人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数精品同步测试题

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专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读1）
【直击考点】

【学习目标】
1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
2. .通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
3. .经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【知识点梳理】
考点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系

1. 顶点式化成一般式
2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
3. 一般式化成顶点式

．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象




开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
【典例分析】
【考点1一般式y=ax²+bx+c（a≠0）化为y=a（x-h)²+k顶点式】
【例1】抛物线 y=x2-4x+5 的顶点坐标是（　　）
A．(2,1)B．(2,5)C．(-2,1) D．(-2,-5)
【变式1-1】将二次函数y=x2-4x+5用配方法化为y=(x-h)2+k的形式，结果为（　　）
A．y=(x-4)2+1 B．y=(x-4)2-1
C．y=(x-2)2-1 D．y=(x-2)2+1
【变式1-2】把y=2x2+8x+5配方成y=2(x- h)2 +k的形式后，h和k对应的值分别是（　　）
A．-2，-3 B．2，-3 C．2，3 D．-2，3
【变式1-3】抛物线y=x2-2x-4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N，则点N的坐标为（　　）
A．(1，-5) B．(1，5) C．(-1，5) D．(-1，-5)

【考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像的画法】
【例2】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．

（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　 　；
（2）抛物线与x轴交点坐标为 　 　；
（3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（4）当y＜0时，x的取值范围是　 　；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是　 　．
【变式2-1】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的顶点坐标．

【变式2-2】已知二次函数y=x2-2x-3.

（1）求函数图象的顶点坐标，与x轴和y轴的交点坐标，并画出函数的大致图象；
（2）根据图象直接回答：当x满足　 　时，y＜0；当-1＜x＜2时，y的范围是　 　.

【变式2-3】在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
−1
0
m
…

（1）求这个二次函数的解析式及m的值；
（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的图象（不用列表）；
（3）当y0B．当x>1时，y随x的增大而增大
C．cy3 C．y1>y3>y2D．y3>y2>y1
【变式4-3】已知二次函数 y=-12x2+bx+3 ，当 x>1 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（　　）
A．b≥-1 B．b≤-1 C．b≥1 D．b≤1
【考点4 待定系数法求二次函数解析式】
【例5】已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A(-1,0).求该抛物线的解析式和顶点坐标.



【变式5-1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(0,1),B(3,4)．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．







【变式5-2】二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，求此抛物线的解析式．







【变式5-3】若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，2），求此二次函数解析式．










专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读1）
【直击考点】

【学习目标】
4. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
5. .通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
6. .经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【知识点梳理】
考点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系

4. 顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
5. 一般式化成顶点式

．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象




开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
【典例分析】
【考点1一般式y=ax²+bx+c（a≠0）化为y=a（x-h)²+k顶点式】
【例1】抛物线 y=x2-4x+5 的顶点坐标是（　　）
A．(2,1)B．(2,5)C．(-2,1) D．(-2,-5)
【答案】A
【解答】解：∵y=x2-4x+5=(x-2)2+1
∴抛物线 y=x2-4x+5 的顶点坐标是 (2,1)
故答案为：A.
【变式1-1】将二次函数y=x2-4x+5用配方法化为y=(x-h)2+k的形式，结果为（　　）
A．y=(x-4)2+1 B．y=(x-4)2-1
C．y=(x-2)2-1 D．y=(x-2)2+1
【答案】D
【解答】解：y=x2-4x+4+1=(x-2)2+1，
故答案为：D．
【变式1-2】把y=2x2+8x+5配方成y=2(x- h)2 +k的形式后，h和k对应的值分别是（　　）
A．-2，-3 B．2，-3 C．2，3 D．-2，3
【答案】A
【解答】解： y=2x2+8x+5，
=2（x2+4x+52），
=2（x2+4x+4+52-4），
=2（x+2）2-3，
∴h=-2，k=-3.
故答案为：A.
【变式1-3】抛物线y=x2-2x-4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N，则点N的坐标为（　　）
A．(1，-5) B．(1，5) C．(-1，5) D．(-1，-5)
【答案】C
【解答】解：y=x2-2x-4=（x-1）2-5．
∴点M（1，-5）．
∴点N（-1，5）．
故答案为：C．
【考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像的画法】
【例2】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．

（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　 　；
（2）抛物线与x轴交点坐标为 　 　；
（3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（4）当y＜0时，x的取值范围是　 　；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是　 　．
【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1
（2）（1，0）或（3，0）
（3）如图所示
用上述五点描点连线得到函数图象如下：
（4）1