  ;      

解析：当时，应当验证的第一个式子是，从“”到“”左边需增加的式子是

8.答案：1＋<1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋(k＋1)

  解析：(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，

则当n=k+1时，

1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.

又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，

即n＝k＋1时，命题成立．    由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．

三、多选题：

9.答案:B、D.

解析：易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.     故选：B、D.

10.答案:B、C.

解析：由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；

若对成立，则对所有正偶数都成立.   故选：B、C.

四、拓展题：

11.答案:证明见解析.

解析：（1）当时，左边，右边，

所以左边=右边，等式成立.

（2）假设当时，等式成立，

即，

那么当时，

.等式成立

综上，对任何，等式都成立

12. 答案:（1），，；   （2），证明见解析.

解析：（1），

当时，，解得，即有；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则；

（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为.

下面运用数学归纳法证明.

①当时，由（1）可得成立；

②假设，成立，

当时，，

即有，

则，

当时，上式显然成立；

当时，，即，

则当时，结论也成立.    由①②可得对一切，成立.

五、创新题：

13.答案：（1）证明见解析；       （2）证明见解析.

解析：（1）由题意知，

当时，.

（2）用数学归纳法加以证明.

①当时，

，

所以当时，结论成立.

②假设当时，结论成立，即，

则当时，

，

由，可知，即.所以当时，结论也成立.

综合①②，可得时，.