2012-2021山东春季高考数学试题分类汇编 专题六 三角

专题六 三角

考点一 三角函数的概念

一、选择题

1.（2012年春季高考数学第6题）已知角的终边经过点P(-1,3)，则sin的值是               （    ）

A.                B.                   C.              D.

答案：D

解析：x=-1，y=3，r=√（（-1）2+32）=√10，sin=y/r=

2．（2014年春季高考数学第2题）已知角α终边上一点P（3k,－4k）.其中k≠0，则tanα等于    （    ）

A.－               B.－                 C.－                 D.－

答案：A

解析：因为角α终边上一点P（3k,－4k），所以x=3k，y=－4k，r=√[（3k）2+（－4k）2]=5k，所以tanα=y/x=－

3．（2014年春季高考数学第5题）若点P（sinα，tanα）在第三象限内，则角α是             （    ）

A. 第一象限角  　　　 B. 第二象限角         C. 第三象限角    　　　D.第四象限角

答案：D

解析：若点P（sinα，tanα）在第三象限内，则sinα＜0，tanα＜0，所以角α是第四象限角

4.（2015年春季高考数学第7题）终边在y轴的正半轴上的角的集合是                          （    ）

A.                 B. 

C.                D.

答案：A

解析：终边在y轴正半轴上的角的集合是

5.（2016年春季高考数学第12题）若角的终边过点，则角的终边与圆的交点坐标是                                                                                  （    ）

A.           B.          C.          D.

答案：A
解析：因为，所以长度为，设交点为，又因为圆的半径为，因此有，，又因为终边在第二象限，所以选A.

6.（2018年春季高考数学第13题）若坐标原点（0,0）到直线               的距离等于    ，则角的取值集合是                                                                            （    ）

A.                                    B.

3.                                    D.

答案：A

解析：因为坐标原点（0，0）到直线x-y+sin2=0的距离为|sin2|/√2=√2/2，所以sin2=±1，所以2=π/2+2kπ（k ∈Z），或2=-π/2+2kπ（k ∈Z），即=π/4 +kπ（k ∈Z），或=-π/4+kπ（k ∈Z）

7.（2020年春季高考数学第6题）已知直线的图像如图所示，则角是        （    ）

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

答案：D

解析：结合图像易知，sinα＜0，cosα＞0，则角α是第四象限角

8.（2021年春季高考数学第7题） 终边在轴的正半轴上的角的集合是                          （    ）

A.  B.

C.  D.

答案：A

解析：终边在轴的正半轴上的角的集合是

二、填空题

1.（2019年春季高考数学第21题） 弧度制与角度制的换算：=             .

答案：36°

解析：= 36°

2.（2020年春季高考数学第21题）已知，若，则______.

答案：

解析：因为sin α=0.8，α∈[-π/2，π/2]，所以α=arcsin4/5=53°=（53π/180）rad，故答案为∶53π/180

考点二 同角三角函数的基本关系

一、选择题

1.（2013年春季高考数学第15题） 已知，则等于                        （    ）

A.                 B.                       C.                   D.

答案：D

解析：因为，所以，联立+=1，解得=

二、填空题

1.（2016年春季高考数学第21题）已知，则的值是        .

答案：

解析：分式上下同除以得，把代入得原式=2.

2.（2012年春季高考数学第27题）已知cos=,且是第二象限角，则tan等于             

答案：-3/4或-0.75

解析：  cos=     ,解得sin=3/5或-3/5，又因为是第二象限角，所以sin＞0，所以sin=3/5，

        sin+cos=1

则tan=sin/ cos=-3/4

3.（2018年春季高考数学第22题）已知  , 若，则等于            .

答案：-1/4

解析：因为sin2+cos²=1，所以sin²0=1-3/4=1/4，因为∈（-π/2,0），所以sin=-1/2

考点三 三角函数的图像和特征

一、选择题

1.（2012年春季高考数学第19题）函数f(x)=sinx+cos(-x)的单调递增区间是             (     ) 

A.   

B.   

 C.    

D.

答案：B

解析：f(x)=sin x+cos(-x)=sin x+(coscos x-sinsin x)=sin x-cos x=2[（1/2）sin x-（/2）cos x]=2[sin xcos60°-sin60°cos x]=2sin（x-60°），所以单调递增区间是2kπ-π/2≤x-60°≤2kπ+π/2，k∈Z，即

2.（2014年春季高考数学第10题）下列周期函数中，最小正周期为2π的是                      （    ）

A.ｙ＝ｓｉｎ           　　           　B. ｙ＝ｃｏｓｘ        

C.ｙ＝ｃｏｓ２ｘ         　　         　　 D.ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ

答案：B

解析：A中，T=2π/w=2π/（1/2）=4π；B中，T=2π/w=2π/1=2π；C中，ｙ＝ｃｏｓ２ｘ=1-cos2x，=T=2π/w=2π/2=π； D中，ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ=sin2x/2,T=2π/w=2π/2=π

考点四 正弦型函数

一、选择题

1.（2012年春季高考数学第25题）已知函数f(x)= 3sin(x+)(x∈R , ＞0）的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若将f(x)的图象向左平移|a|个单位后，所得到的图象关于坐标原点对称，则实数a 的值可以是                                                              （    ）

A.                  B.                 C.                D.

答案：D

解析：因为函数f(x)= 3sin(x+)(x∈R , ＞0）的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，所以T/2=2π/2=π/2，所以=2，所以f(x)= 3sin(2x+)，将f(x)的图象向左平移|a|个单位后，所得到的图象为f(x)= 3sin(2x+2a+)，f(x)= 3sin(2x+2a+)关于坐标原点对称，所以a 的值2a+ =2kπ，所以实数a的值可以是π/6

2.（2013年春季高考数学第7题）若函数的最小正周期为，则的值为          （    ）

 A. 1               B. 2                     C.                   D. 4

答案：B

解析：T=2π/w=π，所以w=2

3.（2016年春季高考数学第16题）函数在一个周期内的图像可能是            （    ）

答案：A

解析：B选项中当，C选项中当时，，D选项中，当.

4.（2017年春季高考数学第8题）函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是                           （　　）

A．﹣3              B．﹣2              C．5              D．6

答案：B

解析：∵函数y=cos2x﹣4cosx+1=（cox﹣2）2﹣3，且cosx∈[﹣1，1]，故当cosx=1时，函数y取得最小值为﹣2.

5.（2018年春季高考数学第20题）若由函数y= sin(2x+）的图像变换得到y=sin( )的图像，则可以通过以下两个步骤完成:第一步，把y= sin(2x+)图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变;第二步，可以把所得图像沿x轴                                                       （    ）         

A.向右平移个单位                          B.向右平移个单位

C.向左平移个单位                          D.向左平移个单位

答案：A

解析：因为（π/3-π/2）/（1/2）=π/3，所以所得图像沿X轴向右平移π/3个单位，选 A

二、解答题

1.（2014年春季高考数学第28题）设向量＝（ｃｏｓｘ，－ｓｉｎｘ），＝（２ｓｉｎｘ，２ｓｉｎｘ），且函数ｆ（ｘ）＝ ＋ｍ的最大值是 ．

（1）求实数m的值；

（2）若x∈（０，π/２），且f(x)＝1，求x的值.

答案：（1）1        （2）π/4

解析：（1）a·b=2sinxcosx-2sin²x=sin2x-2sin²x =sin2x+cos2x-1=√2sin（2x+π/4）-1，则f（x）=√2sin（2x+π/4）-1+m，由f（x）的最大值为√2，所以m=1

（2）f（x）=√2sin（2x+π/4），由f（x）=1，得sin（2x+π/4）=√2/2，所以2x+π/4=π/2+2kπ或2x+π/4=3π/4+2kπ，（k∈Z），又因为x∈（0，π/2），解得x=π/4

2.（2015年春季高考数学第27题）已知函数，.函数的部分图象如图所示.求：

（1）函数的最小正周期T及的值；

（2）函数的单调递增区间.

15SD7  第27题图

答案：（1）函数的最小正周期,因为函数的图象过点（0,1），所以，

即，又因为，所以.

（2）因为函数的单调递增区间是.

所以-π/2+2kπ＜2x+π/6＜π/2+2kπ，解得-π/3+k π＜x＜π/6+k π，

所以函数的单调递增区间是

3.（2017年春季高考数学第29题）已知函数．

（1）求该函数的最小正周期；

（2）求该函数的单调递减区间；

（3）用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．

答案：（1）∵=3sin（2x﹣），∴函数的最小正周期T==π．

（2）∵令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，

∴函数的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z，

（3）列表：

描点、连线如图所示：

4.（2019年春季高考数学第27题）已知函数f(x) =Asin(ωx+ψ)，其中A>O，|ψ|< ,此函数的部分图像如图所示，求：

(1)函数f(x)的解析式；

(2)当f(x)≥1时，求实数x的取值范围．

答案：（1）f（x）=2sin（2x--π/3）     （2）π/4+k π≤x≤7π/12+k π，k∈Z

解析：（1）由图象可知，函数f（x）的最大值是2，最小值是-2，A>0，所以A=2，因为5π/12-π/6=π/4，π/4是最小正周期的1/4，所以函数 f（z）的最小正周期 T=π/4×4=π，故2π/w=π，解得w=2.可得函数f（x）=2sin（2x+φ），又因为函数 f（x）图像经过点（π/6，0），所以2sin（2×π/6+φ)=0.因此π/3+φ=2kπ，k∈Z，又因为|φ|<π/2，所以φ=-π/3，所以函数的解析式为f（x）=2sin（2x--π/3）

（2）因为 f（x）≥1，所以 2sin（2x-5）≥1，即 sin（2x--π/3）≥1/2，所以π/6+2kπ≤2x-π/3≤5π/6+2kπk∈Z，即π/4+k π≤x≤7π/12+k π，k∈Z

5.（2020年春季高考数学第28题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：

根据表中数据，求：

（1）实数，，的值；

（2）该函数在区间上的最大值和最小值.

答案：（1）A=3，w=2，φ=π/3；（2）最大值是3，最小值是-3/2.

解析：（1）由表可知A=3，T=5π/6-（-π/6），所以T=2π/w=π，解得w=2，所以３sin（２x＋φ），因为函数过点（π/12，3），则３＝３sin（２×（π/12）＋φ），即sin（π/6＋φ）=1，,所以π/6＋φ＝２ｋπ＋π/2，ｋ∈Z，因为|φ|＜π/2，所以φ=π/3

（2）由（1）知y＝３sin（２x＋φ），因为3π/4≤x≤5π/4，所以11π/6≤２x＋π/3≤17π/6，因此，当２ｘ＋π/3＝11π/6时，即x=3π/4时，y=3/2；当２ｘ＋π/3＝17π/6时，即x=5π/4时，y=3/2；当２ｘ＋π/3＝5π/2时，即x=13π/12时，y=3/2；所以该函数在区间上最大值是3，最小值是-3/2

　6.（2021年春季高考数学第27题）已知函数，，，函数的部份图象如下图，求

（1）函数的最小正周期及的值：

（2）函数的单调递增区间．

答案：（1）最小正周期；；（2），．

解析：（1）函数的最小正周期T=2π/2=π，

因为函数的图象过点（0，1），所以2sinΦ=1，即sinΦ=1/2，

又因为0<Φ<π/2，所以Φ=π/6

（2）因为函数y=sinx的单调递增区间是[-π/2+2kx，π/2+2kx]，k∈Z.

所以-π/2+2kπ≤2x+π/6≤π/2+2kπ，

所以-π/3+kπ≤x≤π/6+kπ，

所以函数的单调递增区间是[-π/3+kπ，π/6+kπ]，k∈Z.

考点五 三角计算

一、选择题

1.（2013年春季高考数学第22题）在中已知，，，则的面积是   （    ）

 A.                B.                  C. 2               D. 3

答案：D

解析：cos C=（a2+b2-c2）/2ab=（32+42-（√37）2）/2×3×4=-1/2，所以sin C=√3/2，则的面积为ab sin C/2=3×4×（√3/2）/2=3  

2.（2017年春季高考数学第15题）已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是  （　　）

A．              B．              C．          D．

答案：B

解析：若角α的终边落在直线y=﹣3x上，

（1）当角α的终边在第二象限时，不妨取x=﹣1，则y=3，r==，所以cosα=，可得cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=；

（2）当角α的终边在第四象限时，不妨取x=1，则y=﹣3，r==，所以sinα=，cosα=，可得cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=.　

3.（2019年春季高考数学第13题）已知sin α=1/3 ，则cos2α的值是                          （   ）

A.                  B.                 C.                  D. 

答案：C

解析：cos2α=1-2sin2 α=7/9

4.（2019年春季高考数学第20题）已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=6，sinA=2cosBsinC，向量m = ,向量n=(－cosA，sinB)，且m∥n，则ABC的面积是                       （   ）

1. 18              B. 9              C. 3                D.

答案：C

解析：因为m∥n，所以asinB=-bcosA，有正弦定理得sinAsinB=-sinBcosA，由sinB不等于0得tanA=-，又因为A∈（0，π），所以A=2π/3，所以B+C=π/3，所以B=π/3-C，由sinA=2cosBsinC，所以a=2ccosB①，/2=2cosBsinC②，所以由②得cosBsinC=/4，即cos（π/3-C）sinC=/4，所以（cosπ/3×cosC+sinπ/3sinC）sinC=/4，即2cos（2C-π/3）=0，因为0＜C＜π/3，所以2C-π/3=0，所以C=π/6，所以B=π/3-C=π/6，所以b=c，由①a=2ccosB=c，所以b=c=2，所以ABC的面积是bcsinA/2=（2）×（2）×（/2）×（1/2）= 3

5.（2020年春季高考数学第20题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于               （    ）

A. 3 B.  C. 3或 D. -3或

答案：A

解析：因为cosC=（a2+b2-c2）/2ab=sin C/2⟹  tan C=2，所以C≥π/4，因为a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R，所以sin A sin B cos C+sin C sin B cos A=√2sin B/2，所以sin（A+C）=√2/2，所以B=π/4，所以tanB=1，所以tan A=-tan(B+C)=（tan B+tan C）/（1-tan B·tan C）=3， 故选A.

二、填空题

1.（2014年春季高考数学第23题）三角形ABC中，∠B＝，a＝４ ,b＝１２,则三角形ABC的面积是______________.

答案：12√3

解析：cos∠B＝（a2+c2-b2）/2ac，解得c=√3/2，b/sinB=c/sinC，解得sinC=1/2，则三角形ABC的面积=absinC/2=12√3

2.（2015年春季高考数学第22题）在△ABC中，,,,则BC=         .

答案：

解析：由正弦定理可知，,

3.（2017年春季高考数学第22题）在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，则cosA=　    　．

答案：

解析：∵∠B=2∠A，

∴sin∠B=2sin∠Acos∠A，

又∵a=2，b=3，

∴由正弦定理可得：，

∵sin∠A≠0，

∴cos∠A=．　

4.（2021年春季高考数学第22题）在△中，，，，等于______．

答案：

解析：由正弦定理得BC/sinA=AB/sinC，解得BC=

三、解答题

1.（2012年春季高考数学第34题）如图所示，甲、乙两船同时从港口O处出发，甲船以25 海里/小时的速度向东行驶，乙船以15 海里/小时的速度沿着北偏西30°的方向行驶，2小时后，甲船到达A处，乙船到达B处。

（1）甲、乙两船间的距离AB 是多少海里？

（2）此时乙船位于甲船北偏西多少度的方向上？

答案：（1）由题意得，OA=25×2=50（海里），OB=15×2=30（海里），∠AOB=90°+30°=120°，

由余弦定理得AB²=OA²+OB²-2OA×OBcos120°=50²+30²-2×50×30×cos120= 4900，

解得AB=70（海里），即甲、乙两船的距离AB是70海里。

（2）由正弦定理可知∶OB/sin∠OAB=AB/sin∠AOB，

所以sin∠OAB=（OB sin∠AOB）/AB==OBsin120°/70=3√3/14，

因为在三角形AOB中，∠AOB=120°，所以∠AOB是锐角，

所以∠AOB≈21.79°，90°-21.79°=68.21°，即乙船位于甲船北偏西68.21的方向上。

2.（2013年春季高考数学第32题）已知点（4,3）是角终边上一点，如图所示。求的值。

答案： 由（4,3）是角终边上一点，知，得，

       所以，，所以， ，

所以  

3.（2016年春季高考数学第29题）如图所示，要测量河两岸P，Q两点之间的距离，在与点P同侧的岸边选取了A,B两点（A,B,P,Q四点在同一平面内），并测得AP=20m，BP=10m，，，.试求P，Q两点之间的距离.

SH17

           第29题图

答案： 连接AB，又，AP=20m，BP=10m，则，则

，又，，

，在中，由正弦定理得，

，即，

在中，由余弦定理得，

，

，

P，Q两点之间的距离为米.

4.（2018年春季高考数学第29题）如图所示，在△ABC中，BC=7,2AB=3AC,点P在BC上，且∠BAP=∠PAC=30°.求线段AP的长.

答案：6√21/5

解析：由余弦定理可知cos∠BAC=cos60°=（9t2+4-49）/（2×3t×2t）=1/2，所以t=√7，AB=3√7，AC=2√7，由余弦定理可知 cosB =（63+49-28）/（2×7×3√7）=2√7/7，sinB =√21/7，Sin[π-（∠B+∠BAP）]=sin（B+30°）=sin∠APB，sin∠APB=sinB·cos30+cosB·sin30=√21/7· √3/2+2√7/7·1/2=5√7/14，由正弦定理可知AP/sinB= AB/ sin∠APB ，所以AP/（√21/7）=（3√7）/（5√7/14），因此AP=6√21/5