人教B版高考数学一轮总复习18利用导数证明不等式——构造法证明不等式练习含答案

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   十八　利用导数证明不等式——构造法证明不等式(建议用时：45分钟)A组　全考点巩固练1．对∀x∈[0，＋∞)，ex与1＋x的大小关系为(　　)A．ex≥1＋x   B．ex<1＋xC．ex＝1＋x   D．不确定A　解析：令f(x)＝ex－(1＋x)．因为f′(x)＝ex－1，所以对∀x∈[0，＋∞)，f′(x)≥0，故f(x)在[0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，即ex≥1＋x.故选A.2．若0<x1<x2<1，则(　　)A．ex2－ex1>ln x2－ln x1  B．ex2－ex1<ln x2－ln x1C．x2ex1>x1ex2  D．x2ex1<x1ex2C　解析：令f(x)＝，则f′(x)＝＝.当0<x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(0,1)上单调递减．因为0<x1<x2<1，所以f(x2)<f(x1)，即<，所以x2ex1>x1ex2.故选C.3. 若e是自然对数的底数，则(　　)A.>>   B.>>C.>>   D.>>A　解析：令f(x)＝，则f′(x)＝.当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)＝≤f(e)＝，排除CD.由f(π)>f(4)得>＝.故选A.4．已知x＝1是函数f(x)＝ax3－bx－ln x(a>0，b∈R)的一个极值点，则ln a与b－1的大小关系是(　　)A．ln a>b－1   B．ln a<b－1C．ln a＝b－1   D．以上都不对B　解析：f′(x)＝3ax2－b－.因为x＝1是f(x)的极值点，所以f′(1)＝3a－b－1＝0，即3a－1＝b.令g(a)＝ln a－(b－1)＝ln a－3a＋2(a>0)，则g′(a)＝－3＝.令g′(a)>0，解得0<a<；令g′(a)<0，解得a>.故g(a)在上单调递增，在上单调递减．故g(a)max＝g＝1－ln 3<0，故ln a<b－1.5．证明：ex－ln x>2.证明：设f(x)＝ex－ln x(x>0)，则f′(x)＝ex－.令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝ex＋>0，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′＝－2<0，f′(1)＝e－1>0，所以在上存在x0使f′(x0)＝0，即x0＝－ln x0.所以在(0，x0)上，f(x)单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝x0处有极小值，也是最小值．所以f(x0)＝ex0－ln x0＝＋x0>2，故f(x)>2，即ex－ln x>2.6．证明：当x∈[0,1]时，x≤sin x≤x.证明：令f(x)＝sin x－x，则f′(x)＝cos x－.当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减．又f(0)＝0，f(1)>0，所以当x∈[0,1]时，f(x)≥0，即sin x≥x.记H(x)＝sin x－x，则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1<0，所以H(x)在[0,1]上单调递减，则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x.综上，当x∈[0,1]时，x≤sin x≤x.B组　新高考培优练7．已知函数f(x)＝ax2－xln x.(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a＝e，证明：当x>0时，f (x)<xex＋.(1)解：由题意知，f′(x)＝2ax－ln x－1.因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，f′(x)≥0，即2a≥恒成立．令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝－，易知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，所以2a≥1，即a≥.故实数a的取值范围是.(2)证明：若a＝e，要证f(x)<xex＋，只需证ex－ln x<ex＋，即证ex－ex<ln x＋.令h(x)＝ln x＋(x>0)，则h′(x)＝.易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)min＝h＝0，所以ln x＋≥0.令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex，易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0.因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以ex－ex<ln x＋，故原不等式成立．8．设函数f(x)＝ax2－(x＋1)ln x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为0.(1)求a的值；(2)求证：当0＜x≤2时，f(x)＞x.(1)解：f′(x)＝2ax－ln x－1－.由题意，可得f′(1)＝2a－2＝0，所以a＝1.(2)证明：由(1)得f(x)＝x2－(x＋1)·ln x，要证当0＜x≤2时，f(x)＞x，只需证当0＜x≤2时，x－ln x＞＋.令g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋，由g′(x)＝1－＝0，得x＝1，易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，故当0＜x≤2时，g(x)min＝g(1)＝1.h′(x)＝，当0＜x≤2时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0,2]上单调递增，故当0＜x≤2时，h(x)max＝h(2)＝＜1，即h(x)max＜g(x)min，故当0＜x≤2时，f(x)＞x.9．若函数f(x)＝ex－ax－1(a＞0)在x＝0处取极值．(1)求a的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值；(2)证明：1＋＋＋…＋＞ln (n＋1)(n∈N*)．(1)解：因为x＝0是函数极值点，所以f′(0)＝0，所以a＝1.f(x)＝ex－x－1，易知f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，故极值f(0)是函数的最小值．(2)证明：由(1)知ex≥x＋1.即ln (x＋1)≤x，当且仅当x＝0时，等号成立，令x＝(k∈N*)，则＞ln ，即＞ln ，所以＞ln (1＋k)－ln k(k＝1,2，…，n)，累加得1＋＋＋…＋＞ln (n＋1)(n∈N*)．10．已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.(1)当a＝0时，求函数f(x)的图像在(1，f(1))处的切线方程；(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥.(1)解：当a＝0时，f(x)＝ln x＋x，则f(1)＝1，所以切点为(1,1)．又因为f′(x)＝＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)证明：当a＝－2时，f(x)＝ln x＋x2＋x(x＞0)．由f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，得ln x1＋x＋x1＋ln x2＋x＋x2＋x1x2＝0，从而(x1＋x2)2＋(x1＋x2)＝x1x2－ln (x1x2)．令t＝x1x2(t＞0)，令φ(t)＝t－ln t，得φ′(t)＝1－＝，易知φ(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t)≥φ(1)＝1，所以(x1＋x2)2＋(x1＋x2)≥1.因为x1＞0，x2＞0，所以x1＋x2≥成立．