2022年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷（含解析）

2022年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 算术平方根为的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 电影长津湖讲述了参加抗美援朝战争的志愿军战士在长津湖战役中不畏严寒、保家卫国的故事，让无数影迷感动落泪．电影获得了巨大成功，并以元取得中国电影票房冠军．其中用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图是一个正五棱柱，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，为直径的圆与轴相切，与轴交于，两点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，菱形的对角线与相交于点，点在上，连接，，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位，与轴、轴分别交于点、，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形若反比例函数的图象经过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 定义一种运算：，则不等式的解集是(    )

A. 或 B.
C. 或 D. 或

12. 如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设，连结并将它绕点顺时针旋转得到线段，连结、，则在点从点向点的运动过程中，有下面四个结论：当时，；点到边的距离为；直线一定经过点；的最小值为其中结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 已知，则______．
14. 九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图所示的算筹图用方程组表示出来，就是______．

15. 在轴，轴上分别截取，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值是______ ．
16. 年诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点，我们从点出发构造无穷点列，构造规则为：若点在直线上，那么下一个点就在双曲线上，且；若点在双曲线上，那么下一个点就在直线上，且，根据规则，点的坐标为______；无限进行下去，无限接近的点的坐标为______．

三、解答题（本大题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    先化简，再求值：，其中、是一元二次方程的两个根其中．
18. 本小题分
    某年级共有名学生．为了解该年级学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取名学生进行测试，获得了他们的成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
    
    课程成绩的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，，：
    课程成绩在这一组的是：                       
    ，两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
写出表中的值；
在此次测试中，某学生的课程成绩为分，课程成绩为分，这名学生成绩排名更靠前的课程是______填““或““，理由是______，
假设该年级学生都参加此次测试，估计课程成绩超过分的人数．

19. 本小题分
    图是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为即的长度，枪身．
    求的度数；
    测温时规定枪身端点与额头距离范围为在图中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由结果保留小数点后一位
    参考数据：，，，
     

20. 本小题分
    如图，在中，为的直径，为的弦，点是的中点，过点作的垂线，交于点，交于点，分别连接，．
    与的数量关系是______；
    求证：；
    若，，求阴影部分图形的面积．

21. 本小题分
    已知抛物线的顶点为，且过点．
    求抛物线的解析式；
    将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得新抛物线．
    若新抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，且，求的值；
    若，是新抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围．
22. 本小题分
    知识迁移：当，且时，因为，所以，从而当时取等号记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为．
    直接应用：已知函数与函数，则当______时，取得最小值为______．
    变形应用：已知函数与，求的最小值，并指出取得该最小值时相应的的值．
    实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共元；二是燃油费，每千米为元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为设该汽车一次运输的路程为千米，求当为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
23. 本小题分
    课本再现
    在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图即可证明，其中与相等的角是______ ；
    
    类比迁移
    如图，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比中思路进行拼合：先作，再过点作于点，连接，发现，，之间的数量关系是______ ；
    方法运用
    如图，在四边形中，连接，，点是两边垂直平分线的交点，连接，．
    求证：；
    连接，如图，已知，，，求的长用含，的式子表示．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根为，
故选：．
利用算术平方根的定义即可求解．
本题考查算术平方根的定义，解题的关键是熟悉算术平方根的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的定义，能熟记中心对称图形的定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，为最简分式，不能约分，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的除法判断选项；根据分式的基本性质判断选项；根据负整数指数幂判断选项；根据完全平方公式判断选项．
本题考查了二次根式的乘除法，分式的基本性质，负整数指数幂，完全平方公式，掌握是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

六边形是正六边形，
，
，
，
，，
，
故选：．
由正六边形的内角和及三角形的内角和求得，根据平行线的性质得到．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积为，
故选：．
用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：设与轴相切于点，连接，过点作，垂足为，

，
与轴相切于点，
，
，
，，
，
在中，，
，
故选：．
设与轴相切于点，连接，过点作，垂足为，根据垂径定理可得，再利用切线的性质可得，然后根据点的坐标可得，，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，垂径定理，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
，，，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质可得，，，，可得，，即可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，作轴于点，如图所示．
将直线向上平移个单位可得出直线，
直线的表达式为，
点，点，
，
为等腰直角三角形，
，
．
轴，轴，
．
为等腰直角三角形，
，，
．
在和中，
，
≌，
，
．
反比例函数的图象经过点，
，
故选：．
过点作轴于点，作轴于点，根据等腰直角三角形的性质可证出≌，从而得出，根据直线的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点、的坐标，结合勾股定理可得出的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数的几何意义，即可求出值，此题得解．
本题考查了反比例函数系数的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出≌是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由新定义得或，
解得或
故选：．
分和两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．
此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，当点在线段上时，过点作于，

为中点，
，
将绕顺时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
点在直线上，
当点在点右边时，如图，

过点作，交的延长线于点，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
点在直线上，
综上所述：时，或，点到的距离为，点在直线上，故错误，正确，
点在上运动，
当时，有最小值，如图，

，，，
，，
的最小值为，故正确，
故选：．
分两种情况讨论，由“”可证≌，≌，可得，，，，可得时，或，点到的距离为，点在直线上，故错误，正确，由等腰直角三角形的性质可求的最小值为，故正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
，
，
，
则原式．
故答案为：．
原式利用单项式乘多项式法则，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
图所示的算筹图用方程组表示出来，就是，
故答案为：．
根据题意和图，可知第一个小棍数代表几个，第二个小棍数代表几个，最后的代表常数，然后即可根据图，写出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，
点在的角平分线上，
点到轴和轴的距离相等，
即，
又点的坐标为，，
点在第一、二象限，
，
故答案为或．
根据作图方法可知点在的角平分线上，由角平分线的性质可知点到轴和轴的距离相等，结合点在第一、二象限，即可求出的值．
本题考查了作图基本作图，角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：，
，
，
，
由得或，
无限接近的点的坐标为，
故答案为：；．
首先根据的横坐标求得的坐标，然后根据的纵坐标即可求得的坐标，无限进行下去，无限接近的点的坐标为直线与反比例函数在第一象限的交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，明确无限接近的点的坐标为直线与反比例函数在第一象限的交点坐标是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


，
解方程得得，，
、是一元二次方程的两个根其中，，
，，
原式． 

【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则通过约分得到原式，接着利用因式分解法解方程得到、，然后把、的值代入原式中计算即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了分式的化简求值．
 

18.【答案】课程总人数为，
中位数为第、个数据的平均数，而第、个数据均在这一组，
中位数在这一组，
这一组的是：                        ，
课程的中位数为，即；
，该学生的成绩小于课程的中位数，而大于课程的中位数；
估计课程成绩超过分的人数为人．
答：估计课程成绩超过分的人数为人。 

【解析】

解：见答案
该学生的成绩小于课程的中位数，而大于课程的中位数，
这名学生成绩排名更靠前的课程是，
故答案为：、该学生的成绩小于课程的中位数，而大于课程的中位数．
见答案
【分析】
先确定课程的中位数落在第小组，再由此分组具体数据得出第、个数据的平均数即可；
根据两个课程的中位数定义解答可得；
用总人数乘以样本中超过分的人数所占比例可得．
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．  

19.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，
，
在中，
，
，
，
，
；
．
，，
，
，
，
，
，
，
此时枪身端点与小红额头的距离是在规定范围内． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
过点作，垂足为，根据解直角三角形，即可计算出的度数，再根据平行线的性质即可算出的度数；
根据中的结论和已知条件可计算出的度数，根据三角函数即可算出的长度，再根据已知条件即可算出的长度，即可得出答案．  

20.【答案】 

【解析】解：结论：．
理由：为的直径，点是的中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：；

证明：连接，
是的直径，是的中点，
，
，
，垂足为点，

，
，
点是的中点，
，
，
，
；

解：连接，，，
，垂足为点，
，
，由得，
，
又，
，
在中，，，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
≌，

又，，
．
证得是等腰直角三角形即可得到结论；
根据点是的中点，得出，由，证得，得到，根据题意得到，进一步得到；
先解直角三角形得到，从而得到，证得是等边三角形，则，然后证得≌，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定化为性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：顶点为，
．
又抛物线过点，
，
．
；

抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得新抛物线．
分情况讨论：
如图，

若点，均在轴正半轴上，设，则，
由对称性可知：，
，．
．
．
如图，

若点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，则，
由对称性可知：，
，．
．
．
综上：或；

新抛物线开口向上，对称轴为直线，
当和时，函数值相等．
又当，时，均有，
结合图象，得．
．

【解析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
设抛物线解析式为顶点式，把点代入求值；
根据二次函数图象几何变换规律得到新抛物线．
利用抛物线解析式求得点、的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得的值即可；
根据抛物线的对称性质知：当和时，函数值相等．结合图象，得解该不等式组得到：．
 

22.【答案】   

【解析】解：直接应用：由与可得：，
所以当时，函数有最小值为，
故答案为：，；
变形应用：由与可得，，
化简，得，
将看作一个整体，则，
所以当，即时，函数有最小值；
实际应用：设行驶千米的费用为，则由题意得：，
则平均每千米的运输成本为，
变形，得，
所以当．，即时，取最小值；
答：汽车一次运输的路程为千米时，平均每千米的运输成本最低，最低是元．
直接应用，根据题意得到，利用上面的知识即可得到此函数的最小值；
变形应用，同理可得，将看作一个整体即可求出最小值；
实际应用，根据题意列出函数关系式，根据上面的知识解答即可．
本题考查的是反比例函数的应用、不等式的性质，熟记是解题的关键．
 

23.【答案】
证明：如图中，连接，作的外接圆．

点是两边垂直平分线的交点
点是的外心，
，
，
，
，，
，
．

解：如图中，在射线的下方作，过点作于．

，，
∽，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，，，
，
． 

【解析】解：如图中，由图形的拼剪可知，，
故答案为：．
解：如图中，


，，
，
．
故答案为：．

见答案．

见答案．
 

根据图形的拼剪可得结论．
利用勾股定理解决问题即可．
如图中，连接，作的外接圆利用圆周角定理以及三角形内角和定理，即可解决问题．
如图中，在射线的下方作，过点作于利用相似三角形的性质证明，求出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了三角形的外心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．