通用版高考数学(文数)一轮复习第08单元《数列》学案(含详解)

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第八单元 数 列
教材复习课“数列”相关基础知识一课过

数列的有关概念
[过双基]
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
2．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
　
1．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21的值为(　　)
A．5　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　∵an＋an＋1＝，a2＝2，
∴an＝
∴S21＝11×＋10×2＝.
2．数列{an}满足a1＝3，an＋1＝(n∈N*)，则a2 018＝(　　)
A. B．3
C．－ D.
解析：选D　由a1＝3，an＋1＝，得a2＝＝，a3＝＝－，a4＝＝3，……，
由上可得，数列{an}是以3为周期的周期数列，
故a2 018＝a672×3＋2＝a2＝.
3．已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，前n项的和为Sn，则关于an，Sn的叙述正确的是(　　)
A．an，Sn都有最小值 B．an，Sn都没有最小值
C．an，Sn都有最大值 D．an，Sn都没有最大值
解析：选A　①∵an＝，∴当n≤5时，an0，且单调递减．
故当n＝5时，a5＝－3为an的最小值；
②由①的分析可知：当n≤5时，an0.故可得S5为Sn的最小值．
综上可知，an，Sn都有最小值．
4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1(n∈N*)，则a5＝________.
解析：依题意得an＋1－an＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.
答案：25
[清易错]
1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．
1．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(　　)
A．3不是数列{an}中的项
B．3只是数列{an}中的第2项
C．3只是数列{an}中的第6项
D．3是数列{an}中的第2项或第6项
解析：选D　令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3＋2n，则数列{an}的通项公式为________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1.
因为当n＝1时，不符合an＝2n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝
答案：an＝

等差数列
[过双基]
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
　
1．在等差数列{an}中，已知a2与a4是方程x2－6x＋8＝0的两个根，若a4>a2，则a2 018＝(　　)
A．2 018 B．2 017
C．2 016 D．2 015
解析：选A　因为a2与a4是方程x2－6x＋8＝0的两个根，且a4>a2，所以a2＝2，a4＝4，则公差d＝1，所以a1＝1，则a2 018＝2 018.
2．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＝3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C　∵等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＝3，Sn为等差数列{an}的前n项和，
∴a2＋a3＋a4＝3a3＝3，
解得a3＝1，
∴S5＝(a1＋a5)＝5a3＝5.
3.正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a4＋a10－a＋15＝0，则S13＝(　　)
A．－39 B．5
C．39 D．65
解析：选D　∵正项等差数列{an}的前n项和为Sn，
a4＋a10－a＋15＝0，
∴a－2a7－15＝0，
解得a7＝5或a7＝－3(舍去)，
∴S13＝(a1＋a7)＝13a7＝13×5＝65.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a3＝a6＋4.若S50，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．
(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.
由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，
故解得
即所求m的值为5，k的值为4.

等差数列的判定与证明
[典例]　已知{an}是各项均为正数的等比数列，a11＝8，设bn＝log2an，且b4＝17.
(1)求证：数列{bn}是以－2为公差的等差数列；
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的最大值．
[思路点拨]　(1)利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列{bn}是以－2为公差的等差数列；
(2)求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可．
[解]　(1)证明：设等比数列{an}的公比为q，
则bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q，
因此数列{bn}是等差数列．
又b11＝log2a11＝3，b4＝17，
所以等差数列{bn}的公差d＝＝－2，
故数列{bn}是以－2为公差的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝25－2n，
则Sn＝＝＝n(24－n)＝－(n－12)2＋144，
于是当n＝12时，Sn取得最大值，最大值为144.
[方法技巧]
等差数列判定与证明的方法
方法
解读
适合题型
定义法
对于n≥2的任意自然数，an－an－1为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
[即时演练]
1．(浙江高考)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)

A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
解析：选A　由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．故选A.
2．(全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
解：(1)设{an}的公比为q.
由题设可得
解得
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝
＝－＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n
＝2＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．

等差数列的性质
[典例]　(1)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　)
A．8 B．12
C．6 D．4
(2)已知数列{an}，{bn}为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　)
A. B.
C. D.
(3)(天水模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
[解析]　(1)由a3＋a6＋a10＋a13＝32，得(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝32，得4a8＝32，即a8＝8，m＝8.
(2)因为{an}，{bn}为等差数列，且＝，
所以＝＝＝＝＝＝.
(3)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.
[答案]　(1)A　(2)A　(3)60
[方法技巧]
等差数列的性质
(1)项的性质
在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.　　
[即时演练]
1．(岳阳模拟)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　)
A．95 B．100
C．135 D．80
解析：选B　由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.
2．(广州模拟)已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，a5，a4成等差数列，则的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　设等比数列{an}的公比为q，由a3，a5，a4成等差数列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，所以＝＝＝＝＝.
3．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则＋＝________.
解析：∵数列{an}和{bn}都是等差数列，
∴＋＝＝＝＝＝.
答案：

等差数列前n项和的最值
　等差数列的通项an及前n项和Sn均为n的函数，通常利用函数法或通项变号法解决等差数列前n项和Sn的最值问题．
[典例]　等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．
[解析]　法一：用“函数法”解题
由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
因为a1>0，所以－0，d0，公差d0，a60，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，有下列命题：
①若S3＝S11，则必有S14＝0；
②若S3＝S11，则必有S7是Sn中的最大项；
③若S7>S8，则必有S8>S9；
④若S7>S8，则必有S6>S9.
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D　对于①，若S11－S3＝4(a1＋a14)＝0，即a1＋a14＝0，则S14＝＝0，所以①正确；
对于②，当S3＝S11时，易知a7＋a8＝0，又a1>0，d≠0，所以a7>0>a8，故S7是Sn中的最大项，所以②正确；
对于③，若S7>S8，则a8