高考数学(理数)一轮复习学案5．5《数系的扩充与复数的引入》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案5．5《数系的扩充与复数的引入》(含详解)，共19页。

5．5　数系的扩充与复数的引入



1．虚数单位为i，规定：i2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．
2．复数的概念
形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的______，b叫做复数的__________．
(1)当__________时，复数a＋bi为实数．
(2)当__________时，复数a＋bi为虚数．
(3)当__________且__________时，复数a＋bi为纯虚数．
3．复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ ________，特别地，a＋bi＝0⇔________________．
4．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立________的关系(其中O是坐标原点)．
5．在复平面内，实轴上的点都表示________；虚轴上的点除________外都表示________．
6．复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作________或．即＝＝r＝________(r≥0，r∈R)．
7．共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z的共轭复数记作________．
8．数系的扩充
数集扩充的过程是：自然数集(N)→________→________→________→复数集(C)．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．
9．复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝________________．
(2)z1·z2＝________________．
(3)＝________ ________ (z2≠0)．
10．复数加、减法的几何意义
以复数z1，z2分别对应的向量，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，对角线OZ表示的向量就是____________．z1－z2对应的向量是____________．

自查自纠：
1．－1　运算律
2．实部　虚部　①b＝0　②b≠0　③a＝0　b≠0
3．a＝c且b＝d　a＝b＝0
4．一一对应
5．实数　原点　纯虚数
6．　
7．共轭复数　
8．整数集(Z)　有理数集(Q)　实数集(R)
9．(1)(a±c)＋(b±d)i　(2)(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(3)＋i
10．复数z1＋z2所对应的向量　


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()(1＋i)(2－i)＝ (　　)
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
解：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i．故选D．
()＝ (　　)
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
解：由复数除法的运算法则有：＝＝2－i．故选D．
()在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：＝＝＋i的共轭复数为－i，对应的点为，在第四象限．故选D．
()已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
解：z＝＝＝＝－3－4i，|z|＝＝5．故填5．
()已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．
解：由题意可得a2－b2＋2abi＝3＋4i，则 解得 则a2＋b2＝5，ab＝2．故填5；2．


类型一　复数的概念
　下列命题中：
①在复数集中，任意两个数都不能比较大小；
②若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
④x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；
⑤若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：①当两个复数都是实数时，可以比较其大小．
②若m＝0，n＝i时，则z＝0＋i2＝－1∈R．
③当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立．
④只有当x，y∈R时命题才正确．
⑤若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A．

点　 拨：
正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数⇔z为实数⇔b＝0．
　　
　(1)()设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为 (　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则由＝＝∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正确；
当z＝i时，因为z2＝i2＝－1∈R，而z＝i∉R，故p2不正确；
当z1＝z2＝i时，满足z1·z2＝－1∈R，但z1≠，知p3不正确；
对于p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确．故选B．

(2)()已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解：＝＝＝－i为实数，则＝0，a＝－2．故填－2．

　已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：因为A，B是锐角三角形的两内角，
所以A＋B＞，且0＜A<，0 所以0＜－B＜A＜，
由正弦函数的单调性知sin＜sinA，
即sinA－cosB＞0．同理可得，sinB－cosA＞0．故选A．

点　拨：
判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A，B是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键．
　　
　()若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解：z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以 解得a＜ －1．故选B．

　关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实根，则实数m的值是．
解：设实根为x0，则x－(2i－1)x0＋3m－i＝0，
即x＋x0＋3m－(2x0＋1)i＝0．
由复数相等的充要条件得
所以m＝－(x＋x0)＝－×＝．故填．

点　拨：
复数的分类，复数的相等，复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
　　
　()若复数z满足2z＋＝ 3－2i，其中i为虚数单位，则z＝ (　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝3a＋bi＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i．故选B．
类型二　复数的运算
　(1)()i是虚数单位，复数＝________．
解：由复数的运算法则得：＝＝＝4－i．故填4－i．
(2)i是虚数单位，计算×＝________．
解：因为＝＝－(i＋1)， ＝＝1，
所以原式＝－(i＋1)×＝－．故填 －．

点　拨：
①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助．如：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，(1＋i)·(1－i)＝2，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)等．②除法的关键是“分母实数化”．
　　
　(1)()若复数z＝(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解：因为z＝＝＝是纯虚数，所以a－1＝0，即a＝1．故选C．

(2)i是虚数单位，＋＝________．
解：原式＝＋＝ ＋i6＝i1 010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝－1－ 1＝－2．故填－2．
类型三　复数的模与共轭复数
　(1)()已知复数z的共轭复数是z．若z(2－i)＝5，其中i为虚数单位，则的模为________．
解：由z(2－i)＝5，得z＝＝＝2＋i，＝2－i，||＝＝．故填．
(2)()复数(i为虚数单位)的共轭复数是 (　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解：因为＝＝1＋i，所以共轭复数为1－i．故选B．

点 　拨：
复数的模与共轭复数的运算性质要牢记，z＝ a＋bi，则＝a－bi，|z|＝||＝，z＝|z|2， ＝等．
　　
　(1)把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由已知得(1＋2i)·(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知 解得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i．所以＝＝＝＝＋i．

(2)()在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(3，4)，则＝ (　　)
A．－i B．＋i
C．－i D．＋i
解：复数z所对应的点A的坐标为(3，4)，则 z＝3＋4i，|z|＝＝5，＝＝＝＝－i．故选C．


1．处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法．
2．复数概念中应注意的几点
(1)对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R．
(2)易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．
(3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0．
3．复数的几何意义
(1)　(其中a，b∈R)．
(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．
(3)|z1－z2|表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离．
4．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．
5．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：①(1±i)2＝±2i；②＝i，＝－i； ③ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－±i； ④in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)等．
6．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：①(zm)n＝zmn(m，n为分数)；②若zm＝zn，则m＝n(z≠1)；③若z＋z＝0，则z1＝z2＝0．


1．()＝ (　　)
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
解：＝＝＝－＋i．故选D．
2．() 设z＝＋2i，则|z|＝
(　　)
A．0 B． C．1 D．
解：因为z＝＋2i＝＋ 2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1．故选C．
3．()已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋i，z·＝4，则a的值为 (　　)
A．1或－1 B．或－ C．－ D．
解：由z＝a＋i，z·＝4得a2＋3＝4，所以a＝±1．故选A．
4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：ab＝0⇔a＝0或b＝0⇒复数a＋为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若a＋为纯虚数，则必有a＝0且b≠0，所以ab＝0．故选B．
5．()已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 (　　)
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解：复数z在复平面内对应的点在第四象限应满足 解得－3＜m＜1．故选A．
6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 (　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2，正确；对于选项B，若z1＝2，则1＝2＝z2，正确；对于选项C，z1·1＝|z1|2，z2·2＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2，正确；对于选项D，如令z1＝1＋i，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z＝2i，z＝－2i，故不正确．故选D．
7．()已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
解：|z|＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝× ＝．故填．
8．已知复数z＝x＋yi(i是虚数单位，x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．

解：因为|z－2|＝＝，
所以(x－2)2＋y2＝3．
由图可知＝＝．故填．
9．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai．
由复数相等的定义得
由①得x2＋(y－1)2＝9，因为x<0，y>0，
所以－3≤x<0，所以－6≤a＜0．
10．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(i是虚数单位)，试求实数m取何值时：
(1)z是纯虚数；
(2)z是实数；
(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
解：(1)由题意可得 解得m＝3．
(2)由题意可得 解得m＝－1或m＝－2．
(3)由题意可得 即 解得－1 11．()已知关于t的方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．
(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；
(2)求方程的实根的取值范围．
解：(1)设实根为m，则
m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0，
即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0．
根据复数相等的充要条件得
由②得m＝y－x，代入①得
(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
故点(x，y)的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
(2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，－1)，半径r＝．
设方程的实根为m，则直线m＋x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2有公共点，
所以≤，即|m＋2|≤2，即 －4≤m≤0．
故方程的实根的取值范围是[－4，0]．
对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：
①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；
②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；
③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；
④z1*z2＝z2*z1；
则真命题的个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由于ω1*ω2＝ω12，对于①，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)·3＝z13＋z23＝(z1*z3)＋(z2*z3)，显然成立；
对于②，z1*(z2＋z3)＝z1()＝z1(2＋3)＝z12＋z13＝(z1*z2)＋(z1*z3)，显然成立；
对于③，(z1*z2)*z3＝(z12)3＝z123，而z1*(z2*z3)＝z1*(z23)＝z12z3，显然不成立；
对于④，由于z1*z2＝z12，而z2*z1＝z21，显然不成立．故选B．



5．5　数系的扩充与复数的引入



1．虚数单位为i，规定：i2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．
2．复数的概念
形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的______，b叫做复数的__________．
(1)当__________时，复数a＋bi为实数．
(2)当__________时，复数a＋bi为虚数．
(3)当__________且__________时，复数a＋bi为纯虚数．
3．复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ ________，特别地，a＋bi＝0⇔________________．
4．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立________的关系(其中O是坐标原点)．
5．在复平面内，实轴上的点都表示________；虚轴上的点除________外都表示________．
6．复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作________或．即＝＝r＝________(r≥0，r∈R)．
7．共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z的共轭复数记作________．
8．数系的扩充
数集扩充的过程是：自然数集(N)→________→________→________→复数集(C)．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．
9．复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝________________．
(2)z1·z2＝________________．
(3)＝________ ________ (z2≠0)．
10．复数加、减法的几何意义
以复数z1，z2分别对应的向量，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，对角线OZ表示的向量就是____________．z1－z2对应的向量是____________．

自查自纠：
1．－1　运算律
2．实部　虚部　①b＝0　②b≠0　③a＝0　b≠0
3．a＝c且b＝d　a＝b＝0
4．一一对应
5．实数　原点　纯虚数
6．　
7．共轭复数　
8．整数集(Z)　有理数集(Q)　实数集(R)
9．(1)(a±c)＋(b±d)i　(2)(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(3)＋i
10．复数z1＋z2所对应的向量　


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()(1＋i)(2－i)＝ (　　)
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
解：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i．故选D．
()＝ (　　)
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
解：由复数除法的运算法则有：＝＝2－i．故选D．
()在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：＝＝＋i的共轭复数为－i，对应的点为，在第四象限．故选D．
()已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
解：z＝＝＝＝－3－4i，|z|＝＝5．故填5．
()已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．
解：由题意可得a2－b2＋2abi＝3＋4i，则 解得 则a2＋b2＝5，ab＝2．故填5；2．


类型一　复数的概念
　下列命题中：
①在复数集中，任意两个数都不能比较大小；
②若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
④x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；
⑤若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：①当两个复数都是实数时，可以比较其大小．
②若m＝0，n＝i时，则z＝0＋i2＝－1∈R．
③当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立．
④只有当x，y∈R时命题才正确．
⑤若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A．

点　 拨：
正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数⇔z为实数⇔b＝0．
　　
　(1)()设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为 (　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则由＝＝∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正确；
当z＝i时，因为z2＝i2＝－1∈R，而z＝i∉R，故p2不正确；
当z1＝z2＝i时，满足z1·z2＝－1∈R，但z1≠，知p3不正确；
对于p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确．故选B．

(2)()已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解：＝＝＝－i为实数，则＝0，a＝－2．故填－2．

　已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：因为A，B是锐角三角形的两内角，
所以A＋B＞，且0＜A<，0 所以0＜－B＜A＜，
由正弦函数的单调性知sin＜sinA，
即sinA－cosB＞0．同理可得，sinB－cosA＞0．故选A．

点　拨：
判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A，B是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键．
　　
　()若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解：z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以 解得a＜ －1．故选B．

　关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实根，则实数m的值是．
解：设实根为x0，则x－(2i－1)x0＋3m－i＝0，
即x＋x0＋3m－(2x0＋1)i＝0．
由复数相等的充要条件得
所以m＝－(x＋x0)＝－×＝．故填．

点　拨：
复数的分类，复数的相等，复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
　　
　()若复数z满足2z＋＝ 3－2i，其中i为虚数单位，则z＝ (　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝3a＋bi＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i．故选B．
类型二　复数的运算
　(1)()i是虚数单位，复数＝________．
解：由复数的运算法则得：＝＝＝4－i．故填4－i．
(2)i是虚数单位，计算×＝________．
解：因为＝＝－(i＋1)， ＝＝1，
所以原式＝－(i＋1)×＝－．故填 －．

点　拨：
①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助．如：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，(1＋i)·(1－i)＝2，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)等．②除法的关键是“分母实数化”．
　　
　(1)()若复数z＝(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解：因为z＝＝＝是纯虚数，所以a－1＝0，即a＝1．故选C．

(2)i是虚数单位，＋＝________．
解：原式＝＋＝ ＋i6＝i1 010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝－1－ 1＝－2．故填－2．
类型三　复数的模与共轭复数
　(1)()已知复数z的共轭复数是z．若z(2－i)＝5，其中i为虚数单位，则的模为________．
解：由z(2－i)＝5，得z＝＝＝2＋i，＝2－i，||＝＝．故填．
(2)()复数(i为虚数单位)的共轭复数是 (　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解：因为＝＝1＋i，所以共轭复数为1－i．故选B．

点 　拨：
复数的模与共轭复数的运算性质要牢记，z＝ a＋bi，则＝a－bi，|z|＝||＝，z＝|z|2， ＝等．
　　
　(1)把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由已知得(1＋2i)·(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知 解得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i．所以＝＝＝＝＋i．

(2)()在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(3，4)，则＝ (　　)
A．－i B．＋i
C．－i D．＋i
解：复数z所对应的点A的坐标为(3，4)，则 z＝3＋4i，|z|＝＝5，＝＝＝＝－i．故选C．


1．处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法．
2．复数概念中应注意的几点
(1)对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R．
(2)易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．
(3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0．
3．复数的几何意义
(1)　(其中a，b∈R)．
(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．
(3)|z1－z2|表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离．
4．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．
5．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：①(1±i)2＝±2i；②＝i，＝－i； ③ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－±i； ④in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)等．
6．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：①(zm)n＝zmn(m，n为分数)；②若zm＝zn，则m＝n(z≠1)；③若z＋z＝0，则z1＝z2＝0．


1．()＝ (　　)
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
解：＝＝＝－＋i．故选D．
2．() 设z＝＋2i，则|z|＝
(　　)
A．0 B． C．1 D．
解：因为z＝＋2i＝＋ 2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1．故选C．
3．()已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋i，z·＝4，则a的值为 (　　)
A．1或－1 B．或－ C．－ D．
解：由z＝a＋i，z·＝4得a2＋3＝4，所以a＝±1．故选A．
4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：ab＝0⇔a＝0或b＝0⇒复数a＋为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若a＋为纯虚数，则必有a＝0且b≠0，所以ab＝0．故选B．
5．()已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 (　　)
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解：复数z在复平面内对应的点在第四象限应满足 解得－3＜m＜1．故选A．
6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 (　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2，正确；对于选项B，若z1＝2，则1＝2＝z2，正确；对于选项C，z1·1＝|z1|2，z2·2＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2，正确；对于选项D，如令z1＝1＋i，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z＝2i，z＝－2i，故不正确．故选D．
7．()已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
解：|z|＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝× ＝．故填．
8．已知复数z＝x＋yi(i是虚数单位，x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．

解：因为|z－2|＝＝，
所以(x－2)2＋y2＝3．
由图可知＝＝．故填．
9．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai．
由复数相等的定义得
由①得x2＋(y－1)2＝9，因为x<0，y>0，
所以－3≤x<0，所以－6≤a＜0．
10．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(i是虚数单位)，试求实数m取何值时：
(1)z是纯虚数；
(2)z是实数；
(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
解：(1)由题意可得 解得m＝3．
(2)由题意可得 解得m＝－1或m＝－2．
(3)由题意可得 即 解得－1 11．()已知关于t的方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．
(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；
(2)求方程的实根的取值范围．
解：(1)设实根为m，则
m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0，
即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0．
根据复数相等的充要条件得
由②得m＝y－x，代入①得
(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
故点(x，y)的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
(2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，－1)，半径r＝．
设方程的实根为m，则直线m＋x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2有公共点，
所以≤，即|m＋2|≤2，即 －4≤m≤0．
故方程的实根的取值范围是[－4，0]．
对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：
①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；
②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；
③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；
④z1*z2＝z2*z1；
则真命题的个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由于ω1*ω2＝ω12，对于①，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)·3＝z13＋z23＝(z1*z3)＋(z2*z3)，显然成立；
对于②，z1*(z2＋z3)＝z1()＝z1(2＋3)＝z12＋z13＝(z1*z2)＋(z1*z3)，显然成立；
对于③，(z1*z2)*z3＝(z12)3＝z123，而z1*(z2*z3)＝z1*(z23)＝z12z3，显然不成立；
对于④，由于z1*z2＝z12，而z2*z1＝z21，显然不成立．故选B．



5．5　数系的扩充与复数的引入



1．虚数单位为i，规定：i2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．
2．复数的概念
形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的______，b叫做复数的__________．
(1)当__________时，复数a＋bi为实数．
(2)当__________时，复数a＋bi为虚数．
(3)当__________且__________时，复数a＋bi为纯虚数．
3．复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ ________，特别地，a＋bi＝0⇔________________．
4．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立________的关系(其中O是坐标原点)．
5．在复平面内，实轴上的点都表示________；虚轴上的点除________外都表示________．
6．复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作________或．即＝＝r＝________(r≥0，r∈R)．
7．共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z的共轭复数记作________．
8．数系的扩充
数集扩充的过程是：自然数集(N)→________→________→________→复数集(C)．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．
9．复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝________________．
(2)z1·z2＝________________．
(3)＝________ ________ (z2≠0)．
10．复数加、减法的几何意义
以复数z1，z2分别对应的向量，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，对角线OZ表示的向量就是____________．z1－z2对应的向量是____________．

自查自纠：
1．－1　运算律
2．实部　虚部　①b＝0　②b≠0　③a＝0　b≠0
3．a＝c且b＝d　a＝b＝0
4．一一对应
5．实数　原点　纯虚数
6．　
7．共轭复数　
8．整数集(Z)　有理数集(Q)　实数集(R)
9．(1)(a±c)＋(b±d)i　(2)(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(3)＋i
10．复数z1＋z2所对应的向量　


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()(1＋i)(2－i)＝ (　　)
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
解：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i．故选D．
()＝ (　　)
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
解：由复数除法的运算法则有：＝＝2－i．故选D．
()在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：＝＝＋i的共轭复数为－i，对应的点为，在第四象限．故选D．
()已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
解：z＝＝＝＝－3－4i，|z|＝＝5．故填5．
()已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．
解：由题意可得a2－b2＋2abi＝3＋4i，则 解得 则a2＋b2＝5，ab＝2．故填5；2．


类型一　复数的概念
　下列命题中：
①在复数集中，任意两个数都不能比较大小；
②若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
④x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；
⑤若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：①当两个复数都是实数时，可以比较其大小．
②若m＝0，n＝i时，则z＝0＋i2＝－1∈R．
③当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立．
④只有当x，y∈R时命题才正确．
⑤若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A．

点　 拨：
正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数⇔z为实数⇔b＝0．
　　
　(1)()设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为 (　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则由＝＝∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正确；
当z＝i时，因为z2＝i2＝－1∈R，而z＝i∉R，故p2不正确；
当z1＝z2＝i时，满足z1·z2＝－1∈R，但z1≠，知p3不正确；
对于p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确．故选B．

(2)()已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解：＝＝＝－i为实数，则＝0，a＝－2．故填－2．

　已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：因为A，B是锐角三角形的两内角，
所以A＋B＞，且0＜A<，0 所以0＜－B＜A＜，
由正弦函数的单调性知sin＜sinA，
即sinA－cosB＞0．同理可得，sinB－cosA＞0．故选A．

点　拨：
判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A，B是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键．
　　
　()若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解：z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以 解得a＜ －1．故选B．

　关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实根，则实数m的值是．
解：设实根为x0，则x－(2i－1)x0＋3m－i＝0，
即x＋x0＋3m－(2x0＋1)i＝0．
由复数相等的充要条件得
所以m＝－(x＋x0)＝－×＝．故填．

点　拨：
复数的分类，复数的相等，复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
　　
　()若复数z满足2z＋＝ 3－2i，其中i为虚数单位，则z＝ (　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝3a＋bi＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i．故选B．
类型二　复数的运算
　(1)()i是虚数单位，复数＝________．
解：由复数的运算法则得：＝＝＝4－i．故填4－i．
(2)i是虚数单位，计算×＝________．
解：因为＝＝－(i＋1)， ＝＝1，
所以原式＝－(i＋1)×＝－．故填 －．

点　拨：
①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助．如：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，(1＋i)·(1－i)＝2，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)等．②除法的关键是“分母实数化”．
　　
　(1)()若复数z＝(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解：因为z＝＝＝是纯虚数，所以a－1＝0，即a＝1．故选C．

(2)i是虚数单位，＋＝________．
解：原式＝＋＝ ＋i6＝i1 010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝－1－ 1＝－2．故填－2．
类型三　复数的模与共轭复数
　(1)()已知复数z的共轭复数是z．若z(2－i)＝5，其中i为虚数单位，则的模为________．
解：由z(2－i)＝5，得z＝＝＝2＋i，＝2－i，||＝＝．故填．
(2)()复数(i为虚数单位)的共轭复数是 (　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解：因为＝＝1＋i，所以共轭复数为1－i．故选B．

点 　拨：
复数的模与共轭复数的运算性质要牢记，z＝ a＋bi，则＝a－bi，|z|＝||＝，z＝|z|2， ＝等．
　　
　(1)把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由已知得(1＋2i)·(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知 解得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i．所以＝＝＝＝＋i．

(2)()在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(3，4)，则＝ (　　)
A．－i B．＋i
C．－i D．＋i
解：复数z所对应的点A的坐标为(3，4)，则 z＝3＋4i，|z|＝＝5，＝＝＝＝－i．故选C．


1．处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法．
2．复数概念中应注意的几点
(1)对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R．
(2)易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．
(3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0．
3．复数的几何意义
(1)　(其中a，b∈R)．
(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．
(3)|z1－z2|表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离．
4．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．
5．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：①(1±i)2＝±2i；②＝i，＝－i； ③ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－±i； ④in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)等．
6．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：①(zm)n＝zmn(m，n为分数)；②若zm＝zn，则m＝n(z≠1)；③若z＋z＝0，则z1＝z2＝0．


1．()＝ (　　)
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
解：＝＝＝－＋i．故选D．
2．() 设z＝＋2i，则|z|＝
(　　)
A．0 B． C．1 D．
解：因为z＝＋2i＝＋ 2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1．故选C．
3．()已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋i，z·＝4，则a的值为 (　　)
A．1或－1 B．或－ C．－ D．
解：由z＝a＋i，z·＝4得a2＋3＝4，所以a＝±1．故选A．
4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：ab＝0⇔a＝0或b＝0⇒复数a＋为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若a＋为纯虚数，则必有a＝0且b≠0，所以ab＝0．故选B．
5．()已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 (　　)
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解：复数z在复平面内对应的点在第四象限应满足 解得－3＜m＜1．故选A．
6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 (　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2，正确；对于选项B，若z1＝2，则1＝2＝z2，正确；对于选项C，z1·1＝|z1|2，z2·2＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2，正确；对于选项D，如令z1＝1＋i，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z＝2i，z＝－2i，故不正确．故选D．
7．()已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
解：|z|＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝× ＝．故填．
8．已知复数z＝x＋yi(i是虚数单位，x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．

解：因为|z－2|＝＝，
所以(x－2)2＋y2＝3．
由图可知＝＝．故填．
9．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai．
由复数相等的定义得
由①得x2＋(y－1)2＝9，因为x<0，y>0，
所以－3≤x<0，所以－6≤a＜0．
10．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(i是虚数单位)，试求实数m取何值时：
(1)z是纯虚数；
(2)z是实数；
(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
解：(1)由题意可得 解得m＝3．
(2)由题意可得 解得m＝－1或m＝－2．
(3)由题意可得 即 解得－1 11．()已知关于t的方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．
(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；
(2)求方程的实根的取值范围．
解：(1)设实根为m，则
m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0，
即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0．
根据复数相等的充要条件得
由②得m＝y－x，代入①得
(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
故点(x，y)的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
(2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，－1)，半径r＝．
设方程的实根为m，则直线m＋x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2有公共点，
所以≤，即|m＋2|≤2，即 －4≤m≤0．
故方程的实根的取值范围是[－4，0]．
对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：
①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；
②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；
③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；
④z1*z2＝z2*z1；
则真命题的个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由于ω1*ω2＝ω12，对于①，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)·3＝z13＋z23＝(z1*z3)＋(z2*z3)，显然成立；
对于②，z1*(z2＋z3)＝z1()＝z1(2＋3)＝z12＋z13＝(z1*z2)＋(z1*z3)，显然成立；
对于③，(z1*z2)*z3＝(z12)3＝z123，而z1*(z2*z3)＝z1*(z23)＝z12z3，显然不成立；
对于④，由于z1*z2＝z12，而z2*z1＝z21，显然不成立．故选B．