高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算教学设计及反思

5.2.3简单复合函数的导数

要点一　复合函数的定义

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))

要点二　复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x　，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，即若y＝f(g(x))，则y′＝[f(g(x))]′＝f′(g(x))·g′(x)

【重点小结】

(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．

(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．

【基础自测】

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1两个函数复合而成的．(　　)

(2)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.(　　)

(3)函数f(x)＝ln (1－x)的导数是f′(x)＝.(　　)

(4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x.(　　)

【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√

2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是(　　)

A．y＝ln (x－2)　 B．y＝ln x＋x－2

C．y＝(x－2)ln x  D．y＝ln 2x

【答案】AD

【解析】函数y＝ln(x－2)是由函数y＝ln u和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln 2x是由函数y＝ln u和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD.

3．若函数f(x)＝3cos(2x＋)，则f′()等于(　　)

A．－3  B．3

C．－6  D．6

【答案】B

【解析】f′(x)＝－6sin(2x＋)

∴f′()＝－6sin＝6sin ＝6×＝3.故选B.

4．曲线y＝e－x在点(0,1)的切线方程为________．

【答案】x＋y－1＝0

【解析】∵y＝e－x

∴y′＝－e－x

∴y′|x＝0＝－1

∴切线方程为y－1＝－x

即x＋y－1＝0

题型一　求复合函数的导数

【例1】写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．

(1)y＝；

(2)y＝cos(2 008x＋8)；

(3)y＝21－3x；

(4)y＝ln(8x＋6)．

【解析】(1)引入中间变量u＝φ(x)＝3－4x.

则函数y＝是由函数f(u)＝＝u－4

与u＝φ(x)＝3－4x复合而成的．

查导数公式表可得f′(u)＝－4u－5＝－，φ′(x)＝－4.

根据复合函数求导法则可得′＝f′(u)φ′(x)

＝－·(－4)＝＝.

(2)引入中间变量u＝φ(x)＝2 008x＋8，

则函数y＝cos(2 008x＋8)是由函数f(u)＝cos u与u＝φ(x)＝2 008x＋8复合而成的，查导数公式表可得

f′(u)＝－sin u，φ′(x)＝2 008.

根据复合函数求导法则可得

[cos(2 008x＋8)]′＝f′(u)φ′(x)＝(－sin u)·2 008

＝－2 008sin u＝－2 008sin(2 008x＋8)．

(3)引入中间变量u＝φ(x)＝1－3x，

则函数y＝21－3x是由函数f(u)＝2u与u＝φ(x)＝1－3x复合而成的，

查导数公式表得f′(u)＝2uln 2，φ′(x)＝－3，

根据复合函数求导法则可得

(21－3x)′＝f′(u)φ′(x)＝2uln 2·(－3)＝－3×2uln 2

＝－3×21－3xln 2.

(4)引入中间变量u＝φ(x)＝8x＋6，

则函数y＝ln(8x＋6)是由函数f(u)＝ln u与u＝φ(x)＝8x＋6复合而成的，

查导数公式表可得f′(u)＝，φ′(x)＝8.

根据复合函数求导法则可得

[ln(8x＋6)]′＝f′(u)·φ′(x)＝＝＝.

选取中间变量，确定原函数复合方式，写出内层，外层函数表达式，利用复合函数求导法则求解

【方法归纳】

复合函数求导的步骤

【跟踪训练】求下列函数的导数．

(1)y＝e2x＋1.

(2)y＝.

(3)y＝5log2(1－x)．

(4)y＝sin3x＋sin 3x.

【解析】(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.

(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－.

(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.

(4)函数y＝sin3 x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sinv和v＝3x的复合函数．所以y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3 sin2 xcos x＋3cos 3x.

题型二　复合函数求导法则的综合应用

【例2】(1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．

【答案】(1)2x－y＝0

【解析】(1)设x>0，则－x<0，因为x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，所以f(－x)＝ex－1＋x，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即：2x－y＝0.

(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，则实数a的值为__________．

【解析】(2)因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，所以f′(1)＝2a－2，所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.

因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝

【方法归纳】

准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．

【跟踪训练2】(1)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.

【答案】(1)2

【解析】(1)令y＝f(x)

则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(x)＝(eax)′＝aeax.

所以f′(0)＝ae0＝a故a＝2.

(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，则切线l的方程为________；若直线l与圆 C：x2＋y2＝相交，则实数u的取值范围为________．

【答案】(2)2(a－1)x－y＋2－a＝0　(，＋∞)

【解析】(2)f′(x)＝2ax＋(x<2)

∴f′(1)＝2a－2　又f(1)＝a

∴切线l的方程为：y－a＝(2a－2)(x－1)

即2(a－1)x－y＋2－a＝0.

若直线l与圆C：x2＋y2＝相交

则圆心到直线l的距离d＝<.

解得a>，即实数a的取值范围为(，＋∞)．

【易错辨析】对复合函数求导不完全致错

例3　函数y＝xe1－2x的导数y′＝________.

【答案】(1－2x)e1－2x

【解析】y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′

＝e1－2x＋xe1－2x·(1－2x)′

＝e1－2x＋xe1－2x(－2)

＝(1－2x)e1－2x.

【易错警示】

出错原因

对e1－2x的求导没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全致错

纠错心得

复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，分步计算时，每一步都要明确是对哪个变量求导

一、单选题

1．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（    ）

A．12 B． C．24 D．

【答案】C

【分析】

对求导得，根据已知有即可求，进而求.

【解析】

由，得，

∵当时，，解得，

∴，

∴当时，.

故选：C.

2．已知是函数的导数，且对任意的实数都有，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

构造新函数，求出后由导函数确定，注意可得，从而得出的解析式，然后解不等式即可．

【解析】

设，，

因为，所以，

所以．

因此，，所以，

，

不等式即为 ，，解得或．

故选：D．

3．已知，函数在处的切线与直线平行，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】

结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到，进而结合均值不等式即可求出结果.

【解析】

因为，则，因为切点为，则切线的斜率为，又因为切线与直线平行，所以，即，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是，

故选：C.

4．已知函数在上可导，函数，则等于（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】

利用复合函数求导法则运算即可.

【解析】

∵，∴，

∴.

故选：B.

5．已知，若，则等于（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】

因为，所以，

又，所以，因为，所以，所以.

故选：A.

6．下列关于函数的复合过程与导数运算正确的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【分析】

直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数，即可得解.

【解析】

由复合函数求导法则，知函数由基本初等函数，复合而成，

所以.

故选：C.

7．函数的导数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用复合函数进行求导，即可得到答案；

【解析】

，令，则，

从而 .

故选：D.

8．函数的导数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

结合导数的运算法则即可求出结果.

【解析】

由题意结合导数的运算法则可得.

故选：B.

二、多选题

9．以下函数求导正确的是(    )

A．若，则

B．若则

C．若，则

D．设的导函数为，且，则

【答案】ACD

【分析】

利用求导法则逐项检验即可求解.

【解析】

对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，所以，故D正确．

故选：ACD.

10．（多选）函数（），我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即（）为初等函数．对于初等函数（）的说法正确的是（    ）

A．无极小值 B．有极小值1

C．无极大值 D．有极大值

【答案】AD

【分析】

根据材料，把函数改写为复合函数的形式，求导，分析导函数正负，研究极值，即得解

【解析】

根据材料知，

所以．

令，得，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以有极大值，无极小值

故选：AD．

11．函数在区间，上连续，对，上任意二点与，有时，我们称函数在，上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】

根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出．

【解析】

由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足在定义域内恒成立．

对于A，，则在时恒成立，

不符合题意，故选项A错误；

对于B，，则恒成立，

符合题意，故选项B正确；

对于C，，则在时恒成立，

符合题意，故选项C正确；

对于D，，则在时恒成立，不符合题意，故选项D错误.

故选：BC.

第II卷（非选择题）

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三、填空题

12．若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为________________．

【答案】

【分析】

构造，由已知结合导数判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式.

【解析】

构造，则，

函数满足，则，故在上单调递增．

又∵，则，

则不等式⇔，即，

根据在上单调递增，可知．

故答案为：

13．已知函数，若是奇函数，则______．

【答案】

【分析】

首先利用复合函数求导法则求出，然后利用辅助角公式化简，根据奇函数性质可得到，最后结合的范围即可求解.

【解析】

因为，

所以，

若为奇函数，则，即，

所以，

又因为，所以．

故答案为：.

14．设，则______．

【答案】

【分析】

利用复合函数求导求出即可求解.

【解析】

令，，，

从而，，，

故，

所以．

故答案为：.

四、解答题

15．求下列函数的导数．

（1）

（2）

（3）；

（4）

（5）

（6）．

【答案】

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【分析】

直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解．

（1）

解：，；

（2）

解：因为，所以

（3）

解：因为，所以

（4）

解：因为，所以

（5）

解：因为，所以

（6）

解：因为，所以

16．求下列函数的导数.

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】

（1）

（2）

（3）

【分析】

（1）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；

（2）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；

（3）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果.

（1）

函数可以看作函数和的复合函数，

由复合函数的求导法则可得.

（2）

函数可以看作函数和的复合函数，

由复合函数的求导法则可得

.

（3）

函数可以看作函数和的复合函数，

由复合函数的求导法则可得

.