第2讲-实数的表示与开方-【同步优课】2021-2022学年七年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

第2讲-实数的表示与开方

1．进一步理解无理数、实数、平方根等概念；

2．理解立方根和开立方运算以及开n次方运算；

3. 会进行简单的实数运算；

4. 掌握实数大小比较的方法，会根据情况灵活选择方法进行实数大小比较。

（以提问的形式回顾）

1. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________.  -0.4， 

2. 若，则___________.      

3.下列各数，属于无理数的是_________________________.  ，，，0.2020020002…

    ，0，，3，0.15，，，，，3.14159，，0.2020020002…

4. 为最大的负整数，则a的值为___________.  

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

一、立方根与开立方

1：什么是立方根？什么是开立方运算？

2：立方根和开立方的性质有哪些？

1.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零；

2.任意实数都有立方根，且只有一个立方根；

可以用具体的例子引导学生总结

3. ，.（注意与平方根和开平方相应性质的对比）

4. .

练习一：

1. 下面说法正确的是（　　）

A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数

B．负数没有立方根

C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根

D．一个数的立方根与被开方数同号

2. 的值是             .

3. 立方根等于本身的数是             ，平方根等于本身的数是             .

4. 下列运算正确的是（    ）

A、   B、   C、    D、   

答案：D；  -2；  0，1，-1；  0，1；  D

练习二：

1.64的平方根是             ，64的立方根是             .

2. 的平方根是             ，的立方根是             .

3.已知，则         .

4. 如果的立方根是4，则的算术平方根是           .

5. 已知的平方根是，则的立方根是           .

6. 若与互为相反数，则的=           .

7. 若，则=        ．

答案：1. ； 2. ；  3. ；  4.  6；  5.  4；  6. ；  7.  4

例题 填表：

答案：0.01   0.1   1   10   100

根据上表总结规律：

被开方数的小数点每向       移动     位，则立方根的小数点相应地向     移动    位.

右，3，右，1

这个结论让学生多观察总结，还可以再举例让学生理解

练习  已知， ，则（    ）   D

A.       B.       C.       D.

二、立方根运算

例题1  计算：

 （1）  ；           （2）   ；

（3） ；            （4）；

（5）-+  ；  （6）-+.

答案：（1）； （2）；  （3）；  （4）；  （5）；  （6）-1

练习：

1. ；2. ；3.   ；4. .

答案：（1）0；  （2）；   （3）-0.9；  （4）-2.3

三、n次方根

填表：

填表：

练习：

1.计算：        ，=          .

2.计算：        （其中a>b），=          .

答案：-8， 10； 

四、实数的大小比较（选讲）如果学生基础较好这部分可以讲，如果一般可以把这部分删去

方法1：近似值法

回顾：      ，      ，      ，      ，      .

答案：   1.414   ， 1.732，   2.236   ，  2.449    ，   2.646  .

例题1、  比较与的大小.

答案：2.7<

方法2：平方法

例题  比较与的大小.

答案：<

方法3：移动因式法

例题  比较与的大小.

答案：<

1．下列说法中，错误的是

A．一个正数的两个平方根的和为零 B．任意一个实数都有奇次方根

C．平方根和立方根相等的数只有零 D．的4次方根是

【答案】D

【分析】

根据平方根、立方根、开方的定义和性质对每一项分别进行分析即可．

【详解】

A．一个正数的两个平方根的和为零，故本选项正确；

B．任意一个实数都有奇次方根，故本选项正确；

C．平方根和立方根相等的数只有零，故本选项正确；

D．m（m＞0）的4次方根是±，故本选项错误．

故选D．

【点睛】

本题考查了实数，用到的知识点是平方根、立方根、开方，熟练掌握课本中的有关定义和性质是本题的关键．

2．下列说法正确的是(        )

A．的平方根是±3

B．的算术平方根是-5

C．负数没有立方根

D．是5的算术平方根

【答案】D

【分析】

分别根据算术平方根以及平方根和立方根的定义分析得出即可．

【详解】

A、=3，3平方根是±，故此选项错误；

B、（-5）2的算术平方根是5，故此选项错误；

C、负数有一个负立方根，故此选项错误；

D、是5的算术平方根，此选项正确．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了算术平方根以及平方根和立方根的定义，熟练掌握它们的定义得出是解题关键．

3．–27的立方根与的平方根之和是

A．0 B．–6

C．0或–6 D．6

【答案】C

【分析】

根据立方根的定义求得-27的立方根是-3，根据平方根的性质，的平方根是±3，由此即可得到它们的和．

【详解】

∵-27的立方根是-3，而=9，9的平方根是±3，

所以它们的和为0或-6．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．

4．下列结论正确的是（       ）

A． 的立方根是 B．没有立方根

C．有理数一定有立方根 D． 的立方根是－1

【答案】C

【分析】

根据立方根的定义逐一进行分析判断即可得答案.

【详解】

A. 的立方根是 ，故A选项错误；

B. 的立方根是，故B选项错误；

C. 有理数一定有立方根，正确；

D. 的立方根是1，故D选项错误，

故选C.

【点睛】

本题考查了立方根，注意：一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根．

5．下列各数：0，32，(－5)2，－4，－|－16|，π，其中有平方根的个数是(　　)

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】B

【分析】

由于负数没有平方根，先计算所给的数，再根据平方根的定义即可判断．

【详解】

∵（-5）2=25＞0，

-4＜0，

-|-16|=-16＜0，

题中数据非负数有0，32，（-5）2=25，π，共4个．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了平方根定义的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根．若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．

6．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m的值．

【答案】1或-3.

【分析】

依据平方根的性质列方程求解即可．

【详解】

解：当2m-4=3m-1时，m=-3，

当2m-4+3m-1=0时，m=1．

故答案为1或-3．

【点睛】

本题主要考查的是平方根的性质，明确2m-4与3m-1相等或互为相反数是解题的关键．

7．解方程：．

【答案】

【分析】

先把看成一个整体，求出它的值，然后再求原方程的值

【详解】

原方程变形为

解得

原方程的解为：

【点睛】

本题考查了立方根，将看成一个整体是解题的关键．

8．学校要围一个占地面积144平方米的正方形花圃，需要准备竹篱笆的长度为_______.

【答案】48米

【分析】

正方形的面积等于边长的平方，所以边长应该是面积的算术平方根，而正方形的周长是边长的4倍，由此可以求出篱笆的长度.

【详解】

∵正方形花圃的面积为144平方米，

∴正方形花圃的边长为12米，

因此，所需要准备竹篱笆的长度为：12×4=48（米）.

故答案为48米.

【点睛】

本题考查了算术平方根的应用以及正方形的性质.

9．若的立方根是A，的算术平方根为B，则A＋B＝________．

【答案】

【详解】

因为，所以A=，B=，则A+B=，故答案为.

10．的值是_________；的立方根是_________．

【答案】     16    

【分析】

根据平方根和立方根的定义进行解答．

【详解】

∴的立方根是

故答案为：16；．

【点睛】

本题考查了平方根和立方根的问题，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．

11．如果=4，那么(a-67)3的值是______

【答案】－343

【分析】

利用立方根的定义及已知等式求出a的值，代入所求式子计算即可求出值．

【详解】

∵，

∴a+4=43，

即a+4=64，

∴a=60，

则（a-67）3=（60-67）3=（-7）3=-343，

故答案为-343.

【点睛】

本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．

12．若，求的值.

【答案】0

【分析】

首先根据实数中的非负数及性质求出x、y的值，然后将x、y的值代入化简后的代数式中，即可得出答案.

【详解】

∵，

∴x+1=0,x+y=0,

∴x=-1,y=1,

∴= =0，

故答案为0.

【点睛】

此题考查非负性：偶次幂，解题关键在于利用非负性进行解答.

13．如果，那么y=________．

【答案】3或-3

【分析】

根据有理数的开方运算计算即可．

【详解】

∵y4=81，

∴（y2）2=81，

∴y2=9，

∴y=3或-3．

故答案为3或-3．

【点睛】

本题考查了有理数的乘方运算的逆运算，解题时注意不用漏解．

14．如图，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，体积为．

求出这个魔方的棱长．

图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．

【答案】（1）4cm；（2）阴影部分面积为：边长为cm.

【分析】

（1）立方体的体积等于棱长的3次方，开立方即可得出棱长；

（2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．

【详解】

（1）（cm）．

（2）∵魔方的棱长为4cm，∴小立方体的棱长为2cm，∴阴影部分面积为：×2×2×4=8（cm2），边长为：=（cm）．

【点睛】

本题考查的是立方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长．

15．二项方程在实数范围内的解是_______________

【答案】x=-3

【分析】

由2x3+54=0，得x3=-27，解出x值即可．

【详解】

由2x3+54=0，得x3=-27，

∴x=-3，

故答案为x=-3．

【点睛】

本题考查了立方根，正确理解立方根的意义是解题的关键．

16．计算：＝________

【答案】2.25

【分析】

先计算被开方数，再开立方即可得解.

【详解】

=，即＝2.25.

故答案为2.25.

【点睛】

本题考查了求一个数的立方根，一个正数只有一个立方根.

17．若，且，则=_________；

【答案】5或者－5

【详解】

∵a2=4，b2=9，

∴a=±2，b=±3，

∵ab＜0，

∴a=2时，b=-3，a-b=2-（-3）=2+3=5，

a=-2时，b=3，a-b=-2-3=-5，

所以，a-b的值为5或-5．

故答案是：5或-5．

18．方程（x+2）3＝﹣27的解是_____．

【答案】x＝﹣5

【分析】

方程利用立方根定义开立方即可求出解．

【详解】

方程开立方得：x+2＝﹣3，

解得：x＝﹣5，

故答案为：x＝﹣5．

【点睛】

此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．

19．已知，求的平方根．

【答案】

【分析】

根据二次根式和绝对值的非负性，可以列出方程求得a和b的值，进而求出的值，再算出平方根即可.

【详解】

∵，

∴a-24=0, ,

解得：a=24, ,

∴=24+=49,

∴的平方根为.

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性，平方根的定义，根据已知条件列出方程是解题的关键.

20．方程的解是________

【答案】x=10

【详解】

由题意得：x-1=32，解得：x=10，

故答案为10.

1．下列方程中，有实数根的方程是（　　）

A．x4+16＝0 B．x3+9＝0 C． D．+3＝0

【答案】B

【分析】

利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B、C进行判断；通过算术平方根的概念可对D进行判断．

【详解】

解：A、x4≥0，x4+16＞0，方程x4+16＝0没有实数解；

B、移项得，x3＝﹣9，两边开立方得，x＝，故方程的解为x＝；

C、∵分子1≠0，∴，原方程没有实数解；

D、∵≥0，∴，原方程没有实数解．

故选：B．

【点睛】

本题考查了乘方的意义、立方根的意义、算术平方根的意义、分式的值为零的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．

2.以下计算正确的是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

可以先求出的值，再求它的算术平方根；一个数的立方根只有一个；先算出的值，再添加号；负数的偶数次方等于正数．

【详解】

A．=25，，不符合题意；

B．，不符合题意；

C．，，符合题意；

D．，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握各自的定义是解题的关键．

3．如果x取任意实数，那么以下式子中一定表示正实数的是(          )

A．x B． C． D．|3x＋2|

【答案】C

【分析】

利用平方根有意义的条件以及绝对值有意义的条件进而分析求出即可．

【详解】

A.x可以取全体实数，不符合题意;

B. ≥0, 不符合题意;

C. >0, 符合题意;

D. |3x＋2|≥0, 不符合题意.

故选C.

【点睛】

本题考查了平方根和绝对值有意义的条件，正确把握平方根和绝对值有意义的条件是解题关键．

4．下列说法中正确的有（       ）个.

① 负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是，的立方根是．

③如果 ，那么x＝－2．       ④算术平方根等于立方根的数只有1．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】

根据平方根、立方根、乘方的定义以及性质逐一进行分析判断即可.

【详解】

① 负数没有平方根，但负数有立方根，正确；

②的平方根是，的立方根是，故②错误；

③任何实数的平方都不可能为负数，故③错误；

④算术平方根等于立方根的数有0、1，故④错误，

所以正确的有1个，

故选A.

【点睛】

本题考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根及立方根的定义是解题的关键.

5．若则的值是（     ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】B

【详解】

试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．

考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．

6．解方程：

【答案】．

【分析】

利用直接开立方根的方法求解即可．

【详解】

解：

∴

∴

∴．

【点睛】

本题考察了解方程中的直接开平方法，熟悉相关解法是解题的关键．

7．已知 2a-3 与 a-3 是某数的平方根，求这个数．

【答案】1或9

【分析】

根据正数的平方根有2个，且互为相反数，求出a的值，即可确定出这个数．

【详解】

解：∵2a-3与a-3是同一个数的平方根，

∴2a-3+a-3=0或2a-3=a-3，

解得：a=2或a=0，

则这个数为1或9．

【点睛】

此题考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．

8．若，则x与y关系是______．

【答案】x+y=0

【分析】

先移项，然后两边同时进行三次方运算，继而可得答案.

【详解】

∵，

∴，

∴（）3=（）3，

∴x=-y，

∴x+y=0，

故答案为x+y=0.

【点睛】

本题考查了立方根，明确是解题的关键.

9．方程x3﹣8=0的根是______．

【答案】x=2

【详解】

x3-8=0，

x3=8，

所以，x==2，

故答案为2.

10．已知那么______.

【答案】17.03

【分析】

根据题意，利用算术平方根性质即可确定出结果．

【详解】

∵，∴17.03．

故答案为17.03．

【点睛】

本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根性质是解答本题的关键．

11．已知，，求的平方根．

【答案】

【分析】

根据平方根和立方根的性质求出a，b的值，进而再求的平方根即可.

【详解】

∵，，

∴，．

∴.

【点睛】

本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．

12．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．

【答案】10

【分析】

根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2＝4，2x+y+7＝27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可．

【详解】

解：∵x﹣2的平方根是±2，

∴x﹣2＝4，

∴x＝6，

∵2x+y+7的立方根是3

∴2x+y+7＝27

把x的值代入解得：

y＝8，

∴x2+y2的算术平方根为10．

【点睛】

此题考查平方根，立方根的概念，解题关键在于掌握运算法则，难易程度适中．

13．已知与互为相反数，求的值.

【答案】

【分析】

利用互为相反数的两数之和列出关系式，根据含x的代数式表示y的值，代入原式计算即可.

【详解】

解：∵与互为相反数

∴+=0，∴2x+y+2+2x+y-2=0, ∴4x+2y=0,即y=-2x,

∴=.

【点睛】

本题考查了立方根，解题的关键是熟练掌握立方根的概念.

14．若实数使得与互为相反数,求的四次方根.

【答案】±2

【分析】

根据互为相反数的两数之和为0，及绝对值、算术平方根的非负性，可得出x、y的值，代入计算即可．

【详解】

∵与互为相反数，∴0，∴，解得：，∴xy=16，16的四次方根为±2．

【点睛】

本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，解答本题的关键是根据相反数的定义得出方程．

15．已知的负的平方根是，的立方根是3，求的四次方根．

【答案】

【分析】

根据的负的平方根是，的立方根是3，可以求得、的值，从而可以求得所求式子的四次方根．

【详解】

解：的负的平方根是，的立方根是3，

，

解得，，

，

的四次方根是，

即的四次方根是．

【点睛】

本题考查平方根、立方根，以及二元一次方程组的解法，解答本题的关键是明确题意，求出、的值．

16．计算：=_______，=________.

【答案】          0.3

【分析】

根据算术平方根和立方根定义进行分析.

【详解】

,

故答案为，0.3

【点睛】

考核知识点：算术平方根和立方根.理解定义是关键.

17．若+|b﹣2|＝0，则（a+b）2020的值为______．

【答案】1

【分析】

首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的和．

【详解】

∵

∴a+3＝0，b﹣2＝0，

∴a＝﹣3，b＝2；

因此a+b＝﹣3+2＝﹣1．

则（a+b）2020＝（﹣1）2020＝1．

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查算术平方根与绝对值的非负性及乘方，熟练掌握算术平方根与绝对值的非负性及乘方是解题的关键．

18．的四次方根是__________．

【答案】

【分析】

根据分数指数幂的定义直接求解即可

【详解】

解：∵

∴的四次方根是：

故答案为：

【点睛】

本题考查开方运算的概念，乘方与开方的关系，熟练进行乘方的计算是关键

19．若，则 x＋y 的立方根是_____．

【答案】-1

【分析】

根据非负数的性质，求出x，y的值，代入即可得出结果．

【详解】

解：∵，

∴x-2=0，6+2y=0，

解得x=2，y=-3，

∴x+y=2-3=-1，

∴x＋y 的立方根是-1，

故答案为：-1．

【点睛】

此题考查非负数的性质，算术平方根和绝对值，解题关键在于掌握运算法则．

20．若a=，则的平方根_______.

【答案】±3

【分析】

根据平方与平方根的定义解答．

【详解】

由已知可得b-1≥0,1-b≥0,

所以1-b=0,b=1

所以a=3

所以==9

所以的平方根是±3

故答案为±3

【点睛】

本题考查了平方根的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键．