数学必修 第二册7.3 正切函数的图象与性质一课一练

第一章　7.3

A　组·素养自测

一、选择题

1．函数y＝tan的定义域是(　A　)

A．

B．

C．

D．

[解析]　由正切函数的定义域可得，x＋≠＋kπ，

k∈Z，

∴x≠＋kπ，k∈Z.

故函数的定义域为.

2．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是(　A　)

A．－　　　 B．　　 　

C．－　　　 D．

[解析]　∵函数的图象过点，

∴tan＝0，

∴＋φ＝kπ，k∈Z，

∴φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，则φ＝－，故选A．

3．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝(　A　)

A．±1 B．1

C．±2 D．2

[解析]　＝，ω＝±1．

4．函数y＝tan 在一个周期内的图象是(　A　)

[解析]　由f(x)＝tan ，

知f(x＋2π)＝tan

＝tan ＝f(x)．

∴f(x)的周期为2π，排除B，D．

令tan ＝0，得－＝kπ(k∈Z)．

∴x＝2kπ＋(k∈Z)，若k＝0，则x＝，

即图象过点，故选A．

5．函数y＝tan 的定义域为，则函数的值域为(　C　)

A．(，＋∞) B．

C．(－，＋∞) D．

[解析]　由<x<，即－<－x<－，得－<－x<－，即－<－x<－，从而tan>tan＝－.故函数的值域为(－，＋∞)．

6．在区间[－2π，2π]内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图象交点的个数为(　B　)

A．3 B．5

C．7 D．9

[解析]　在同一直角坐标系中画出函数y＝tan x与函数y＝sin x在区间[－2π，2π]内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B．

二、填空题

7．函数y＝3tan的对称中心的坐标为 (k∈Z) .

[解析]　令2x＋＝(k∈Z)，

得x＝－(k∈Z)，

∴对称中心的坐标为(k∈Z)．

8．求函数y＝tan的单调区间是 (k∈Z) .

[解析]　y＝tan

＝－tan，

由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－<x<2kπ＋π，k∈Z，

∴函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z.

9．函数f(x)＝tan ax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为2，则a的值为  .

[解析]　由题意可得T＝2，所以＝2，a＝.

三、解答题

10．求下列函数的周期及单调区间．

(1)y＝3tan ；

(2)y＝|tan x|.

[解析]　(1)y＝3tan＝－3tan，

∴T＝＝4π，

∴y＝3tan的周期为4π.

由kπ－<－<kπ＋(k∈Z)，

得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z)，

∴y＝3tan在(k∈Z)内单调递增，无单调递减区间．

∴y＝3tan在(k∈Z)内单调递减．

(2)由于y＝|tan x|

＝

∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)．

B　组·素养提升

一、选择题

1．若a＝logtan 70°，b＝logsin 25°，c＝logcos 25°，则(　D　)

A．a<b<c B．b<c<a

C．c<b<a D．a<c<b

[解析]　∵0<sin 25°<sin 65°＝cos 25°<1＝tan 45°<tan 70°，

∴logsin 25°>logcos 25°>logtan 70°.即a<c<b.

2．(2021·河北新高考高一模拟选科)已知函数f(x)＝mtan x－ksin x＋2(m，k∈R)，若f＝1，则f＝(　C　)

A．1 B．－1

C．3 D．－3

[解析]　∵f(x)＝mtan x－ksin x＋2(m，k∈R)，f＝1，

∴f＝mtan－ksin＋2＝m－k＋2＝1，

∴m－k＝－1，

∴f＝mtan－ksin＋2＝－m＋k＋2＝3.

3．(多选)下列说法正确的是(　BD　)

A．tan>tan

B．sin 145°<tan 47°

C．函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为

D．函数y＝2tan x的值域是[2，＋∞)

[解析]　A错误，tan＝tan＝tan，因为0<<<，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan<tan，即tan<tan；B正确，sin 145°＝sin 35°<1，tan 47°>1，故sin 145°<tan 47°；C错误，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为；D正确，∵≤x<，∴由函数的单调性可知y＝2tan x≥2，故选BD．

4．(多选)已知函数f(x)＝tan x，对任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论，正确的是(　AD　)

A．f(x1＋π)＝f(x1) B．f(－x1)＝f(x1)

C．f(0)＝1 D．>0

[解析]　由于f(x)＝tan x的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故B不正确；f(0)＝tan 0＝0，故C不正确；D表明函数为增函数，而f(x)＝tan x为区间上的增函数，故D正确．

二、填空题

5．给出下列命题：

(1)函数y＝tan |x|不是周期函数；

(2)函数y＝tan x在定义域内是增函数；

(3)函数y＝的周期是；

(4)y＝sin是偶函数．

其中正确命题的序号是 (1)(3)(4) .

[解析]　y＝tan |x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tan x在每一个区间(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝的周期是.∴(3)对；y＝sin＝cos x是偶函数，∴(4)对．

因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．

6．若tan≤1，则x的取值范围是

 (k∈Z) .

[解析]　令z＝2x－，在上满足tan z≤1的z的值是－<z≤，在整个定义域上有－＋kπ<z≤＋kπ，解不等式－＋kπ<2x－≤＋kπ，得－＋<x≤＋，k∈Z.

三、解答题

7．画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，并根据图象求出函数的主要性质．

[解析]　由y＝|tan x|＋tan x知

y＝(k∈Z)．

其图象如图所示．

函数的主要性质为：

①定义域：；

②值域：[0，＋∞)；

③周期性：T＝π；

④奇偶性：非奇非偶函数；

⑤单调性：单调增区间为，k∈Z.

8．已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.

(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；

(2)若y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，求θ的取值范围．

[解析]　(1)当θ＝－时，tan θ＝－，函数f(x)＝x2－x－1，对称轴为x＝.

∵x∈[－1，]，∴当x＝时，f(x)取得最小值－，

当x＝－1时，f(x)取得最大值.

(2)f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.

∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，

∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，

即tan θ≥1或tan θ≤－.

又θ∈，

∴θ的取值范围是∪.