人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法课时训练

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法课时训练，共5页。

1．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
解析：选ABD ∵|2x|＝2|x|，∴A满足；∵2x－|2x|＝2(x－|x|)，∴B满足；∵－2x＝2·(－x)，∴D满足；∵2x＋1≠2(x＋1)，∴C不满足．
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图像是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 由函数g(x)的图像知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
3．已知f(x－1)＝x2－1，则f(0)的值为( )
A．－1 B．1
C．0 D．3
解析：选C 令g(x)＝f(x－1)＝x2－1，
则f(0)＝g(1)＝12－1＝0，故选C.
4．函数y＝－eq \f(1,x＋1)的大致图像是( )
解析：选B 函数y＝－eq \f(1,x＋1)的图像是由函数y＝－eq \f(1,x)的图像向左平移1个单位长度得到的，而函数y＝－eq \f(1,x)的图像在第二、第四象限，结合所给的四个图像只有B符合，故选B.
5．定义两种运算a⊕b＝eq \r(a2－b2)，a⊗b＝eq \r(（a－b）2)，则函数f(x)＝eq \f(2⊕x,（x⊗2）－2)的解析式为( )
A．f(x)＝eq \f(\r(4－x2),x)，x∈[－2，0)∪(0，2]
B．f(x)＝eq \f(\r(x2－4),x)，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．f(x)＝eq \f(\r(x2－4),－x)，x∈(－∞，－1]∪(2，＋∞)
D．f(x)＝eq \f(\r(4－x2),－x)，x∈[－2，0)∪(0，2]
解析：选D 依题意2⊕x＝eq \r(4－x2)，x⊗2＝eq \r(（x－2）2)＝|x－2|，则f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x－2|－2).由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,|x－2|－2≠0，))
得－2≤x≤2且x≠0，∴f(x)＝eq \f(\r(4－x2),－x)，x∈[－2，0)∪(0，2]，故选D.
6．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________．
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a＝6，,3a＋3b＝4，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－\f(2,3)，))
则f(x)＝2x－eq \f(2,3).
答案：2x－eq \f(2,3)
7．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________．
解析：因为f(2x＋1)＝eq \f(3,2)(2x＋1)＋eq \f(1,2)，所以f(a)＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2).又f(a)＝4，所以eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)＝4，a＝eq \f(7,3).
答案：eq \f(7,3)
8．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式为________．
解析：设所求函数解析式为y＝kx＋12(k≠0)，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，解得k＝eq \f(1,2)，所以所求的函数解析式为y＝eq \f(1,2)x＋12(x≥0)．
答案：y＝eq \f(1,2)x＋12(x≥0)
9．已知函数p＝f(m)的图像如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
解：(1)观察函数p＝f(m)的图像，可以看出图像上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由题图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．
(2)由题图知值域为[－2，2]．
(3)由题图知：p∈(0，2]时，只有唯一的m值与之对应．
10．已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))∴f(x)＝x2－x＋3.
[B级 综合运用]
11．向一杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图像如图所示，则杯子的形状可能是( )
解析：选A 函数图像的走势是稍陡、陡、平，水面高度的变化与所给容器的粗细有关，容器应为下粗上细且上下两部分均为柱体，水面上升速度是匀速的，故选A.
12．(多选)设[x]表示小于等于x的最大整数，则对任意实数x，下列各式错误的是( )
A．[－x]＝－[x] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝[x]
C．[2x]＝2[x] D．[x]＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝[2x]
解析：选ABC 取特殊值进行判断，当x＝1.1时，[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A错误；当x＝－1.1时，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝[－0.6]＝－1，[x]＝－2，故B错误；当x＝1.9时，[2x]＝3，2[x]＝2，故C错误，D正确．
13．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝2，f(3)＝3，那么f(12)＝________．
解析：由f(ab)＝f(a)＋f(b)，可得f(12)＝f(4)＋f(3)，f(4)＝f(2)＋f(2)，∴f(12)＝2f(2)＋f(3)＝4＋3＝7.
答案：7
14．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图像与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2eq \r(2)，求f(x)的解析式．
解：法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0；①
又因为|x1－x2|＝eq \f(\r(b2－4ac),|a|)＝2eq \r(2)，
所以b2－4ac＝8a2；②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得b＝2，a＝eq \f(1,2)，c＝1，
所以f(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋1.
法二：因为y＝f(x)的图像有对称轴x＝－2，
又|x1－x2|＝2eq \r(2)，
所以y＝f(x)的图像与x轴的交点为(－2－eq \r(2)，0)，
(－2＋eq \r(2)，0)，故可设f(x)＝a(x＋2＋eq \r(2))(x＋2－eq \r(2))．
因为f(0)＝1，所以a＝eq \f(1,2).
所以f(x)＝eq \f(1,2)[(x＋2)2－2]＝eq \f(1,2)x2＋2x＋1.
[C级 拓展探究]
15．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足f(x＋1)－f(x)＝4x＋1，且f(0)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>6x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(0)＝3得，c＝3，
∴f(x)＝ax2＋bx＋3.
又f(x＋1)－f(x)＝4x＋1，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4x＋1，
即2ax＋a＋b＝4x＋1，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝4，,a＋b＝1，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－1，))
∴f(x)＝2x2－x＋3.
(2)f(x)>6x＋m等价于2x2－x＋3>6x＋m，即2x2－7x＋3>m在[－1，1]上恒成立，
令g(x)＝2x2－7x＋3，则g(x)min＝g(1)＝－2，∴m<－2.