2022年广东省佛山市南海外国语学校中考数学模拟试卷（四）（含解析）

2022年广东省佛山市南海外国语学校中考数学模拟试卷（四）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 与最接近的整数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年月日：时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球万千米，其中万千米用科学记数法表示为(    )

A. 千米 B.  千米
C. 千米 D. 千米

3. 如图，，，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如表记录了甲、乙、丙、丁名立定跳远运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，要从中选择一名成绩较好而且发挥较稳定的运动员去参加比赛，应该选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5. 如图，在中，已知直径垂直弦，，那么的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，四边形中，，，，点，分别是边和对角线的中点，且与对角线交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 我国古代的洛书中记载了最早的三阶幻方九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠后，恰好是等腰直角三角形，若，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且有，那么实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知抛物线与轴交于点，将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，且与轴交于、两点，其中，点的坐标为若线段，那么的值为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 若一个正数的两个平方根分别是和，则______．
14. 分解因式：______．
15. 已知，则______．
16. 正多边形的每个内角都相等如图，在正八边形中，对角线的延长线与边的延长线交于点，则的大小为______ ．

17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，则图中阴影部分的面积等于______．

18. 在矩形中，，，点为矩形内部一动点，且，点为线段上一动点，连接，，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    先化简，再求值：，其中，．
20. 本小题分
    如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷．
    如图，小南先踩中一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方块中埋藏着颗地雷包含数字的黑框区域记为接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字包含数字的黑框区域记为，与外围区域记为二人约定：在区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．
    如图，在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷空白区域无地雷，则选择，，三个区域踩到雷的概率分别是______．
     

21. 本小题分
    某精品店购进甲、乙两种商品，已知购进件甲商品和件乙商品共需元，购进件甲商品与件乙商品共需元．
    求甲商品的和乙商品的进价．
    甲商品售价是元一件，可售出件，据商家统计，甲商品每涨价元，其销售量就减少件，请问售价定为多少时，才能使利润最大，并求出最大利润．
22. 本小题分
    如图，与相切于点，为直径，连接，交于点，过点作交于点，连接，交于点，点为上一点点在直径左侧，且，连接．
    求证：是的切线．
    连接，若，，求的长．

23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数经过点，反比例函数经过点，且交边于点，连接．
    求直线的表达式．
    求的值．
    如图，是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，交反比例函数于点在点运动过程中，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

24. 本小题分
    如图，在中，，，，过点作，点为射线上一点，连接交于点，点为中点，在线段和上分别取点，不与，重合，使得，连接．
    如图，若，求的长度．
    设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
    如果四边形有一组对边平行，求的长度．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最接近的整数是，
，
故选：．
根据无理数的意义和二次根式的性质得出，即可求出答案．
本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道在和之间，题目比较典型．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
，，
，
，
．
故选：．
先由垂线定义可得，再由平行线的性质可求得的度数，最后根据三角形外角的性质可以求得的度数．
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：乙和丙的平均成绩比甲和丁好，
从乙和丙中选择一人参加比赛，
又，
选择乙参赛，
故选：．
选择平均数较大且方差较小的运动员参加即可．
此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，

直径垂直弦，，
，
，
故选：．
根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧和圆周角与圆心角的关系解答即可．
此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，分别是边和对角线的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
点为的中点，
为的中位线，
，
，
故选：．
根据是的中位线，得，，从而说明点为的中点，则为的中位线，求出的长，即可得出答案．
本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，判断点为的中点是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由关于的不等式的解集是，
解得，
可得不等式，
解得，
故选：．
由题意可解得，然后代入不等式进行求解．
此题考查了一元一次不等式的求解能力，关键是能根据一元一次不等式的求解步骤和方法进行正确求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：设幻方正中间的数字为，
依题意得：，
解得：．
故选：．
设幻方正中间的数字为，根据每一横行及两条对角线上的数字之和都相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由折叠补全图形如图所示，

四边形是矩形，
，，，
由第一次折叠得：，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
由第二次折叠知，，
，
，
．
故选：．
根据翻折过程补全图形，然后根据矩形的性质和勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
，
，
故选：．
先用求根公式和，求出，，根据求出的取值范围．
本题考查了根与系数的关系，关键是求出，的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，则．

．
设平移后的抛物线解析式为，
平移后的抛物线经过点，且与轴交于，
，
解得：．
平移后的抛物线解析式为．
令，则．
解得：，．
．
．
，
．
当时，解得：，
当时，解得：，
的值为：或．
故选：．
利用待定系数法求得平移后的抛物线的解析式，令，求出该抛物线与轴的交点，并利用点的坐标表示出线段，的长，根据已知条件列出关于的方程，解方程即可求得结论．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与轴的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
解得．
故答案为：．
根据一个正数的两个平方根互为相反数解答即可．
本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

14.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用平方差公式进行分解即可．
本题考查了因式分解的方法，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
解得：，，
则．
故答案为：．
直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质得出，的值，代入计算即可得出答案．
此题主要考查了算术平方根，绝对值以及非负数的性质，正确得出，的值是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：八边形是正八边形，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
根据正求出多边形的内角和公式，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，计算即可．
本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
：：，
：：，
，，
，
：：：，
：：，
：：，
，
，
．
故答案为：．

应用三角形相似的性质，可求解．
本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质，并得出有关的等式．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，作点关于的对称点，连接，．

四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，关于对称，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
如图，取的中点，连接，作点关于的对称点，连接，利用勾股定理求出，再利用两点之间线段最短，解决问题即可．
本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：原式

，
当，时，
原式

． 

【解析】原式利用多项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】，， 

【解析】解：这个游戏不公平，理由如下：
在区域的个方块中随机埋藏着颗地雷，
区域中有个方块中没有地雷，
小南胜的概率为，小语胜的概率为，
，
这个游戏不公平；
围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷，
区域中有个地雷，
选择区域踩到雷的概率为；
围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷，
区域中有个地雷，
选择区域踩到雷的概率为；
在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷空白区域无地雷，
区域中有：颗地雷，
选择区域踩到雷的概率为；
故答案为：，，．
求出小南胜的概率和小语胜的概率，再比较即可；
分别求出，，三个黑框区域中共藏的地雷颗数，再由概率公式求解即可．
本题考查了游戏公平性以及概率公式等知识，概率相等游戏就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设甲、乙两种商品进价分别为元件，元件，
根据题意得，，
解得，
答：甲、乙两种商品进价分别为元件，元件．
设甲商品售价为元件，利润为元，
由题意得，，
，
当时，的值最大，
即甲商品售价为元件时，获得利润最大，最大利润为元． 

【解析】设甲、乙两种商品进价分别为元件，元件，根据购进件甲商品和件乙商品共需元，购进件甲商品和件乙商品共需元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；
根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

22.【答案】证明：与相切于点，为直径，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是半径，
是的切线；
解：如图，过点作于点，

是的直径，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
设，，则，
，
解得：，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
． 

【解析】由切线的性质得出，由平行线的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，进而证明≌，得出，即可证明是的切线；
过点作于点，由圆周角定理得出，由等腰直角三角形的性质得出，，得出，设，，则，得出，求出，得出，由，，得出是等腰直角三角形，进而得出，再根据勾股定理求出，即可求出．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：反比例函数经过点，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
，，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的表达式为；
，
，
，
解得，或不合题意舍去，
，
如图，过作于，

，，
；
存在，理由如下，
当四边形是平行四边形时，如图，

，
，
，
把代入得，，
；
当四边形是平行四边形时，如图，

，
，
，
把代入得，，
，
综上所述，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 

【解析】把点代入反比例函数得到，求得，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，设直线的解析式为，列方程组即可得到结论；
把代入得，解方程组得到，过作于，根据三角函数的定义即可得到结论；
当四边形是平行四边形时，如图，当四边形是平行四边形时，如图，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定，正确的理解题意是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，

为的中点，
，
又，
，，
，
≌，
，即，
，
，，
，，，
，
；
，
；
过点作于点，

，
，
又，，
∽，
，
，，
，，
，
，
整理得．
由题意可知，
由图可知，当点沿射线移动时，点会向点移动，当点与点重合时，的值最大，

此时，过点作于点，则，
即，
解得，
的范围是；
如果四边形有一组对边平行，则有如下两种情况：
如图，，

，，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
解得；
，

，，，
，
，
又，，
，
，
，
，
即，
，
即，
综上所述，如果四边形有一组对边平行，的长度为或． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，即，证出，则，得出，由勾股定理可得出答案；
过点作于点，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案，根据题意及图形可求出的范围；
分两种情况：，，由勾股定理及等腰三角形的性质可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形及相似三角形的判定与性质，