北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课堂检测

这是一份北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课堂检测，共12页。试卷主要包含了下列各组数中，属于勾股数的是等内容，欢迎下载使用。
1．我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A．1，1.7，2B．1.5，2，2.5C．6，8，10D．5，6，7
3．如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9πB．C．D．3π
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（ ）
A．5B．6C．4D．4.8
6．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）
A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米
7．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（ ）
A．7mB．8mC．9mD．10m
8．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
9．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．4，5，6C．1，2，3D．32，42，52
10．现有四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按如图的方式组成图案，若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．4，6，8B．4，6，10C．4，8，10D．6，8，10
二．填空题（共7小题，满分28分）
11．直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是 ．
12．直角三角形中，两边长为3，4，则第三边长的平方为 ．
13．一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是 cm．
14．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 ．
15．观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第n组勾股数是 ．
16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 ．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 ．
三．解答题（共6小题，满分52分）
18．如图是单位长度为1的正方形网格．
（1）在图1中画出一条长度的平方为10的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
19．如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
20．如图：Rt△ABC斜边BC的中垂线交AB边于点E，若AC＝3，BC＝5，求AE的长．
21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
22．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求原来的路线AC的长；
23．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：
（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）在（1）的条件下判断：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形．观察选项，选项C符合题意．
故选：C．
2．解：A、1，1.7，2，因为不是正整数，故一定不是勾股数，故此选项错误；
B、1.5，2，2.5，因为不是正整数，故一定不是勾股数，故此选项错误；
C、因为62+82＝102，故是勾股数．故此选项正确；
D、因为52+62≠72，故不是勾股数，故此选项错误；
故选：C．
3．解：根据题意知：AC2+BC2＝AB2＝9．
图中阴影部分的面积＝π×（AC）2+π×（BC）2+π×（AB）2
＝π（AC2+BC2+AB2）
＝π×（9+9）
＝．
故选：C．
4．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AD＝8，
故选：C．
5．解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝4，
又∵S△ABC＝BC•AD＝BP•AC，
∴BP＝＝＝4.8．
故选：D．
6．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝1.5（米）
故选：B．
7．解：梯子顶端距离墙角地距离为＝24m，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15m，
15m﹣7m＝8m．
故选：B．
8．解：在侧面展开图中，AC的长等于底面圆周长的一半，即×2π×＝6（cm），
∵BC＝8cm，AC＝6cm，
∴根据勾股定理得：AB＝10（cm），
∴要爬行的最短路程是10cm．故选：C．
9．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，故选项符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
C、12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．
故选：A．
10．解：∵四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是4，6，8，4+6≠8，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是4，6，10时，4+6＝10，围成的三角形是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是4，8，10时，4+8≠10，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是6，8，10时，6+8≠10，围成的三角形不是直角三角形；
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分28分）
11．解：已知直角三角形的两直角边为6、8，
则斜边长为＝10，
故斜边的中线长为×10＝5，
故答案为5．
12．解：当4是直角边时，斜边的平方＝25，
当4是斜边时，另一条直角边的平方＝7，
则第三边长为25或7，
故答案为：25或7．
13．解：如图：设AB＝25是最长边，AC＝15，BC＝20，过C作CD⊥AB于D，
∵AC2+BC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
∵S△ACB＝AC×BC＝AB×CD，
∴AC×BC＝AB×CD
15×20＝25CD，
∴CD＝12（cm）；
故答案为：12．
14．解：如图，连接AC．
由题意，AC2＝5，BC2＝5，AB2＝10，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
故答案为：45°．
15．解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；
②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；
③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；
④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；
∴第⑤组勾股数为2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61，
第n组勾股数是 2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1．
故答案为：11，60，61；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1．
16．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），
故答案是：3．
17．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，
∴AC2+BC2＝AB2，
即（AB﹣2）2+82＝AB2，
解得AB＝17．
故答案为：17．
三．解答题（共6小题，满分52分）
18．解：如图所示．
19．证明：∵，
∴（a+b）（a+b）＝2ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
20．解：连接CE，
由勾股定理得，AB＝4，
∵DE是BC的中垂线，
∴EC＝EB＝4﹣AE，
由勾股定理得，AC2+AE2＝EC2，即32+AE2＝（4﹣AE）2，
解得，AE＝．
21．解：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
∵AB＝4，BC＝3，
根据勾股定理得：AC＝5，
又∵AD＝13，CD＝12，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×12×5＝36，
答：四边形ABCD的面积36．
22．（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
62+2.52＝6.52，
∴CD2+BD2＝CB2，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴CD2+AD2＝AC2，即62+（x﹣2.5）2＝x2，
解得：x＝8.45．
答：原来的路线AC的长为8.45千米．
23．解：（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；
（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形，
证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，
b2＝（2n）2＝4n2，
c2＝（ n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
n
2
3
4
5
6
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
62﹣1
…
b
4
6
8
10
12
…
C
22+1
32+1
42+1
52+1
62+1
…