2023年广东省佛山市南海区重点学校中考数学模拟试卷（6月份）（含解析）

2023年广东省佛山市南海区重点学校中考数学模拟试卷（6月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  世界文化遗产长城总长约米，将数用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，立体图形的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线
C. 阿基米德螺旋线 D. 赵爽弦图

5.  已知一组数据：，，，，，，下列说法正确的是(    )

A. 众数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 中位数是

6.  方程的根的情况是(    )

A. 只有一个实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

7.  下列代数运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如果代数式的值是，那么代数式的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  小明利用如图所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为且保持不变，更换了个阻值不同的定值电阻，依据五次实验的数据描点绘制了如图所示的图象，已知与成反比例函数关系以下说法不正确的是(    )

 

A. 本实验中电压表的读数为
B. 当定值电阻时，电流表的示数为
C. 当电流表的示数为时，定值电阻
D. 电流与电阻之间的函数关系式为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则        ．

12.  把函数的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为______ ．

13.  如图，菱形的对角线、相交于点，是的中点，连接，若，，则 ______ ．

14.  如图，是坐标原点，点在轴上，在中，，，点在反比例函数图象上，则 ______ ．

15.  如图，一扇形纸扇打开后，外侧竹条、的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，制作纸伞两面贴纸所需纸张面积为______ 结果保留

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，是矩形的一条对角线．
作的垂直平分线，分别交，于点，垂足为点
要求用尺规作图，保留作图痕迹不要求写作法；
若，，求的长．

19.  本小题分
我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，丰都某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程研学旅行开展以来引起广泛关注，九年级班数学兴趣小组对本班同学对研学旅行课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
九年级班共有学生        名；
九年级共有学生人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择类的大约有多少人？
该校德育处决定从九年级二班调查的类的人中，抽人到八年级开展研学宣讲，若在调查的类人中，刚好有名男生名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率．

 

20.  本小题分
某校足球队需购买、两种品牌的足球已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高元，且用元购买品牌足球的数量用元购买品牌足球的数量相等．
求、两种品牌足球的单价；
若足球队计划购买、两种品牌的足球共个，品牌足球的数量不少于个，购买两种品牌足球的总费用不超过元设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？

21.  本小题分
如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
求反比例函数的解析式；
请直接写出不等式的解集；
点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标．

22.  本小题分
如图，点在直角的边上，，以为圆心、为半径的与边相交于点，连接交于点，连接并延长交于点已知，．
求证：是切线；
若，求半径；
在的条件下，若是中点，求的长．

23.  本小题分
如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为．
求点的坐标及直线的解析式为        ，        ．
连接，交线段于点，求的最大值；
连接，是否存在点，使得，若存在，求的值若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义，即可求出的倒数．
本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上边看，底层中间是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是中心对称图形，但不轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数定义．
根据众数和中位数的定义求解．
【解答】
解：数据：，，，，，的众数为，中位数为．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，
方程没有实数根．
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，原式计算错误，故本选项错误；
B、，原式计算正确，故本选项正确；
C、，原式计算错误，故本选项错误；
D、，原式计算错误，故本选项错误．
故选：．
结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式的运算，然后选择正确选项．
本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式等知识，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，．
，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
则，
故选：．
首先根据条件可得，再除以可得，再解即可．
此题主要考查了代数式求值，关键是根据条件正确确定的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，电流与电阻之积为，
本实验中电压表的读数为 ，
电流与电阻之间的函数关系式为，选项A，D正确，故该选项不符合题意；
当时，，选项B正确，故该选项不符合题意；
当时，由图象可知，选项C错误，故该选项符合题意．
故选：．
由题意可求出电流与电阻之积为，即本实验中电压表的读数为 ，可判断；由选项可知，可判断；将代入，即得出，可判断；由图象可知当时，，可判断．
本题考查反比例函数的图象和性质．根据图象正确求出反比例函数解析式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
则，
解得：，
故答案为：．
根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把函数图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为：．
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线、相交于点，
，，，
由勾股定理得，，
又点为中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
根据菱形的对角线是互相垂直平分的，求出，，，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作，

，，，
，
在中，，
，
，
把代入，得，
解得．
故答案为：．
过点作，利用等腰三角形的性质求出点的坐标即可解决问题．
此题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：长为，贴纸部分的宽为，
贴纸的面积为，
故答案为：．
求出，先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可．
本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】本题考查分式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入即可解答本题．
 

18.【答案】解：如图，为所作；

连接，
为的垂直平分线，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得，，
，
解得：．
的长为． 

【解析】利用基本作图作线段的垂直平分线即可；
根据垂直平分线的性质可知，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理解决即可．
本题考查了基本作图及垂直平分线的性质、勾股定理，了解基本作图是解答本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：九年级班共有学生：名，
故答案为：；
人，
答：估计九年级学生选择类的大约有人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有种，
抽到的一男一女的概率为．
由类的人数除以所占的百分比得出九年级班的人数，即可解决问题；
由九年级共有学生人数乘以类人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：设购买品牌足球的单价为元，则购买品牌足球的单价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，
，
答：购买品牌足球的单价为元，则购买品牌足球的单价为元；
设购买个品牌足球，则购买个品牌足球，
则，
品牌足球的数量不少于个，购买两种品牌足球的总费用不超过元，
，
解不等式组得：，
为整数，
所以，的值为 或或，
即该队共有种购买方案，
，
随的增大而增大，
当时，最小，
时，元，
答：该队共有种购买方案，购买个品牌个品牌的总费用最低，最低费用是元． 

【解析】设购买品牌足球的单价为元，则购买品牌足球的单价为元，根据用元购买品牌足球的数量用元购买品牌足球的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买个品牌足球，则购买个品牌足球，根据总价单价数量，结合总价不超过元，以及品牌足球的数量不少于个，即可得出关于的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

21.【答案】解：把点代入直线得：
，
解得：，
点的坐标为：，
反比例函数的图象过点，
，
即反比例函数的解析式为，
把点代入直线得，，
解得，
，
观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
不等式的解集为或；
把代入得：，
解得：，
即点的坐标为：，
，
，
，即，
，
当点的纵坐标为时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或． 

【解析】把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，把点的坐标代入反比例函数，即可求得的值，即可得到答案，
把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象的上方的的取值范围，即可得到答案；
把代入一次函数解析式，解之得到点的坐标，求出的面积，进一步求得的面积，根据三角形面积公式即可求得的纵坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键．
 

22.【答案】证明：连接，

在和中，
，
≌，
，
，
是的半径，
是切线；
解：设半径为，则，，
，
，
，
，
，
解得，
即半径为；
解：如图：连点和的中点，

则，
在中，
，
设则．
，
即，
，
，
是边上的中线，
，
，
∽，
，即，
解得：． 

【解析】连接，证明≌，则，即可证明是切线；
设半径为，则，，利用同角的余角相等得到，则，得到，即可得到半径；
连点和的中点，则平行等于的一半，先求出，再得等于，由得∽，相似比为：，所以，代入数据即可求得．
此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题关键．
 

23.【答案】解：， ；
过点作轴交于点，过点作交与点，

当时，即，
解得或，
，，，
为抛物线上的一点，
设，
由可知，直线的解析式为：，
又点在直线上，且点的纵坐标与点的纵坐标相同，
，
，
又，
，
，，
，
，
当时，最大，最大值为；

过点作轴交抛物线与点，延长交轴于点，

，，
由可知，，，
当时，，
，
假设存在点，使得，
，
，
，
．
在中，，
，
，
，
设直线的解析式为：，
将点和点代入中，
，
，
直线的解析式为：，
是直线和抛物线的交点，，
联立得，
解得舍去或．
当时， 

【解析】解：抛物线与坐标轴分别交于，，三点，且点和在轴上，在的左侧，在轴上，
当时，
，
整理得：，
或，
，，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
将点和点代入中，
，解得，
直线的解析式为：，
故答案为：；．
见答案；
见答案．

由于、在轴上，当时，即可求出、坐标；当时，即可求出坐标，求出两点的坐标，设直线的解析式，将和代入此解析式即可求出和，即可求出解析式．
根据面积公式将，利用平行线分线段成比例得，通过两点的坐标即可求出，欲求得知道和点的坐标，点为已知，作轴可知道点的纵坐标与点的纵坐标相同，根据点在直线上即可求出点横坐标，根据点到点的距离公式求出长度，也就可以求出，即可以推出，从而求出最大值．
过点作轴，延长交轴于点，通过易证三角形为等腰三角形，则推出，从而推出的坐标，通过待定系数法求直线的解析式；依据既是抛物线的交点也是直线交点，构建一元二次方程，即可求出值．
本题是二次函数综合题，主要考查的是待定系数法求解析式，平行线分线段成比例定理的推论，角度的存在性等相关内容，解本题的关键在于是否能将面积比转化为线段比，解本题的难点在于是否能通过已知角度条件建立有关点的一次函数解析式．