吉林省通化市重点名校2022年中考数学猜题卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3

2．下列计算正确的是(　　)

A．a2•a3＝a6 B．(a2)3＝a6 C．a2+a2＝a3 D．a6÷a2＝a3

3．苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（　　）

A．（a+b）元 B．（3a+2b）元 C．（2a+3b）元 D．5（a+b）元

4．下列各数中负数是（　　）

A．﹣（﹣2）    B．﹣|﹣2|    C．（﹣2）2    D．﹣（﹣2）3

5．半径为的正六边形的边心距和面积分别是(　　)

A．， B．，

C．， D．，

6．观察下列图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

7．如图，在6×4的正方形网格中，△ABC的顶点均为格点，则sin∠ACB=（　　）

A． B．2 C． D．

8．正比例函数y=（k+1）x，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（　　）

A．k＞1 B．k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1

9．已知点为某封闭图形边界上一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点运动的时间为，线段的长为．表示与的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是(      )

A． B． C． D．

10．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（　　）

A．= B．=

C．= D．=

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．已知|x|=3，y2=16，xy＜0，则x﹣y=_____．

12．如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是_____．

13．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是_____．

14．因式分解：3a3﹣3a=_____．

15．如图，四边形ABCD是菱形，☉O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE，若∠D=78°，则∠EAC=________°.

16．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．求证：CD是⊙O的切线；若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．

18．（8分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：

（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；

（2）求出图中a的值；

（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．

19．（8分）某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．

请根据图表信息回答下列问题：

（1）本次调查的样本为　   　，样本容量为　   　；在频数分布表中，a＝　   　，b＝　   　，并将频数分布直方图补充完整；若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？

20．（8分）某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题，把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调查.在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解，使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如下图所示：

本次调查人数共       人，使用过共享单车的有       人；请将条形统计图补充完整；如果这个小区大约有3000名居民，请估算出每天的骑行路程在2～4千米的有多少人？

21．（8分）某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐，餐品为四样A：菜包、B：面包、C：鸡蛋、D：油条．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个．按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是　   　事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率．

22．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠1．

（1）若CE=1，求BC的长；

（1）求证：AM=DF+ME．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4）；点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值；

（3）在y轴上是否存在点F，使∠PDF与∠ADO互余？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点处测得正前方小岛的俯角为，面向小岛方向继续飞行到达处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为．如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】
作出反比例函数的图象（如图），即可作出判断：

∵－3＜1，

∴反比例函数的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，且当x＜1时，y＞1；当x＞1时，y＜1．

∴当x1＜x2＜1＜x3时，y3＜y1＜y2．故选A．

2、B

【解析】

试题解析：A.故错误.

B.正确.

C.不是同类项，不能合并，故错误.

D.

故选B.

点睛：同底数幂相乘，底数不变,指数相加.

同底数幂相除，底数不变,指数相减.

3、C

【解析】
用单价乘数量得出买2千克苹果和3千克香蕉的总价，再进一步相加即可．

【详解】

买单价为a元的苹果2千克用去2a元，买单价为b元的香蕉3千克用去3b元，

共用去：(2a+3b)元.

故选C.

【点睛】

本题主要考查列代数式，总价=单价乘数量.

4、B

【解析】
首先利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简，进一步利用负数的意义判定即可．

【详解】

A、-（-2）=2，是正数；

B、-|-2|=-2，是负数；

C、（-2）2=4，是正数；

D、-（-2）3=8，是正数．

故选B．

【点睛】

此题考查负数的意义，利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简是解决问题的关键．

5、A

【解析】
首先根据题意画出图形，易得△OBC是等边三角形，继而可得正六边形的边长为R，然后利用解直角三角形求得边心距，又由S正六边形=求得正六边形的面积．

【详解】

解：如图，O为正六边形外接圆的圆心，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，

∵六边形ABCDEF是正六边形，半径为，

∴∠BOC=，

∵OB=OC=R，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC=OB=OC=R，

∵OH⊥BC，

∴在中，，

即，

∴，即边心距为；

∵，

∴S正六边形=，

故选：A．

【点睛】

本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60°，得到等边三角形是正确解答本题的关键．

6、C

【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误．

故选C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

7、C

【解析】
如图，由图可知BD=2、CD=1、BC=，根据sin∠BCA=可得答案．

【详解】

解：如图所示，

∵BD=2、CD=1，

∴BC===，

则sin∠BCA===，

故选C．

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正弦函数的定义和勾股定理．

8、D

【解析】
根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+1＜0，然后解不等式即可．

【详解】

解：∵正比例函数 y=（k+1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，

∴k+1＜0，

解得，k＜-1；

故选D．

【点睛】

本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．

9、A

【解析】
解：分析题中所给函数图像，

段，随的增大而增大，长度与点的运动时间成正比．

段，逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除、选项，

段，逐渐减小直至为，排除选项．

故选．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．

10、A

【解析】

分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．

详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：=．

故选A．

点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、±3

【解析】分析：本题是绝对值、平方根和有理数减法的综合试题，同时本题还渗透了分类讨论的数学思想．

详解：因为|x|=1，所以x=±1．

因为y2=16，所以y=±2．

又因为xy＜0，所以x、y异号，

当x=1时，y=-2，所以x-y=3；

当x=-1时，y=2，所以x-y=-3．

故答案为：±3.

点睛：本题是一道综合试题，本题中有分类的数学思想，求解时要注意分类讨论．

12、

【解析】
∵在矩形ABCD中，AB=，∠DAC=60°，

∴DC=，AD=1．

由旋转的性质可知：D′C′=，AD′=1，

∴tan∠D′AC′==，

∴∠D′AC′=60°．

∴∠BAB′=30°，

∴S△AB′C′=×1×=，

S扇形BAB′==．

S阴影=S△AB′C′-S扇形BAB′=-．

故答案为-．

【点睛】

错因分析  中档题.失分原因有2点：（1）不能准确地将阴影部分面积转化为易求特殊图形的面积；（2）不能根据矩形的边求出α的值.

13、AC⊥BD

【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．

【详解】

∵四边形EFGH是矩形，

∴∠FEH=90°，

又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，

∴EF是三角形ABD的中位线，

∴EF∥BD，

∴∠FEH=∠OMH=90°，

又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，

∴EH是三角形ACD的中位线，

∴EH∥AC，

∴∠OMH=∠COB=90°，

即AC⊥BD．

故答案为：AC⊥BD．

【点睛】

此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．根据题意画出图形并熟练掌握矩形性质及三角形中位线定理是解题关键.

14、3a（a+1）（a﹣1）．

【解析】
首先提取公因式3a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．

【详解】

解：原式=3a（a2﹣1）

=3a（a+1）（a﹣1）．

故答案为3a（a+1）（a﹣1）．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

15、1．

【解析】
解:∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，

∴∠ACB=（180°-∠D）=51°，

又∵四边形AECD是圆内接四边形，

∴∠AEB=∠D=78°，

∴∠EAC=∠AEB-∠ACB=1°.

故答案为:1°

16、或

【解析】

分析：依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．

详解：分两种情况：

①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，

∴∠C=30°，AB=AC=+2，

由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，

∴∠BDN=30°，

∴BN=DN=AN，

∴BN=AB=，

∴AN=2BN=，

∵∠DNB=60°，

∴∠ANM=∠DNM=60°，

∴∠AMN=60°，

∴AN=MN=；

②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，

由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，

∴∠BDN=60°，∠BND=30°，

∴BD=DN=AN，BN=BD，

又∵AB=+2，

∴AN=2，BN=，

过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，

∴AH=AN=1，HN=，

由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，

∴△MNH是等腰直角三角形，

∴HM=HN=，

∴MN=，

故答案为：或．

点睛：本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为

【解析】

【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积.

【详解】（1）如图，连接OC，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA，

∵∠BCD=∠BAC，

∴∠BCD=∠OCA，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°

∴∠OCD=90°

∵OC是半径，

∴CD是⊙O的切线

（2）设⊙O的半径为r，

∴AB=2r，

∵∠D=30°，∠OCD=90°，

∴OD=2r，∠COB=60°

∴r+2=2r，

∴r=2，∠AOC=120°

∴BC=2，

∴由勾股定理可知：AC=2，

易求S△AOC=×2×1=

S扇形OAC=，

∴阴影部分面积为.

【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

18、（1）当0≤x≤8时，y=10x+20；当8＜x≤a时，y=；（2）40；（3）要在7：50～8：10时间段内接水．

【解析】
（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x＋b，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y＝k1x＋b，即可求得k1、b的值，从而得一次函数的解析式；当8＜x≤a时，设y＝，将(8，100)的坐标代入y＝，求得k2的值，即可得反比例函数的解析式；（2）把y＝20代入反比例函数的解析式，即可求得a值；（3）把y＝40代入反比例函数的解析式，求得对应x的值，根据想喝到不低于40 ℃的开水，结合函数图象求得x的取值范围，从而求得李老师接水的时间范围．

【详解】

解： (1)当0≤x≤8时，设y＝k1x＋b，

将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y＝k1x＋b，可求得k1＝10，b＝20

∴当0≤x≤8时，y＝10x＋20.

当8＜x≤a时，设y＝，

将(8，100)的坐标代入y＝，

得k2＝800

∴当8<x≤a时，y＝.

综上，当0≤x≤8时，y＝10x＋20；

当8＜x≤a时，y＝

(2)将y＝20代入y＝，

解得x＝40，即a＝40.

(3)当y＝40时，x＝＝20

∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x需满足8≤x≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．

【点睛】

本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，是一个分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．

19、200名初中毕业生的视力情况    200    60    0.05   

【解析】
（1）根据视力在4.0≤x＜4.3范围内的频数除以频率即可求得样本容量；

（2）根据样本容量，根据其对应的已知频率或频数即可求得a，b的值；

（3）求出样本中视力正常所占百分比乘以5000即可得解.

【详解】

（1）根据题意得：20÷0.1=200，即本次调查的样本容量为200，

故答案为200；

（2）a=200×0.3=60，b=10÷200=0.05，

补全频数分布图，如图所示，

故答案为60，0.05；

（3）根据题意得：5000×=3500（人），

则全区初中毕业生中视力正常的学生有估计有3500人．

20、（1）200，90     （2）图形见解析（3）750人

【解析】

试题分析：（1）用对于共享单车不了解的人数20除以对于共享单车不了解的人数所占得百分比即可得本次调查人数；用总人数乘以使用过共享单车人数所占的百分比即可得使用过共享单车的人数；（2）用使用过共享单车的总人数减去0～2,4～6,6～8的人数，即可得2～4的人数，再图上画出即可；（3）用3000乘以骑行路程在2～4千米的人数所占的百分比即可得每天的骑行路程在2～4千米的人数.

试题解析：

（1）20÷10%=200，

200×（1-45%-10%）=90 ；   

（2）90-25-10-5=50，

补全条形统计图   

（3）=750(人)

答: 每天的骑行路程在2～4千米的大约750人

21、（1）不可能；（2）.

【解析】
（1）利用确定事件和随机事件的定义进行判断；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数，然后根据概率公式计算．

【详解】

（1）某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件；

故答案为不可能；

（2）画树状图：

共有12种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2，

所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率=．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

22、 (1)1;(1)见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠1，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；
（1）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠1，
∴∠ACD=∠1，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=1CE，
∵CE=1，
∴CD=1，
∴BC=CD=1；
（1）AM=DF+ME

证明：如图，

∵F为边BC的中点，
∴BF=CF=BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠1，
∵∠1=∠1，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵

∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．

23、 (1) y＝﹣x2﹣3x+4；(2)当时，S有最大值；（3）点P的横坐标为﹣2或1或或.

【解析】
（1）将代入，列方程组求出b、c的值即可；

（2）连接PD，作轴交于点G，求出直线的解析式为，设

，则，

，，

当时，S有最大值；

（3）过点P作轴，设，则，

，

根据，列出关于x的方程，解之即可．

【详解】

解：（1）将、代入，

，

∴二次函数的表达式；

（2）连接，作轴交于点，如图所示．

在中，

令y＝0，得，

∴直线AD的解析式为．

设，则，

，

∴．

，

∴当时，S有最大值．

（3）过点P作轴，设，则，，

，

即

，

当点P在y轴右侧时，，

，或，

（舍去）或（舍去），

当点P在y轴左侧时，x＜0，

，或，

（舍去），或（舍去），

综上所述，存在点F，使与互余点P的横坐标为或或或．

【点睛】

本题是二次函数，熟练掌握相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及二次函数图象的性质等是解题的关键．

24、

【解析】
过点C作CD⊥AB，由∠CBD＝45°知BD＝CD＝x，由∠ACD＝30°知AD＝＝x，根据AD+BD＝AB列方程求解可得．

【详解】

解：过点C作CD⊥AB于点D，

设CD＝x，

∵∠CBD＝45°，

∴BD＝CD＝x，

在Rt△ACD中，

∵，

∴AD＝＝＝＝x，

由AD+BD＝AB可得x+x＝10，

解得：x＝5﹣5，

答：飞机飞行的高度为（5﹣5）km．