数学22.1.1 二次函数精品课后测评

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专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读2）
【直击考点】

【学习目标】
1.掌握二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
2.掌握二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值的方法

【知识点梳理】
考点1二次函数图象和性质
a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点

考点2 求y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．

注意：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．

【典例分析】
【考点1 a、b、c及b²-4ac对图像的影响】
【例1】抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④8a﹣2b＋c＞0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的有（　　）

A．②③④ B．①②③ C．②④⑤ D．②③
【变式1-1】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤b＜c.其中正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-2】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标为（-4，0），抛物线的对称轴为直线x=-1，有以下结论：①该抛物线的最大值为a-b+c；②a+b+c>0；③b2-4ac>0；④2a+b=0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．其中正确的是（　　）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④
【考点2 对称轴】
【例2】如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A （1，0）， B （4，0），下列说法正确的是（　　）

A．b2-4ac0
C．图象的对称轴是直线 x=2 D．图象的对称轴是直线 x=52


【变式2-1】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是 x=1 ，下列结论正确的是（　　）．

A．abc>0B．2a+b0；③b2-4ac>0；④2a+b=0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，开口向下，
∴当x=-1，y有最大值，最大值y=a-b+c，故①正确；
∵点A的坐标为（-4，0），对称轴为直线x=-1，
∴B（2，0），
∴当x=1时，y=a+b+c＞0，故②正确；
∵ 抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2-4ac>0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴-b2a=-1，
∴2a-b=0，故④错误，
∴正确的个数为3个.
故答案为：C
【变式1-3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．其中正确的是（　　）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：如图：

∵x＝-2时，y＜0，
∴4a－2b＋c＜0，所以①符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
∴-2＜x1+x2＜0
∴﹣1＜x1+x22＜0，
∵对称轴x=-b2a=x1+x22，
∴-1