通用版高考数学(文数)一轮复习第07单元《平面向量》学案(含详解)

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第七单元 平面向量
教材复习课“平面向量”相关基础知识一课过

向量的有关概念
[过双基]
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
　　
1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　)
A．有不相等的模　　　　 B．不共线
C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量
解析：选C　若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．
2．关于平面向量，下列说法正确的是(　　)
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．平面内的单位向量是唯一的
C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量
D．共线向量就是相等向量
解析：选C　对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.
3．下列命题中，正确的个数是(　　)
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A　对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；
对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；
对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误．
综上，正确的命题个数是0.
[清易错]
1．对于平行向量易忽视两点：
(1)零向量与任一向量平行．
(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．
1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　)
A．共线 B．不共线
C．共线且同向 D．不一定共线
解析：选D　可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A、B、C选项都不正确，故D正确．
2．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使＋＝0成立的是(　　)
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－b D．a⊥b
解析：选C　“＋＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，故答案为C.

向量共线定理及平面向量基本定理
[过双基]
1．向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
2．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
　
1．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)
A．λ＋μ＝2　　　　　　　 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析：选D　∵A，B，C三点共线，
∴∥，
设＝m(m≠0)，即λa＋b＝ma＋mμb，
∴∴λμ＝1.
2．(南宁模拟)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则的值为(　　)
A．－ B.
C．－2 D．2
解析：选C　∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则故＝－2.
3．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选C　如图，

∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
[清易错]
1．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
2．平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的．这一点是易忽视的．
1．(大连双基测试)给出下列四个命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　①错误，两向量是否共线是要看其方向而不是起点或终点；②正确，因为向量既有大小，又有方向，故向量不能比较大小，但向量的模均为实数，故可以比较大小；③错误，当a＝0时，不论λ为何值，都有λa＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时a与b可以是任意向量．
2.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
解析：选A　由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.


平面向量的运算
[过双基]
1．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
2．平面向量的坐标运算
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
(2)平面向量的坐标运算
①向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，
|a|＝.
②向量坐标的求法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
(3)平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

1．(嘉兴测试)在△ABC中，已知M是BC边的中点，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.a－b　　　　　　　　 B.a＋b
C．a－b D．a＋b
解析：选A　＝＋＝－＋＝－b＋a.
2．设D是线段BC的中点，且＋＝4，则(　　)
A．＝2 B．＝4
C．＝2 D．＝4
解析：选A　∵D是线段BC的中点，
∴＋＝2，
∵＋＝4，
∴＝2.
3．已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)
A．(－1，－1) B．(3,7)
C．(1,1) D．(2,4)
解析：选A　由题意可得＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
4．已知A(2,3)，B(4，－3)，且＝3，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，
∵A(2,3)，B(4，－3)，且＝3，
∴(x－2，y－3)＝3(2，－6)＝(6，－18)，
∴解得x＝8，y＝－15，
∴点P的坐标为(8，－15)．
答案：(8，－15)
5．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c与向量ka＋b共线，则实数k＝________.
解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)，
因为向量c与向量ka＋b共线，
所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1.
答案：－1
6．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．
解析：∵D为AB的中点，∴＋＝2，
∵＋＋2＝0，
∴＝－，
∴O是CD的中点，
∴S△AOC＝S△AOD＝S△AOB＝S△ABC.
答案：4
[清易错]
1．向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系．
2．数乘向量仍为向量，只是模与方向发生变化，易误认为数乘向量为实数．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
1．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝(　　)
A．(2,2) B．(－2，－2)
C．(4,6) D．(－4，－6)
解析：选C　＝＋＝(4,6)．
2．已知向量a，b不共线，若＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
解析：选A　因为＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，
所以＝＋＋＝－8a－2b，
所以＝2，即直线AD与BC平行，
而向量与不共线，即直线AB与CD不平行，
故四边形ABCD是梯形．
3．(河北联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则2a＋3b＝(　　)
A．(－5，－10) B．(－2，－4)
C．(－3，－6) D．(－4，－8)
解析：选D　由a∥b，得m＋4＝0，即m＝－4，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．

平面向量的数量积
[过双基]
1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角

设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b

2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
　　
1．设向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a＝2e1－e2，b＝e2，则|a＋2b|＝(　　)
A．2 B.
C．2 D．4
解析：选B　∵向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，
∴|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝0，
∵a＝2e1－e2，b＝e2，
∴a＋2b＝2e1＋e2，
∴|a＋2b|2＝4e＋4e1·e2＋e＝5，
∴|a＋2b|＝.
2．(云南检测)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D　因为a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，
所以a·b＝－1×＋2×1＝.
3．已知|a|＝1，|b|＝2，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D．π
解析：选D　设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝1，|b|＝2，
∵a·(a－b)＝a2－a·b＝12－1×2×cos θ＝3，
∴cos θ＝－1.
又θ∈[0，π]，
∴a与b的夹角为π.
4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，则|a＋2b|＝________.
解析：∵(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×＋4＝4，∴|a＋2b|＝2.
答案：2
5．(衡水中学检测)在直角三角形ABC中，C＝90°，AB＝2，AC＝1，若＝，则·＝________.
解析：∵＝，
∴·＝(＋)·＝·
＝·＝2，
又∵C＝90°，AB＝2，AC＝1，
∴CB＝，∴·＝.
答案：
6．(东北三校联考)已知正方形ABCD的边长为2，＝2，＝(＋)，则·＝________.
解析：如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
则B(0,0)，E，D(2,2)．
由＝(＋)，知F为BC的中点，所以F(1,0)，故＝，＝(－1，－2)，
∴·＝－2－＝－.
答案：－
[清易错]
1．0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0.
2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
3．在运用向量夹角时，注意其取值范围为[0，π]．
1．有下列说法：
①向量b在向量a方向上的投影是向量；
②若a·b>0，则a和b的夹角为锐角，若a·b0，且a，b不共线，
即解得λ>－5，且λ≠－.
答案：∪
3．已知向量a，b满足a＝(2,0)，|b|＝1，若|a＋b|＝，则a与b的夹角是________．
解析：由|a＋b|＝，得(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2a·b＋1＝7，
∴a·b＝1，
∴|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1，
∴cos〈a，b〉＝.又〈a，b〉∈[0，π]，
∴a，b的夹角为.
答案：

一、选择题
1．(常州调研)已知A，B，C三点不共线，且点O满足＋＋＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．＝＋　　 B．＝＋
C．＝－ D．＝－－
解析：选D　∵＋＋＝0，
∴O为△ABC的重心，
∴＝－×(＋)＝－(＋)
＝－(＋＋)＝－(2＋)
＝－－.
2．(合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　　)
A.－ B．－＋
C．2－ D．－＋2
解析：选C　因为＝－，＝－，
所以2＋＝2(－)＋(－)
＝－2＋＝0，
所以＝2－.
3．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝2，则|a－b|的值为(　　)
A．1 B.
C．13 D.
解析：选A　由向量a与b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝2，
可得a·b＝|a|·|b|·cos 30°＝×2×＝3，
所以|a－b|＝＝
＝＝1.
4．(成都一诊)在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝(　　)
A．－ B．0
C. D．3
解析：选A　依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.
5．已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝(　　)
A．6 B．3
C．2 D．3
解析：选D　由非零向量a，b满足a·b＝0，可知两个向量垂直，由|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，说明以向量a，b为邻边，a＋b为对角线的平行四边形是正方形，所以|b|＝3.
6．(青岛二模)在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
解析：选D　依题意得b＝2＝(－4,2)，所以2a＋b＝(－2,6)，所以6x＝－2×3＝－6，x＝－1.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC＝，且||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．2 B.
C．2 D．4
解析：选A　因为||＝2，∠AOC＝，
所以C(，)，
又＝λ＋μ，
所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
8.已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(＋)·(－)的值为(　　)
A．－1 B．－
C. D．2
解析：选D　注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，＋＝2.
又－＝＋＝，
且||＝T＝×＝1，
因此(＋)·(－)＝22＝2.
二、填空题
9．(洛阳一模)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．
解析：∵＝(a－1,3)，＝(－3,4)，
据题意知∥，
∴4(a－1)＝3×(－3)，
即4a＝－5，
∴a＝－.
答案：－
10．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案：b－a　－a－b
11．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴
∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
12．若向量a＝(2,3)，b＝(－4,7)，a＋c＝0，则c在b方向上的投影为________．
解析：∵a＋c＝0，
∴c＝－a＝(－2，－3)，
∴c·b＝8－21＝－13，且|b|＝，
∴c在b方向上的投影为
|c|cos〈c，b〉＝|c|·＝＝－＝－.
答案：－
三、解答题
13．已知向量a＝(3,0)，b＝(－5,5)，c＝(2，k)．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)若b∥c，求k的值；
(3)若b⊥(a＋c)，求k的值．
解：(1)设向量a与b的夹角为θ，
∵a＝(3,0)，b＝(－5,5)，
∴a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝＝5，
∴cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，
∴θ＝.
(2)∵b∥c，∴－5k＝5×2，∴k＝－2.
(3)∵a＋c＝(5，k)，又b⊥(a＋c)，
∴b·(a＋c)＝0，
∴－5×5＋5×k＝0，
∴k＝5.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0.
由向量数量积的坐标公式得sin x－cos x＝0，
∴tan x＝1.
(2)∵m与n的夹角为，
∴m·n＝|m|·|n|cos ，
即sin x－cos x＝，
∴sin＝.
又∵x∈，
∴x－∈，
∴x－＝，即x＝.
高考研究课(一) 平面向量的基本运算
考点
考查频度
考查角度
平面向量的线性运算
5年1考
三角形中的线性运算
平面向量的坐标运算
5年3考
求坐标及待定参数
共线向量定理
5年3考
已知共线求参数值


平面向量的线性运算
[典例]　(1)(济南模拟)在△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)
A.a－b　　　　　　 B.a－b
C.a－b D.a－b
(2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
[解析]　(1)∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，
∴AB＝，CD＝，
∴BD＝，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1.
∴＝＝(－)＝a－b.
(2)法一：由＝λ＋μ，
得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，
则＋＋＝0，
得＋＋＝0，
得＋＝0.
因为，不共线，
所以由平面向量基本定理得
解得所以λ＋μ＝.

法二：连接MN并延长交AB的延长线于T，
由已知易得AB＝AT，
则＝＝λ＋μ，
即＝λ＋μ，
因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝1.
故λ＋μ＝.
[答案]　(1)D　(2)
[方法技巧]
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　　
[即时演练]
1．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝(　　)

A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C　结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
2.如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选A　法一：由题意得＝＋＝＋－＝－，∴λ＝－，μ＝1，∴λ＋μ＝，故选A.
法二：利用坐标法，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，E，∴＝，＝(1,0)，＝(1,1)，则＝λ(1,0)＋μ(1，1)，∴λ＋μ＝.

平面向量的坐标运算
[典例]　(1)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
(2)(绍兴模拟)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
[解析]　(1)由题意，＝2＝2(－)＝2(－3,2)＝(－6,4)，＝－＝(－6,4)－(－4，－3)＝(－2,7)，
∵＝2，
∴＝3＝(－6,21)．
(2)＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，
设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
所以即
[答案]　(1)B　(2)A
[方法技巧]
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　
[即时演练]
1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝(　　)
A．－a＋b B.a－b
C.a－b D．－a＋b
解析：选B　设c＝λ1a＋λ2b，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，所以λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－，所以c＝a－b.
2．已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点．若∥a，则点B的坐标为________．
解析：设B(x,2x)，＝(x－3,2x)．
∵∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，
∴B(－3，－6)．
答案：(－3，－6)

共线向量定理及应用
平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属低档题.,常见的命题角度有：
(1)利用向量共线求参数或点的坐标；
(2)利用向量共线解决三点共线问题.
角度一：利用向量共线求参数或点的坐标
1．若向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．6
解析：选B　∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.
2．已知梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
答案：(2,4)
3．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)，且(a＋c)∥(a－b)，则m＝________.
解析：因为a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)，
所以a＋c＝(1＋m，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)．
又(a＋c)∥(a－b)，
所以(1＋m)(m－5)＋(m＋3)＝0，即m2－3m－2＝0，
解得m＝或m＝.
答案：
[方法技巧]
1．利用两向量共线求参数
如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
2．利用两向量共线的条件求向量坐标
一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．　　
角度二：利用向量共线解决三点共线问题
4．(南阳五校联考)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则k＝________.
解析：若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.
答案：1
5．设两个非零向量a与b不共线，若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．
证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝5(a＋b)＝5.
所以，共线．
又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．
[方法技巧]
三点共线问题的求解策略
　　解决点共线或向量共线问题时，要结合向量共线定理进行，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．　　

1．(全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3 B．2
C. D．2
解析：选A　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.
因为P在圆C上，所以P.
又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
所以
λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
2．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
解析：选A　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
解析：选A　法一：设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
4．(全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
解析：∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，
∴a·b＝0.
又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.
答案：－2
5．(全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，
∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.
答案：－6
6．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
解析：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得
答案：
7．(2014·全国卷Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．
解析：由＝(＋)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90°.
答案：90°

一、选择题
1.(长春模拟)如图所示，下列结论正确的是(　　)
①＝a＋b；
②＝a－b；
③＝a－b；
④＝a＋b.
A．①②　　　　　　　　 B．③④
C．①③ D．②④
解析：选C　①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④错误，故选C.
2．(长沙一模)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－ B.
C. D.
解析：选A　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三点共线，
∴，共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－.
3．(嘉兴调研)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选A　由＋＋＝0得，＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.
4．若＝a，＝b，a与b不共线，则∠AOB平分线上的向量为(　　)
A.＋
B.
C.
D．λ，λ由确定
解析：选D　以OM为对角线，以，方向为邻边作平行四边形OCMD，
∵OM平分∠AOB，
∴平行四边形OCMD是菱形．
设OC＝OD＝λ，
则＝λ，＝λ，
∴＝＋＝λ，且λ由确定．
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 (　　)
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：选A　由题意得＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
因此＋＋＝＋(＋－)
＝＋＝－，
故＋＋与反向平行．
6.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)
A．3 B.
C．2 D.
解析：选B　利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，易得x＝y＝，则＝.
7．(兰州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得sin2θ＝，所以sin θ＝±，故锐角θ＝.
8．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足＝(＋)，＝＋，则△APD的面积为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选A　法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，＝(＋)，又＝(＋)，所以点D是AE的中点，AD＝.取＝，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知＝＋＝＋.而△APD是直角三角形，AF＝，所以△APD的面积为××＝.
法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴B(－2，－2)，C(2，－2)，
由题知＝(＋)＝[(－2，－2)＋(2，－2)]＝(0，－)，
＝＋＝(0，－)＋(4,0)＝，
∴△ADP的面积为S＝||·| |＝××＝.
二、填空题
9．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)
解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)＝e1＋e2.
答案：e1＋e2
10．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
解析：依题意得＝－＝(＋)－＝－＋＋，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.
答案：0
11．(贵阳模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，则向量a的坐标是________．
解析：设a＝(x，y)，
∵平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，
∴＝1，且x－y＝0，解得x＝y＝±.
∴a＝或.
答案：或
12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示)，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是________．
解析：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，E(1，0)，D(0,1)，F，
设P(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)，
∵＝λ＋μ，
∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ
＝，
∴cos α＝－λ＋μ，sin α＝λ＋，
∴λ＝(3sin α－cos α)，μ＝(cos α＋sin α)，
∴2λ－μ＝sin α－cos α＝sin(α－45°)，
∵0°≤α≤90°，
∴－45°≤α－45°≤45°，
∴－≤sin(α－45°)≤，
∴－1≤sin(α－45°)≤1，
∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]．
答案：[－1,1]
三、解答题
13.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)延长AD到G，使＝，
连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，

所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，
又因为，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
14．(郑州模拟)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1，2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．
解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，
∴解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
15.如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
解：(1)设＝xa＋yb，
由＝，得＝4x＋yb，
∵C，M，B三点共线，
∴4x＋y＝1.①
由＝，得＝xa＋2y，
∵A，M，D三点共线，
∴x＋2y＝1，②
联立①②得，x＝，y＝.
∴＝a＋b.
(2)证明：∵＝p，＝q，
∴＝，＝，
∴＝·＋·.
∵E，M，F三点共线，
∴＋＝1.

1．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足＋x＋y＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记＝λ1，＝λ2，＝λ3，则λ2·λ3取最大值时，3x＋y的值为(　　)
A. B.
C．1 D．2
解析：选D　由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1.
∵P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，
∴λ1＝，
∴λ2＋λ3＝，
∴λ2λ3≤2＝，
当且仅当λ2＝λ3＝时取等号，
∴λ2·λ3取最大值时，P为EF的中点．
延长AP交BC于M，则M为BC的中点，
∴PA＝PM，
∴＝－＝－(＋)，
又∵＋x＋y＝0，
∴x＝y＝，
∴3x＋y＝2.
2.如图，在Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足＝，点M，N在过点P的直线上，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为(　　)
A．2 B.
C．3 D.
解析：选B　∵＝λ，＝μ (λ>0，μ>0)，
∴＝＋＝(1－λ).
∵M，P，N三点共线，
∴存在实数k，使＝k＝k(－)＝－kλ＋kμ.
∵＝，∴＝＝－.
∴＋＝＋＝(1－λ)，
∴
由②得，k＝代入①得，－＝1－λ，
∴μ＝，
∴λ＋2μ＝λ＋.
设f(λ)＝λ＋，λ>0，
∴f′(λ)＝，令f′(λ)＝0，得λ＝0或λ＝.
当λ∈时，f′(λ)0.
∴λ＝时，f(λ)取极小值，也是最小值，
又f＝，∴f(λ)的最小值为，
即λ＋2μ的最小值为.
高考研究课(二) 平面向量的数量积及应用
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
数量积的运算
5年5考
求数量积及由数量积求参数
向量的模
5年2考
求模及由模的关系求参数
向量夹角及垂直
5年4考
由向量垂直求参数，由坐标求向量夹角


平面向量的数量积的运算
[典例]　(1)已知等边△ABC的边长为2，若＝3，＝，则·等于(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．－
C．2 D.
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为______；·的最大值为________．
[解析]　(1)如图所示，·
＝(－)·(＋)
＝·
＝·
＝2－2＝×4－×4＝－2.
(2)法一：

如图，·＝(＋)·＝·＋·＝2＝1，
·＝(＋)·
＝·＋·＝·
＝||·||≤||2＝1，故·的最大值为1.
法二：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1，0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.

因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
故·的最大值为1.
法三：

由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，
∴·＝||·1＝1.
当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
[答案]　(1)A　(2)1　1
[方法技巧]
平面向量数量积的2种运算方法
方法
运用提示
适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ
适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题
坐标法
当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2
适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题
[即时演练]
1．(天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A．－ B.
C. D.
解析：选B　如图所示，＝＋.
又D，E分别为AB，BC的中点，
且DE＝2EF，所以＝，
＝＋＝，
所以＝＋.
又＝－，
则·＝·(－)
＝·－2＋2－·
＝2－2－·.
又||＝||＝1，∠BAC＝60°，
故·＝－－×1×1×＝.
2．(豫东名校联考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且＝3，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则·的值是________．
解析：·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝2－1＝－.
答案：－

平面向量数量积的性质
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.
常见的命题探究角度有：
(1)平面向量的模；
(2)平面向量的夹角；
(3)平面向量的垂直.
角度一：平面向量的模
1．(浙江高考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．
解析：法一：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4.
又≤ ＝＝，∴|a＋b|＋|a－b|的最大值为2.
法二：设a，b的夹角为θ.
∵|a|＝1，|b|＝2，
∴|a＋b|＋|a－b|＝＋
＝＋.
令y＝＋，
则y2＝10＋2.
∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]，
∴y∈[4,2 ]，即|a＋b|＋|a－b|的最小值为4，最大值为2.
答案：4　2
2．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为________．
解析：设c＝(x，y)，2a－c＝(2－x,2－y)，3b－c＝(－3－x,3－y)，则由题意得(2－x)·(－3－x)＋(2－y)·(3－y)＝0，即2＋2＝，表示以为圆心，为半径的圆，所以|c|的最大值为.
答案：
[方法技巧]
利用数量积求解长度问题的处理方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
(2)|a±b|＝＝.
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
[提醒]　与模有关的最值或范围问题要注意抓住模的几何意义及数形结合思想的应用．　　
角度二：平面向量的夹角
3．已知单位向量e1与e2的夹角为60°，则|e1－2e2|＝________.
解析：∵单位向量e1与e2的夹角为60°，
∴|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|·cos 60°＝，
∴|e1－2e2|＝＝＝.
答案：
4．(洛阳期末)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
解：∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.
∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.
∴λ>－.
当a与a＋λb共线时，
存在实数m，使a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，
∴解得λ＝0.
即当λ＝0时，a与a＋λb共线，
综上可知，实数λ的取值范围为∪(0，＋∞)．
[方法技巧]
向量夹角问题的2个注意点
(1)切记向量夹角的范围是[0，π]．
(2)a与b夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线，a与b夹角为钝角⇔a·b