通用版高考数学(文数)一轮复习第03单元《基本初等函数及应用》学案(含详解)

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第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用
教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过

指数与对数的基本运算
[过双基]
一、根式与幂的运算
1．根式的性质
(1)()n＝.
(2)当n为奇数时，＝.
(3)当n为偶数时，＝|a|＝
(4)负数的偶次方根无意义．
(5)零的任何次方根都等于零．
2．有理数指数幂
(1)分数指数幂：
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n >1)．
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n >1)．
③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质．
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
二、对数及对数运算
1．对数的定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫作以a为底N的对数，记作x＝loga N，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2．对数的性质
(1)loga1＝，logaa＝.
(2)alogaN＝，logaaN＝.
(3)负数和没有对数．
3．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M >0，N >0，那么
(1)loga(M N)＝logaM＋loga N.
(2)loga＝logaM－loga N.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(4)换底公式logab＝(a>0且a≠1，b>0，m>0，且m≠1)．

1．化简(a>0，b>0)的结果是(　　)
A．a　　　　　　　　　　 B．ab
C．a2b D.
解析：选D　原式＝＝a·b＝.
2．若x＝log43，则(2x－2－x)2＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由x＝log43，得4x＝3，即4－x＝，(2x－2－x)2＝4x－2＋4－x＝3－2＋＝.
3.＋log2＝(　　)
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
解析：选B　＋log2＝－log23＝2－log23－log23＝2－2log23.
4．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝(　　)
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：选C　由题意可得f(a)＝2a＋2－a＝3，则f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝7.
[清易错]
1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．
2．在对数运算时，易忽视真数大于零．
1．化简的结果是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A　依题意知x0，y>0，x－2y>0，
故x＝y不符合题意，舍去．
所以x＝4y，即＝4.
答案：4

二次函数
[过双基]
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象


定义域
R
R
值域


单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称


1．若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是(　　)
A．－4 B．4
C．－2 D．2
解析：选C　∵二次函数的图象的顶点在x轴上，∴Δ＝16＋8t＝0，可得t＝－2.
2．(唐山模拟)如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围为(　　)
A．[8，＋∞) B．(－∞，8]
C．[4，＋∞) D．[－4，＋∞)
解析：选A　函数f(x)图象的对称轴方程为x＝，由题意得≥4，解得a≥8.
3．(宜昌二模)函数f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是(　　)
A．[－20,4] B．(－20,4)
C. D.
解析：选C　由函数f(x)＝－2x2＋6x可知，二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，当－2≤x0，ac＝4






幂函数
[过双基]

1．幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2．常见的5种幂函数的图象

3．常见的5种幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0]减，[0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)减，(0，＋∞)减
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
　　
1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)

解析：选C　令f(x)＝xα，则4α＝2，
∴α＝，∴f(x)＝x.故C正确．
2．(贵阳监测)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f＝(　　)
A. B．2
C. D.
解析：选C　设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将代入解析式得3－α＝，解得α＝－，∴f(x)＝x－，f＝，故选C.
3．若函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．－1或2
解析：选B　∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又f(x)在x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.
[清易错]
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)
A．－1b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选A　构造指数函数y＝x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b0时，有x>x，故>，即a>c，故a>c>b.
5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是(　　)
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．余弦函数
解析：选C　由指数运算的规律易知，ax＋y＝ax·ay，即令f(x)＝ax，则f(x＋y)＝f(x)f(y)，故该函数为指数函数．
[清易错]
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1或01时，f(x)＝ax为增函数，
f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a.
∴a2－a＝.即a(2a－3)＝0.
∴a＝0(舍去)或a＝>1.∴a＝.
当01
03或x3或x3或x1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，
所以loga4－loga2＝1，即loga2＝1，所以a＝2.
当00，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)

解析：选D　结合二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象知：
当a0时，若－0，则b>0，c0，且abc>0时，若－0，c>0，故排除C，
若－>0，则b