专题36 切线的条数-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

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专题36 切线的条数【方法点拨】1.按照过一点求切线方程的一般步骤，设切点、求斜率得切线方程、点代入，将切线的条数问题转化为方程解的个数问题；是否存在切线转化为方程有无解的问题.2.有时也可考虑相切为“临界状态”，利用参数的几何意义确定参数的取值范围.【典型题示例】例1    （2022·全国新高考Ⅰ卷·15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是___________．【答案】【解析】易知曲线不过原点，故设切点为，则切线的斜率为所以切线方程为又因为切线过原点，所以即又因为切线有两条，故上方程有两不等实根所以，解得，或所以的取值范围是．例2   (2022·江苏南京一中学情调研模拟检测·8)若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【分析】由于中要求，故考虑当时的公切线所对应的实数的值为临界值，当增大时，抛物线沿直线上移，公切线与相切的切点左移，横坐标减小，故所求大于此时的临界值.【解析】先求当时，曲线的切线方程∵，∴曲线的切线在处的切线方程为，即再求当曲线与直线相切时（即直线为公切线）的值设曲线与直线相切时切点为则由导数的几何意义得，解得，切点为将代入得∵当增大时，抛物线沿直线上移，公切线与相切的切点左移，横坐标减小，即切点的横坐标小于0∴故所求大于此时的值，即.例3    （2022·全国甲卷·文20改编）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线,则实数a的取值范围是         ．【答案】【分析一】由于中的几何意义为截距，故只需求出、相切时的值，将图象往上平移，即增大，即为所求.【分析二】设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.【解析一】设公切点为则，解之得或（不符合题意，舍去）故的取值范围为.【解析二】，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：01000则的值域为，故的取值范围为.例4    （2022·江苏南通期末·16）已知函数，若a∈R时，直线与曲线相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为_________．【答案】【分析】利用过点的曲线的切线有3条，构造函数，借助函数有3个零点求解作答.【解析】由求导得：，设直线与曲线相切的切点为，于是得，且，则，显然函数在R上单调递增，因直线与曲线相切的k的值有且只有3个，则有直线与曲线相切的切点横坐标t值有且只有3个，即方程有3个不等实根，令，求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上递增，在上递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，方程有3个不等实根，当且仅当函数有3个不同的零点，因此，解得，所以a的取值范围为.故答案为.例5     若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【分析】本道题结合存在公共切线，建立切线方程，结合待定系数法，建立等式，构造新函数，将切线问题转化为交点问题，计算a的范围，即可．【解析】设函数的切点为,该切线斜率,所以切线方程为,的切点为,所以切线方程为,由于该两切线方程为同一方程，利用待定系数法，可得,解得得到新方程为,构造函数解得,表示与存在着共同的交点,而过定点,得到过的切线方程,设切点为,则,该切点在该直线上,代入,得到,解得,所以直线斜率为,要使得与存在着交点,则,结合,所以a的取值范围为，故选A．例6    (2021·全国Ⅰ卷)若过点可以作曲线的两条切线，则(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】结合已知条件，利用导数的几何意义将问题转化成函数的交点问题，然后通过构造新函数，并求出新函数的单调区间以及最值，利用数形结合的方法即可求解.   【解析】设切点，，因为，即，则切线方程为，由得，则由题意知，关于的方程有两个不同的解．设，则，由得，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以的最大值为，当时，，所以，当时，；当时，，故的图像如下图所示：故．故选:D．       【巩固训练】1.过定点作曲线的切线，恰有2条，则实数的取值范围是______．2.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．3.若存在实数，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最大值是（    ）A． B． C． D．4.若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．5.已知函数，，若曲线与有两条公切线，则实数的取值范围是        ．6.若曲线与曲线存在公共切线，则实数 a 的取值范围为       ．7.已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是           ．8.已知函数，若过点只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是           .     【答案或提示】1.【答案】【分析】设切点为，利用导数几何意义求得切线方程为，由题意知在上有两个不同解，构造且，利用导数研究单调性及值域，进而确定的范围.【解析】由，若切点为，则，∴切线方程为，又在切线上，∴，即在上有两个不同解，令，即原问题转化为与有两个交点，而，（1）当时，，递增，且，（2）当时，，递增；当时，，递减； ∴，又，时且，∴要使在上有两个不同解，即.故答案为：点评：   作为填空题，本着“小题小做”的策略，只需先求出点在曲线上时的值为，此时，过点曲线的切线洽有一条，从形上看，当增大时，切线就有两条，故答案为.2.【答案】A【解析】设公切线与函数切于点，则切线方程为；设公切线与函数切于点，则切线方程为，所以有∵，∴．又，令，∴．设，则，∴在(0，2)上为减函数，则，∴，故选A．3.【答案】C【解析】存在实数，使不等式对一切正数都成立，要求的最大值，临界条件即为直线恰为函数的公切线.设的切点为，.设的切点为，,所以.由题得.设，所以，所以函数在上单调递减，在单调递增.又，当时，，所以方程另外一个零点一定大于.所以方程小的零点为，所以.故选：C.4.【答案】A【解析】设切点为，∵，∴，∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为，代入点P的坐标，化简得，∵过点可以作三条直线与曲线相切，∴方程有三个不等实根.令，求导得到，可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，如图所示，故，即.故选：A.5.【答案】，【解析一】根据二次函数和代数函数的性质得：当时，曲线与有两条公切线，即在上恒成立，即在上恒成立，设，，令，，即，因此，，【解析二】取两个函数相切的临界条件：，解得，，由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，，故的取值范围是，．6.【答案】【提示】取对数转化为曲线与直线有交点，临界状态是相切.7. 【答案】【解答】 设切点为，切线斜率为：切线方程为：①又切线过点，带入①化简为：令 与 ，（1），；，令，；在，单调递减，上单调递增；过点可作曲线的三条切线，即存在三个，也即是与有三个交点．故如图所知：．8.【答案】【解析】设过点的直线与曲线相切于点，，则，且切线斜率为，所以切线方程为．因此，整理得．设，则“过点只有一条直线与曲线相切”等价于“只有一个零点”． ．当变化时，与的变化情况如下：0100所以，是的极大值，（1）是的极小值．当只有一个零点时，有或（1），解得或．因此当过点只有一条直线与曲线相切时，的取值范围是或．