专题05运算思维之有理数规律性问题探究重难点专练- 2022-2023学年七年级数学上册专题训练（浙教版）

专题05运算思维之有理数规律性问题探究重难点专练（原卷版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．我国古代典籍《庄子·天下篇》中曾说过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为(　　)

A．尺 B．1－尺 C．尺 D．1－尺

2．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

3．定义一种关于整数的“”运算：

（1）当是奇数时，结果为；

（2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．

例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是；若，则第2017次运算结果是（    ）

A．1 B．2 C．7 D．8

4．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（    ）

A．1324 B．566 C．214 D．10

5．为了求的值．可令，则，因此，即．仿照以上推理计算的值是（    ）

A． B． C． D．

6．为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（    ）

A． B． C． D．

7．当代数式的值取到最小时，代数式……（    ）

A．0 B． C．0或 D．以上答案都不对

8．已知又一个有序数组，按下列方式重新写成数组，使得，，，，接着按同样的方式重新写成数组，使得，，，，按照这个规律继续写下去，若有一个数组满足，则n的值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

9．    一根1m长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的绳子的长度是（　　）

A．m B．m C．m D．m

10．如图，在数轴上，点表示，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达，第三次将点向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，给出以下结论：①表示5；②；③若点到原点的距离为15，则； ④当为奇数时，；以上结论正确的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④

11．有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以，再加3”的运算.现在输入一个，通过第1次运算的结果为，再把输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果（    ）

A．越来越接近4 B．越来越接近于－2

C．越来越接近2 D．不会越来越接近于一个固定的数

12．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64…，则22018的末位数是(   )

A．2 B．4 C．6 D．8

二、填空题

13．为了求的值，令，则，因此，所以，即，仿照以下推理计算的值是____________．

14．阅读理解：根据乘方的意义，可得：22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：

（1）a3•a4＝（a•a•a）•（a•a•a•a）＝__；

（2）归纳、概括：am•an＝__；

（3）如果xm＝4，xn＝9，运用以上的结论，计算：xm+n＝__．

15．已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，则22020的个位数字是______．

16．为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是___________

17．你吃过拉面吗？如图把一个面团拉开，然后对折，再拉开再对折，……，如此往复下去折5次，会拉出__________根面条。

18．某校利用二维码进行学生学号统一编排．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么利用公式a×23-b×22-c×21+d计算出每一行的数据．第一行表示年级，第二行表示班级，如图1所示，第一行数字从左往右依次是1，0，0，1，则表示的数据为1×23+0×22+0×21+1=9，计作09，第二行数字从左往右依次是1，0，1，0，则表示的数据为1×23+0×22+1×21=10，计作10，以此类推，图1代表的统一学号为091034，表示9年级10班34号．小明所对应的二维码如图2所示，则他的编号是_______.

19．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，则（其中为正整数）的结果是______．

20．若a，b互为相反数，x，y互为倒数，c的绝对值等于2，则（）2020﹣（﹣x•y）2020+c2＝__．

21．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止，那么2018、2019、2020、2021这四个数中______可能是剪出的纸片数．

22．设有三个互不相等的有理数，既可表示为-1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，则的值为____．

三、解答题

23．观察下列等式：2=2，22=4，2=8，2=16，2=32，2=64，2=128，…，通过观察，用你所发现的规律确定2的个位数字．

24．已知，求的值．

25．为了求 旳值，可令M=，则，因此 ，所以 ，即，仿照以上推理计算：

26．为了求的值，可这样解答：

令，则．

因此，所以，即．

仿照以上推理，计算________．

27．观察下列各等式:

1 = 12

1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 42

（1）通过观察，你能推测出反映这种规律的一般结论吗?

（2）你能运用上述规律求的值吗?

28．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．

；

求代数式的最小值，．

可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：________．

（2）当x为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．

（3）已知是三边的长，且满足，求三边的长．

29．这是一个很著名的故事阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒……按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．

（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示）

（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程．）

（3）你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗？为解决这个问题，我们先来看下面的解题过程：用分数表示无限循环小数：．解：设①．等式两边同时乘以10，得②．将②-①得：，则，∴．

请参照以上解法或用其它方法求出国王输给阿基米德的米粒数（用幂的形式表示）

30．观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律，如图1所示：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…….

（1）写出第6个图中看不见的小立方体有______个；

（2）猜想并写出第n个图形中看不见的小立方体的个数为______个.

31．数学中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的运算，记为，如，

则，则．

①根据定义，填空：_________，__________．

②若有如下运算性质：．

根据运算性质填空，填空：若，则__________；___________；

③下表中与数x对应的有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正．

错误的式子是__________，_____________；分别改为__________，_____________．

32．（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作5③，读作“5的圈3次方”， 记作（－8）④，读作“的圈4次方”一般的把记作aⓝ，读作“的圈次方”．

（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________；

[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：

（2）（）ⓝ_________；（）ⓝ=____________．（且为正整数）；

[实践应用]

（3）计算

①（－）④×（－4）⑤－（）④÷

②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）ⓝ（其中）

33．我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下： 

（1）二进制中的数等于十进制的数多少？

（2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？

34．观察下列关于自然数的等式：

①

②

③

④

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第五个等式：32×         +1=         ；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.