高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理复习练习题

第一章 空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1.2 空间向量基本定理

知识梳理

1.平面向量中的结论

（1）共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b=λa.

（2）平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c=xa+yb.

2.空间中的共线向量基本定理

两个空间向量a，b，如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，难得b=λa.

点睛： 证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使=λ(或=λ)即可；也可用“对空间任意一点O，有=t+(1-t)”来证明三点共线.

3.共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c=xa+yb.

4.空间向量基本定理

如果空间中三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.

常见考点

考点一 判定空间向量共面

典例1．对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ）

A．一定不共面 B．一定共面

C．不一定共面 D．与点位置有关

【答案】B

【解析】

【分析】

根据空间共面向量的定义进行判断即可.

【详解】

由

，

所以A，B，C，P四点共面，

故选：B

变式1-1．对于空间的任意三个向量､､，它们一定是（       ）

A．共面向量 B．共线向量

C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量

【答案】A

【解析】

【分析】

结合共面向量定理及共线向量判断即可.

【详解】

若､不共线，则由共面向量定理知，､､共面；若､共线，则､､共线，也共面.

故选：A.

变式1-2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.

【详解】

设，若点与点共面，则，

只有选项D满足.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时，

且，则是解答的关键.

变式1-3．若向量，，不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量共面定理即可判断出结论．

【详解】

解：向量，，不共面，

A，，因此三个向量共面；

B，，因此三个向量共面；

C，若，，共面，则存在实数，使得，

故，这与，，不共面矛盾，故三个向量不共面；

D，，因此三个向量一定共面．

故选：C．

考点二 根据空间向量共面求参数

典例2．已知三点不共线，O是平面外任意一点，若由确定的一点P与三点共面，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据点P与三点共面，可得，从而可得答案.

【详解】

解：因为点P与三点共面，且，

所以，解得.

故选：A.

变式2-1．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则的值可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由四点共面结合已知条件可得，从而可得答案

【详解】

，且四点共面，

，即，结合选项知只有符合.

故选：C.

变式2-2．在四面体中，空间的一点M满足，若M，A，B，C共面，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

利用空间四点共面可知，直接求的值.

【详解】

因为M，A，B，C共面，则，得.

故选：A

【点睛】

本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.

变式2-3．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.

【详解】

，即

整理得

由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，

可得 ，解之得

故选：B

考点三 空间向量基底的概念辨析

典例3．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是　　

A． B． C． D．或

【答案】C

【解析】

【分析】

根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．

【详解】

解：由题意和空间向量的共面定理，

结合，

得与、是共面向量，

同理与、是共面向量，

所以与不能与、构成空间的一个基底；

又与和不共面，

所以与、构成空间的一个基底．

故选：．

变式3-1．已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（       ）

A．  B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据空间向量共面定理和基底的概念，逐项检验，即可得到正确结果.

【详解】

由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；

由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；

由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；

假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，

所以,

因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；

故选:D.

变式3-2．已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由不共面的向量可作为基底即可得出选项.

【详解】

由图形结合分析

三个向量共面，不构成基底，

故选：C

变式3-3．若，，是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【解析】

【分析】

基底为一组不共面的向量，逐一判断即可.

【详解】

解：对于中、、，

B中、、，

D中、、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；

对于C，、、，

满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底.

故选：C.

考点四 用空间基底表示向量

典例4．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（       ）

A．            B．

C．           D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.

【详解】

，

故选：D．

变式4-1．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用空间向量基本定理进行计算.

【详解】

.

故选：A

变式4-2．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量线性运算法则计算即可.

【详解】

．

故选：C．

变式4-3．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可．

【详解】

连接ON，则

由题可得

故选：B.

巩固练习

练习一 判定空间向量共面

1．有下列说法:

①若，则与，共面；②若与，共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y.其中正确的是（       ）

A．①②③④                                B．①③④

C．①③                                     D．②④

【答案】C

【解析】

【分析】

利用空间向量共面定理逐一判断即可.

【详解】

若，共线，由=x+y知一定与，共面，

若，不共线，则满足共面定理，与，共面，①对；

同理③对；若与，共面，且，共线，则不一定有=x+y，故②不对；

同理④不对，

故选：C.

2．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.

【详解】

对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；

对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；

对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；

对于D选项，，,所以点与、、三点共面.

故选：D.

3．有下列命题：

①若与平行，则与所在的直线平行；

②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；

③若、、两两共面，则、、一定也共面；

④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．

其中正确命题的个数为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

根据空间向量共线、共面及基本定理判断即可；

【详解】

解：①若向量，平行，则向量，所在的直线平行或重合，因此①不正确；

②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，是共面向量，因此②不正确；

③若三个向量，，两两共面，则向量，，不一定共面，

可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，因此③不正确；

④若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，

但是直线可以平行平面，则与、共面，故④错误．

故选：A

4．已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（       ）

A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点

C．一定共面 D．一定不共面

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知，可将用表示出来，再根据向量共面的充要条件即可得出结论.

【详解】

解：因为非零向量不共线，，

所以，由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面．

故选：C.

练习二 根据空间向量共面求参数

5．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据空间四点共面的充要条件代入即可解决

【详解】

由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线

可得，解之得

故选：D

6．已知平面ABCD外任意一点O满足，．则取值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量共面定理列方程直接求得.

【详解】

由向量共面定理可知：，解得：.

故选：A

7．已知为空间四面体，为底面上一点，且满足，则以下等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设，结合向量的减法可得出、、关于、的表达式，由此可得出的值.

【详解】

因为平面，设，

则，

所以，，

则，，，因此，.

故选：B.

8．已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是（       ）

A．1 B．0 C．3 D．

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：因为，且四点共面，所以必有，解得，故选D．

考点：空间向量的共面问题．

练习三 空间向量基底的概念辨析

9．若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由空间向量基底的定义即可得出答案.

【详解】

选项A：令，则，，A正确；

选项B：因为，所以不能构成基底；

选项C：因为，所以不能构成基底；

选项D：因为，所以不能构成基底．

故选：A.

10．已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【解析】

【分析】

由不共面的三个向量能构成一组基底判断.

【详解】

A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；

B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；

C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；

D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；

故选：C

11．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．

【详解】

如图，作平行六面体，，，，

则，，，，

由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，

因此可以作为空间的基底的有3组．

故选：C．

12．已知是空间向量的一个基底，则下列向量中能与，构成基底的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据空间向量基底的定义判断即可.

【详解】

因为，，，所以ABD错误；因为是空间向量的一个基底，所以，，构成基底.

故选：C

练习四 用空间基底表示向量

13．如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项.

【详解】

连接

.

故选：A

14．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（            ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.

【详解】

，

，

故选：B

15．如图在三棱锥P－ABC中，点G是△ABC的重心，点E为线段PA中点，设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由空间向量的线性运算求解．

【详解】

G是△ABC的重心，则，

，，，

所以，

，

所以，

故选：A．

16．如图，在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，设，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据空间向量线性运算法则计算可得；

【详解】

解：在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，即，设，，，

．

故选：C