专题07 一次函数与几何综合问题的三种考法-【B卷常考】2022-2023学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

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专题07 一次函数与几何综合的三种考法类型一、面积问题例1．如图，点A（1，0），B（0，）分别在x轴和y轴上，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°.（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；（2）若点P（m，）为坐标平面内一点，使得△APB与△ABC面积相等，求m的值.【答案】(1)y=x+，点C(2，)；(2)m=或.【解析】试题解析：(1) 如图，过点C作CD⊥OA，垂足为D.设直线AB的解析式为y=kx+b (k≠0).将点A的坐标(1, 0)与点B的坐标(0,)代入该直线的解析式，得，解之，得.∴直线AB的解析式为.∵点A的坐标是(1, 0)，点B的坐标是(0,)，∴OA=1，OB=，∴在Rt△AOB中，.∵在Rt△ABC，∠ABC=30°，∴，∵在Rt△ABC中，AB2=BC2-AC2=(2AC)2-AC2=3AC2=22=4，∴AC=.∵在Rt△AOB中，，∴∠OBA=30°，∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°-∠OBA=60°，∵∠BAC=90°，∴∠CAD=180°-∠BAC-∠OAB=180°-90°-60°=30°.∴在Rt△CAD中，，，∴OD=OA+AD=1+1=2.，∴点C的坐标为(2,).(2) 如图，作线段OB的垂直平分线MN，交OB于点G，交AB于点F. 过点A作AE⊥MN，垂足为E.∵OB=，点P的纵坐标为，∴点P在OB的垂直平分线MN上.∵Rt△ABC的面积为，∴△APB的面积为，即△AFP的面积与△BFP的面积之和为，∴.∵AE+BG=OB=，∴，∴.∵点F在OB的垂直平分线MN上，∴，∴点F的坐标为(，).∵点F的坐标为(，)，点P的坐标为(m，)，∴，∴或，∴或，即m的值为或.例2．如图,已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,0),且把△AOB分成两部分.(1)若△AOB被分成的两部分面积相等,求k和b的值;(2)若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5,求k和b的值.【答案】（1）b=2，k=-2；（2）【详解】解：（1）由题意知：直线y＝kx＋b（k≠0）必过C点，∵C是OA的中点，∴直线y＝kx＋b一定经过点B，C，如图（1）所示，把B，C的坐标代入可得：∴，解得；（2）∵S△AOB＝×2×2＝2，∵△AOB被分成的两部分面积比为1：5，那么直线y＝kx＋b（k≠0）与y轴或AB交点的纵坐标就应该是：2×2×＝，①当y＝kx＋b（k≠0）与直线y＝−x＋2相交时，交点为D，如图（2）所示，当y＝时，直线y＝−x＋2与y＝kx＋b（k≠0）的交点D的横坐标就应该是−x＋2＝，∴x＝，即交点D的坐标为（，），又根据C点的坐标为（1，0），可得：，∴，②当y＝kx＋b（k≠0）与y轴相交时，交点为E，如图（3）所示，∴交点E的坐标就应该是（0，），又有C点的坐标（1，0），可得：，∴因此：k＝2，b＝−2或k＝−，b＝．例3.如图，直线y＝kx＋6与x轴、y轴分别相交于点E，F，点E的坐标为(8，0)，点A的坐标为(6，0)，点P(x，y)是第一象限内直线上的一个动点(点P不与点E，F重合)．(1)求k的值；(2)在点P运动的过程中，求出△OPA的面积S与x的函数关系式；(3)若△OPA的面积为，求此时点P的坐标．【答案】(1) y＝－x＋6.(2)S＝－x＋18(0＜x＜8)(3) P()．解：(1)由题意，得8k＋6＝0，解得k＝－.∴y＝－x＋6. (2)过点P作PD⊥OA于点D.∵点P(x，y)是第一象限内直线上的一个动点，∴PD＝－x＋6(0＜x＜8)．∵点A的坐标为(6，0)，∴S＝×6×(－x＋6)＝－x＋18(0＜x＜8)．(3)∵△OPA的面积为，∴－x＋18＝，解得x＝.将x＝代入y＝－x＋6，得y＝，∴P(，)．【变式训练1】如图，已知直线y＝－2x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________．(2)求△AOB的面积．(3)直线AB上是否存在一点C(点C与点B不重合)，使△AOC的面积等于△AOB的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) (3，0)，(0，6)；(2)9；(3)存在，点C的坐标为(6，－6)．【详解】（1）当y＝0时，－2x＋6＝0，解得x＝3，则A点的坐标为（3，0）；当x＝0时，y＝－2x＋6＝6，则B点的坐标为（0，6）.（2）S△AOB＝×3×6＝9.（3）存在.理由如下：设点C的坐标为（t，－2t＋6）.因为△AOC的面积等于△AOB的面积，所以×3×|－2t＋6|＝9，解得t1＝6，t2＝0（与点B重合，舍去）.所以点C的坐标为（6，－6）.【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线y＝2x＋m与y轴交于点A，与直线y＝－x＋5交于点B（4，n），P为直线y＝－x＋5上一点.（1）求m，n的值；（2）求线段AP的最小值，并求此时点P的坐标.【答案】（1）m＝－7，n＝1；（2）P（6，－1）.【详解】（1）∵点B（4，n）在直线上y＝－x＋5上，∴n＝1，即B（4，1），∵点B（4，1）在直线上y＝2x＋m上，∴m＝－7；（2）过点A作直线y＝－x＋5的垂线，垂足为P，此时线段AP最短，∴∠APN＝90°，∵直线y＝－x＋5与y轴交于点N（0，5），直线y＝2x－7与y轴交于点A（0，－7），∴AN＝12，∠ANP＝45°，∴AM＝PM＝6，∴OM＝1，∴P（6，－1）.【变式训练3】如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，x轴上一点C的坐标为，点P是直线l上一点．(1)当点P的横坐标为2时，求的面积；(2)若，求此时点P的坐标．【答案】(1)9；(2)(4,2)或(12,-2)【解析】(1)∵P点在直线l上，其横坐标为2，∴当x=2时，，∵C(6,0)，∴OC=6，∴；(2)当x=0时，，∴B点坐标为(0,4)，∴OB=4，当y=0时，，解得x=8，∴A点坐标为(8,0)，∴OA=8，∴，∵，∴，∴，即，解得，即，当时，，解得x=4，∴此时P点坐标为(4,2)，当时，，解得x=12，∴此时P点坐标为(12,-2)，综上：P点坐标为(4,2)、(12,-2)．类型二、几何图形存在性问题例1.直线AB：y＝－x＋b分别与x，y轴交于A（8，0）、B两点，过点B的直线交x轴轴负半轴于C，且OB：OC＝4：3．（1）求点B的坐标为 __________；（2）求直线BC的解析式；（3）动点M从C出发沿射线CA方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设M运动t秒时，当t为何值时△BCM为等腰三角形．【答案】(1)B(0，8)；(2) y＝x＋8；(3)10秒、秒或12秒.【详解】解：（1）y=﹣x+b分别与x轴交于A（8、0），得：﹣8+b=0．解得b=8，即函数解析式为y=﹣x+8，当x=0时，y=8，B点坐标是（0，8）；（2）由OB：OC=4：3，BC=8，得：8：BC=4：3，解得BC=6，即C（﹣6，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，图象经过点B，C，得：，解得： ，∴直线BC的解析式为y=x+8；（3）设M点坐标（a，0），由勾股定理得：BC==10，分三种情况讨论：①当MC=BC=10时，由路程处以速度等于时间，得10÷1=10（秒），即M运动10秒，△BCM为等腰三角形；②当MC=MB时，MC2=MB2，即（a+6）2=a2+82，化简，得12a=28，解得a=即M（，0）．MC=﹣（﹣6）=+6=，由路程除以速度等于时间，得÷1=（秒），即M运动秒时，△BCM为等腰三角形；③当BC=BM时，得OC=OM=6，即MC=6﹣（﹣6）=6+6=12，由路程除以速度等于时间，得12÷1=12（秒），即M运动12秒时，△BCM为等腰三角形．综上所述：t=10（秒），t=（秒），t=12（秒）时，△BCM为等腰三角形．例2.根据题意，解答问题：（1）如图1，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长.（2）如图2，类比（1）的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点M（3，4）与点N（﹣2，﹣1）之间的距离.（3）在（2）的基础上，若有一点D在x轴上运动，当满足DM=DN时，请求出此时点D的坐标.【答案】（1）；（2）；（3）点D的坐标为（2，0）.【详解】详解：（1）令x=0，得y=4，即A（0，4）．令y=0，得x=-2，即B（-2，0）．在Rt△AOB中，根据勾股定理有：AB＝；（2）如图2，过M点作x轴的垂线MF，过N作y轴的垂线NE，MF和NE交于点C．根据题意：MC=4-（-1）=5，NC=3-（-2）=5．则在Rt△MCN中，根据勾股定理有：MN＝；（3）如图3，设点D坐标为（m，0），连结ND，MD，过N作NG垂直x轴于G，过M作MH垂直x轴于H．则GD=|m-（-2）|，GN=1，DN2=GN2+GD2=12+（m+2）2MH=4，DH=|3-m|，DM2=MH2+DH2=42+（3-m）2∵DM=DN，∴DM2=DN2，即12+（m+2）=42+（3-m）2，整理得：10m=20  得m=2 ∴点D的坐标为（2，0）．例3.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数y＝x＋b的图象交于点C（－2，m）．（1）求m和b的值；（2）函数y＝－x＋b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M（到A停止运动），设点E的运动时间为t秒．①当ΔACE的面积为12时，求t的值；②在点E运动过程中，是否存在t的值，使ΔACE为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m=4，b=；（2）①t=5；②t＝4或t＝6【解析】（1）∵点C（−2，m）在直线y＝−x＋2上，∴m＝−（−2）＋2＝2＋2＝4，∴点C（−2，4），∵函数y＝x＋b的图象过点C（−2，4），∴4＝×（−2）＋b，得b=，即m的值是4，b的值是；（2）①∵函数y＝−x＋2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，∴点A（2，0），点B（0，2），∵函数y＝x＋的图象与x轴交于点D，∴点D的坐标为（−14，0），∴AD＝16，∵△ACE的面积为12，∴(16−2t)×4÷2＝12，解得，t＝5．即当△ACE的面积为12时，t的值是5；②当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形，理由：当∠ACE＝90°时，AC⊥CE，∵点A（2，0），点B（0，2），点C（−2，4），点D（−14，0），∴OA＝OB，AC＝4，∴∠BAO＝45°，∴∠CAE＝45°，∴∠CEA＝45°，∴CA＝CE＝4，∴AE＝8，∵AE＝16−2t，∴8＝16−2t，解得，t＝4；当∠CEA＝90°时，∵AC＝4，∠CAE＝45°，∴AE＝4，∵AE＝16−2t，∴4＝16−2t，解得，t＝6；由上可得，当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形．【变式训练1】如图，点A的坐标为（4，0）．点P是直线y=x+3在第一象限内的点，过P作PMx轴于点M，O是原点．（1）设点P的坐标为（x，y），试用它的纵坐标y表示△OPA的面积S；（2）S与y是怎样的函数关系？它的自变量y的取值范围是什么？（3）如果用P的坐标表示△OPA的面积S，S与x是怎样的函数关系？它的自变量的取值范围是什么？（4）在直线y=x+3上求一点Q，使△QOA是以OA为底的等腰三角形．【答案】（1）S=2y；（2））S是y的正比例函数，自变量y的取值范围是0＜y＜3；（3）S=x+6，S是x的一次函数，自变量的取值范围是0＜x＜6；（4）Q的坐标为（2，2）．【详解】(1)直线y= x+3与)与y轴的交点为B(0，3)，设点P(x，y)，因为点P在第一象限，x>0，y>0，所以S=OA·PM=×y×4=2y．(2)S是y的正比例函数，自变量y的取值范围是0<y<3．(3)S=2y=2( x+3)= x+6，S是x的一次函数，自变量的取值范围是0<x<6．(4)因为△QOA是以OA为底的等腰三角形，所以点Q在OA的中垂线上，设Q (x0, y0)     则     解得     点Q的坐标为( 2，2)．【变式训练2】已知函数 的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点M（2，4）； 在x轴上有一动点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点C，D(1)求直线AB的函数关系式及点A的坐标；(2)设点p(a，0)，若CD＝OB，求a的值及点C的坐标；(3)在轴上是否存在点E，使为等腰三角形？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】(1)y＝－x＋5，点A的坐标(10，0)，(2)a＝3或1，C的坐标（3，）或（1，）(3)存在，点E的坐标（0，8）、（0，），（0，－），（0，）【解析】(1)把点M（2，4）代入y=-x+b中，可得：4=-×2+b，解得：b=5，所以直线AB的函数关系式是y=-x+5，把y=0代入y=-x+5得x=10，∴点A坐标为（10，0）；(2)把x=0代入y=-x+5得y=5，∴B点坐标为（0，5），∴OB=5，∵CD=OB，∴CD=，∵PC⊥x轴，点P（a，0），∴C点坐标为（a，-a+5），D点坐标为（a，2a），∴|2a-（-a+5）|=，∴a=3或1，当a=3时，y=-x+5=；当a=1时，y=-x+5=；∴点C的坐标为（1，）或（3，）；(3)设点E（0，m），∵点M（2，4）．∴OM2=22+42=20，OE2=m2，EM2=22+（m-4）2=m2-8m+20，①OE=OM时，OE2=OM2，∴m2=20，∴m=±2，∴点E的坐标为（0，2）或（0，-2）；②OE=EM时，OE2=EM2，∴m2=m2-8m+20，∴m=，∴点E的坐标为（0，）；③OM=EM时，OM2=EM2，∴20=m2-8m+20，∴m=8或0（舍去），∴点E的坐标为（0，8）；综上，存在，点E的坐标为（0，2）或（0，-2）或（0，）或（0，8）．【变式训练3】如图，直线（）与x轴、y轴分别交于点B，C，且OB=2．(1)求k的值．(2)若点A是直线y=kx-1上一动点，且点A在第一象限，当△AOB的面积为2时，求点A的坐标．(3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)k的值为；(2)点A的坐标为（6，2）；(3)0，) 0，-) 0，) 0，)【解析】(1)解∶∵OB=2．∴点B（2，0），把点B代入，得：，解得：；(2)解：由（1）得：直线的解析式为，∵△AOB的面积为2，点A在第一象限，∴，OB=2，∴，∴当yA=2时，，∴A（6，2）；(3)解：存在，理由如下：∵A（6，2），∴，设点P（0，m），当时，如图，点P的坐标为或（0，-）；当AP=OP时，AP2=OP2，∴，解得：m=10，∴此时点的坐标为（0，10）；当AP=OA时，AP2=OA2，∴，解得：m=4或0（舍去）；∴此时点的坐标为（0，4）；综上所述，存在点P的坐标为或（0，-）或（0，10）或（0，4）．【变式训练4】在平面直角坐标系xOy中，将直线向下平移2个单位后，与一次函数的图象相交于点A．（1）将直线向下平移2个单位后对应的解析式为　         ；（2）求点A的坐标；（3）若P是x轴上一点，且满足△OAP是等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．【答案】（1）；（2）（2，2）；（3）（2，0）或（4，0）．【解析】（1）根据题意，得；故答案为：．（2）由题意得：，解得：，∴点A的坐标为（2，2）；（3）如图所示，∵P是x轴上一点，且满足△OAP是等腰直角三角形，当OA=OP时，P点坐标为（4，0），当OP=AP时，P点坐标为（2，0），综上，P点的坐标为：（2，0）或（4，0）．类型三、最值问题例1．如图，将直线向上平移后经过点，分别交x轴y轴于点B、C．（1）求直线的函数表达式；（2）点P为直线上一动点，连接．问：线段的长是否存在最小值？若存在，求出线段的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，线段的最小值为4.8．【解析】（1）设平移后的直线的解析式为，代入得，解得∴直线的解析式为；（2）存在，理由如下：令x=0，得y=6，∴C（0，6），故OC=6令y=0，得x=8，∴B（8，0）故OB=8∴BC=∵OP⊥BC时，线段最小，∵S△ABC==，∴=，即线段的最小值为4.8．【变式训练1】如图，四边形是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，，点E在边上．（1）若点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M，将纸片沿直线折叠，顶点C恰好落在上，并与上的点G重合．①求点G、点E的坐标；②若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E为上的一动点，点C关于直线的对称点为G，连接，请求出线段的最小值．【答案】（1）①G（3，4），E（，5）；②-15≤n≤-4；（2）【解析】（1）由折叠的性质可知，OG=OC=5，由勾股定理得，GN=，∴点G的坐标为（3，4）；设CE=x，则EM=3-x，由折叠的性质可知：EG=CE=x，∵GN=4，∴GM=5-4=1，在Rt△EMG中，，即，解得：x=，∴点E的坐标为（，5）；设OE所在直线的解析式为：y=kx，则k=5，解得，k=3，∴OE所在直线的解析式为：y=3x，∵直线l：y=mx+n平行于直线OE，∴m=3，即直线l的解析式为y=3x+n，当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n，解得，n=-4，当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n，解得，n=-15，∴直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4；（3）连接OB，OG，∵OC=BC=5，∠OCB=90°，∴BC=OC=，∵点C关于直线OE的对称点为点G，∴OC=OG=5，∴BG≥OB-OG，∴当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，∴BG的最小值为．【变式训练2】在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为．(1)如图①，若，求的长；(2)如图②，若，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，边上有一点，旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)解：∵绕点A旋转得到，，∴，∴，∴．∵，，∴，，∴，∴；(2)解：过点作轴于点．∵，∴，∴， ∴，∴，，∴；(3)解：由旋转知，，∴，如下图，作A关于y轴的对称点C，连接交y轴于P，∴，此时，的值最小．∵点C与点A关于y轴对称，∴．∵，∴直线的解析式为，令，，∴．