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    高中数学选择性必修二 4.1.1数列的概念(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

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    高中人教A版 (2019)4.1 数列的概念教学设计

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    这是一份高中人教A版 (2019)4.1 数列的概念教学设计,共13页。教案主要包含了重点总结,基础自测,方法归纳,跟踪训练,跟踪训练2,易错辨析,易错警示等内容,欢迎下载使用。
    4.1.1数列的概念要点一 数列的有关概念1定义:按照确定的顺序排列的一列数.2项:数列中的每一个数叫做这个数列的项;排在第一位的数称为这个数列的第1(也叫首项)3一般形式:a1a2a3an,简记为【重点总结】(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n.(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列,因为二者的元素顺序不同,而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同,一方面形式上不一致,另一方面,集合中的元素具有无序性.要点二 数列的分类 类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列要点三 数列的通项公式如果数列{an}的第nan序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.要点四 数列与函数的关系从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如下表:定义域 (或它的有限子集{1,2,3n})解析式数列的通项公式值域自变量按照从小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)(2)列表法(3)图表法      【基础自测】1判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1){0,1,2,3,4}是有穷数列.(  )(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一数列.(  )(3)所有自然数能构成数列.(  )(4)数列1,3,5,72n1的通项公式是an2n1.(  )2.若数列{an}满足an2n,则数列{an}(  )A.递增数列  B.递减数列C.常数列    D.摆动数列【答案】A【解析】an1an2n12n2n>0an1>an,即{an}是递增数列.故选A.3(多选题)数列-1,1,-1,1的通项公式可以为(  )Aan(1)n1  Ban(1)nCancos nπ    Dansin nπ【答案】BC4.数列1,2中的第26项为________【答案】2【解析】因为a11a22a3a4a5,所以an所以a262.题型一 数列的概念和分类1.数列-11,-20,-27n212n(  )A.递增数列  B.递减数列C.常数列    D.摆动数列【答案】D【解析】该数列从第2项起,第n项与第n1项的差为(n212n)[(n1)212(n1)]2n13,所以该数列的前6项单调递减,从第6项往后单调递增,故选D.2.已知下列数列:1,2,22,232601,0.5,0.52,0.532,2,-2,23,3,3,301,0,-1sin.其中有穷数列是______;无穷数列是________递增数列是________;递减数列是________摆动数列是________;常数列是________(填序号)【答案】               【方法归纳】判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限.题型二 由数列的前n项求通项公式【例1写出数列的一个通项公式,使它的前4项是下列各数:(1)1,-(2)3(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9(4)3,5,3,5.【解析】(1)任何一个整数都可以看成一个分数,所以此数列可以看做是自然数列的倒数,正负相间用(1)的多少次幂进行调整,其一个通项公式为an(1)n·.(2)数列可化为,即,每个根号里面可分解成两数之积,前一个因数为常数3,后一个因数为2n1,故原数列的一个通项公式为an.(3)原数列可变形为,故数列的一个通项公式为an1.(4)数列给出前4项,其中奇数项为3,偶数项为5,所以通项公式的一种表示方法为an.此数列还可以这样考虑,35的算术平均数为4,415,413,因此数列的一个通项公式又可以写为an4(1)n.【方法归纳】(1)据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的,观察出项与序号之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决,对于正负符号变化,可用(1)n(1)n1来调整.【跟踪训练】写出下列数列的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24(2)1,-3,5,-7,9(3)1234(4)1,11,111,1 111.【解析】(1)观察数列中的数,可以看到011,341,891,15161,24251,所以它的一个通项公式是ann21(nN*)(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(nN*)(3)此数列的整数部分1,2,3,4恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为ann(nN*)(4)原数列的各项可变为×9×99×999×9 999,易知数列9,99,999,9 999的一个通项公式为an10n1,所以原数列的一个通项公式为an(10n1)(nN*)题型三 数列的单调性【例2已知函数f(x)(x1),构造数列anf(n)(nN*)(1)求证:an>2(2)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?【解析】(1)因为f(x)=-2所以an=-2.因为nN*,所以an>2.(2)数列{an}为递减数列.理由如下:因为an=-2,所以an1an<0an1<an所以数列{an}为递减数列.先化简fx的解析式,再构造{an},然后判断an1an的符号.【方法归纳】用作差法判断数列的单调性关键是判断符号,为此,一般要对差式进行通分,因式分解等变形;若用作商法则要特别注意分母的符号.【跟踪训练2已知数列{an}的第n项可以表示为nN*,试判断数列的增减性.【解析】因为{an}的第n项为,所以{an}的第n1项为.因为>0所以>,所以数列{an}的第n1项大于第n项,故数列{an}是递增数列.【易错辨析】忽视数列中nN*致错3 已知数列{an}的通项公式为ann25n4,则an的最小值为________【答案】2【解析】ann25n42可知对称轴方程为nnN*,故n23时,an有最小值,且a2a3=-2.【易错警示】  出错原因在求出an2时,忘记nN*了,导致得出错误答案:-.2.纠错心得数列的定义域是正整数集合,是特殊的函数,所以解题时一定不要忘记nN*这一条件.一、单选题1.某新冠疫苗接种点统计了一周(星期一至星期日)每天接种加强针的人数(单位:百人)如下:(  ),因不慎丢失星期六的数据,根据数据的规律,则星期六的数据为(   A B C D【答案】C【分析】通过观察数列的规律,可得到从第三个数据起,每个数据等于它前面两个数据之和,根据这一结论可推得结果.【解析】从第三个数据起,每个数据等于它前面两个数据之和,所以星期六的数据为故选:C.2.数列,则是这个数列的第(    A B C D【答案】A【分析】根据数列的规律,求出通项公式,进而求出是这个数列的第几项【解析】数列为,故通项公式为是这个数列的第.故选:A.3.若数列满足,则    A2 B C-1 D-2【答案】C【分析】由题意得数列是周期为3的数列,即可得解.【解析】,代入可得,同理可得.,得,从而有,从而有所以数列的周期为3所以.故选:C.4.已知数列满足,则的值为(    A1 B2 C4 D.-4【答案】A【分析】根据数列的递推公式,可知数列是周期为的周期数列,由此即可求出结果.【解析】因为数列满足所以所以所以,所以所以……所以数列是周期为的周期数列,所以.故选:A.5.已知数列满足,则    A B C D【答案】A【分析】写出数列的前5项,即可得出数列是以4为周期的数列,【解析】解:因为,所以由已知可得.可以判断出数列是以4为周期的数列,所以.故选:A6.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传大衍之数五十的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,其中一列数如下:0248121824324050……,按此规律得到的数列记为,则    A98 B112 C128 D132【答案】B【分析】根据题意可得奇数项的通项公式,即可求出.【解析】奇数项为04122440,即可得当为奇数时,.故选:B.7.数列满足,且,记数列的前项和为,则    A B C D【答案】C【分析】利用递推公式求出数列的前20项,直接求和.【解析】因为,且所以同理递推可得:.所以=2.故选:C8.在数列中,,则    A0 B1 C D【答案】B【分析】计算得到数列周期为6,化简得到原式,计算得到答案.【解析】,故,故,数列的周期为6..故选:B. 二、多选题9.已知数列{an}中,a13an1=-,能使an3n可以为(    A22 B24C26 D28【答案】AD【分析】通过计算找到数列的周期,即得解.【解析】解:由a13an1=-,得a2=-a3=-a43所以数列{an}是周期为3的数列,故a22a283故选:AD10.下列四个选项中,正确的是(    A.数列的图象是一群孤立的点B.数列11与数列11是同一数列C.数列的一个通项公式是D.数列是递减数列【答案】AD【分析】利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可.【解析】解:对于A,由数列的通项公式以及可知,数列的图象是一群孤立的点,故选项A正确;对于B,由于两个数列中的数排列的次序不同,因此不是同一数列,故选项B错误;对于C,当通项公式为时,,不符合题意,故选项C错误;对于D,数列是递减数列,故选项D正确.故选:AD. 第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题11.在数学课堂上、教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列,例如将数列12进行构造,第一次得到数列132;第二次得到数列14352;第次得到数列12(共项),则______【答案】【分析】根据第一次得到数列132,共项,第二次得到数列14352,共项,第三次得到数列154,7385,72,共项,得到规律求解.【解析】第一次得到数列132,共项;第二次得到数列14352,共项;第三次得到数列154,7385,72,共项;依此第n次得到数列12,共项;解得故答案为:12.数列{an}的通项公式为an,则a3a6________.【答案】8【解析】a3a6(32)(63)538.13.已知数列满足,则该数列前26项的和为____【答案】【分析】根据递推公式可以求出数列的周期,利用周期进行求解即可.【解析】因为所以因此该数列的周期为,且所以该数列前26项的和为:故答案为: 四、解答题14.若数列满足,求【答案】【分析】计算出数列的前项的值,可知数列为周期数列,结合数列的周期性可得结果.【解析】解:因为,则所以,数列是周期为的数列,因此,.15.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式,并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数.123【答案】1)第项图形见解析,通项公式为,第项的点数为2)第项图形见解析,通项公式为,第项的点数为3)第项图形见解析,通项公式为,第项的点数为【分析】1)根据图形中点数的规律可作出第项的图形,并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式;2)根据图形中点数的规律可作出第项的图形,并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式;3)根据图形中点数的规律可作出第项的图形,并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式.1解:设第项的点数为,该数列的第项为数列的一个通项公式为,第项的图形如下图所示:
    2解:设第项的点数为,该数列的第项为数列的一个通项公式为,第项的图形如下图所示:
    3解:设第项的点数为,该数列的第项为数列的一个通项公式为,第项的图形如下图所示:
       

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