2021-2022学年湖南省长沙市望城区黄金中学九年级（下）入学数学试卷-（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙市望城区黄金中学九年级（下）入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    长郡中学官方微信曾连续两次入选获评“长沙十大最具影响力政务微信”，全年发布的图文消息总阅读量超万，万这个数用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

4.    在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.    下列函数中，随的增大而增大的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.    长沙网红打卡点铜官窑古镇为迎接“五一”假期新增了骑马、威亚、卡丁车、低空飞行项互动体验项目，并对部分游客所喜欢的项目进行调查问卷每个游客均只选择一个喜欢的项目，统计如图，其中喜欢威亚的有人，则本次调查的游客有人．(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，平行四边形的面积为，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在平面直角坐标系中，不论取何值时，抛物线的顶点一定在上．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 二次根式有意义，则的取值范围是______．
12. 已知圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为______．
13. 从年起长沙市学校体育中考增加素质类选测项目：立定跳远和分钟跳绳．小熙选择了分钟跳绳项目，她次跳绳训练的成绩为，，，，，，，，，，这组数据的中位数是______．
14. 大围山野外滑雪场是拥有一定倾斜度的高级道、专业练习道．有一段雪道的垂直高度约为米，它的坡度为：，那么这段雪道长约为______米结果保留根号．
15. 在“双减”政策下，我校开展了丰富多彩的兴趣小组和社团活动．活动中小民邀请小刚玩“你想我猜”的游戏，游戏规则是：
    第一步：请小刚在心中想一个喜欢的数字，并记住这个数字；
    第二步：把喜欢的数字乘以再加上，得到一个新的数；
    第三步：把新得到的数除以，写在纸条上交给小民．
    小民打开纸条看到数字，马上就猜出了小刚喜欢的数，这个数是______．
16. 如图，的半径为，是的内接三角形，连接、，若弦的长度为，则______度．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
    人教版初中数学教科书八年级上册第、页告诉我们作一个角等于已知角的方法：
    已知：．
    求作：，使．
    作图：以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；
    画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
    以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；
    过点画射线，则．
    
    请你根据以上材料完成下列问题：
    完成下面证明过程将正确答案写在相应的横线上．
    证明：由作图可知，在和中，
    ，
    ≌______，
    ．
    这种作一个角等于已知角的方法依据是______填序号
    ；；；．
20. 本小题分
    我校九年级为庆祝中国共产党成立周年开展了文艺汇演活动，需要从九年级挑选出汇演活动的主持人．
    若有三名候选人，，竞选主持人，要求九年级的每名学生只能从这三人中选一人候选人也参与投票，经统计，三名候选人，，的得票数之比为：：，若候选人所得票数为票，问九年级共有多少人？
    若有名男生，名女生为候选人，从这名学生中随机抽取名学生作为主持人，请用列举法或树状图法求恰好抽到名男生和名女生的概率．
21. 本小题分
    如图，将菱形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．
    求证：四边形是菱形；
    若菱形的对角线，，求菱形的面积．

22. 本小题分
    脐橙是秋冬季的时令水果，富含维生素一果园有甲、乙两支专业脐橙采摘队，甲队比乙队每天多采摘公斤脐橙，甲队采摘公斤脐橙所用的天数与乙队采摘公斤脐橙所用的天数相同．
    甲、乙两队每天分别可采摘多少公斤脐橙？
    趁着为数不多的晴天，果园计划在天内采摘公斤脐橙，先由甲、乙两队合作，中途由于甲队被调用，剩下的只能由乙队单独采摘，问甲、乙两队至少合作多少天才能在规定时间内采摘完？
23. 本小题分
    如图，为的直径，、为圆上两点，连接、，且，延长与的延长线相交于点．
    求证：∽；
    若，求的值．

24. 本小题分
    我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线为常数对称，则把该函数称之为“函数”．
    在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”．
    ______
    ______
    ______
    若关于的函数为常数是“函数”，与为常数，相交于、两点，在的左边，，求的值；
    若关于的“函数”为常数经过点，且，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值．
25. 本小题分
    如图，抛物线为常数，与轴分别交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，且．
    求的值；
    点是该抛物线的顶点，点是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接、、、，当时，求的值；
    点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，当最大时，求点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义直接求解．
本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项，系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
B.与不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
C.，故C符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的运算法则进行计算即可．
本题考查了完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为随增大而增大，
所以，
故选：．
根据一次函数的性质分析即可．
本题考查正比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是能根据一次函数的性质和正比例函数的性质，得到随的增大如何变化．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

，
两直线平行，同旁内角互补，
，
，
，
两直线平行，同位角相等，
故选：．
根据平行线的性质解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：本次调查的游客人数有；人．
故选：．
根据喜欢威亚的人数和所占的百分比即可得出答案．
本题考查的是扇形统计图．读懂统计图，从扇形统计图中得到相关的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，平行四边形的面积为，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：
抛物线的顶点坐标是，
当时，
，
，
，
，
抛物线的顶点在直线上，
故选：．
把把抛物线解析式化为顶点式，求出顶点坐标，然后把顶点坐标分别代入四个选项进行验证即可．
本题考查二次函数的性质，关键是把抛物线解析式化为顶点式，求出顶点坐标．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径是，
圆锥的底面周长为：，
圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，
圆锥的侧面积为：，
故答案为：．
根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：这一组数从小到大排列为：，，，，，，，，，，
中间两个数据分别为：，，
这组数据的中位数是：．
故答案为：．
将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：的坡度为：，米，
米，
由勾股定理得：米，
故答案为：．
根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设小刚喜欢的数字为，
由题意可得：，
解得，
即小刚喜欢的数字为，
故答案为：．
可以先设小刚喜欢的数字为，再根据题意可以列出方程，然后求解即可．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于，
则，，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
首先过点作于，由垂径定理可得，又由锐角三角函数，可求得的度数，然后根据圆周角定理，求得的度数．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简各数，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各数是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】   

【解析】解：在和中，
，
≌，
．
故答案为：，，；

这种作法的依据是．
故答案为：
根据证明三角形全等即可；
根据全等三角形的判定方法解决问题；
本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：人，
即九年级共有人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到名男生和名女生的结果有种，
恰好抽到名男生和名女生的概率为． 

【解析】由候选人所得票数除以所占比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到名男生和名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
即，
，，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，，，
菱形的面积． 

【解析】根据菱形的性质得到，，，推出，根据菱形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的面积公式即可得到答案．
本题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：设乙队每天可采摘公斤脐橙，设甲队每天可采摘公斤脐橙，
根据题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的根，
，
答：乙队每天可采摘公斤脐橙，甲队每天可采摘公斤脐橙；
设甲、乙两队至少合作天才能在规定时间内采摘完，
根据题意得，，
解得，
答：甲、乙两队至少合作天才能在规定时间内采摘完． 

【解析】设乙队每天可采摘公斤脐橙，设甲队每天可采摘公斤脐橙，根据甲队采摘公斤脐橙所用的天数与乙队采摘公斤脐橙所用的天数相同列方程解答即可；
设甲、乙两队至少合作天才能在规定时间内采摘完，根据果园计划在天内采摘公斤脐橙列不等式即可得到结论．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，，
，
，
，
又，
∽；
如图，过点作于，

，
设，，
，
，
，
，
∽，
． 

【解析】由等腰三角形的性质，可求，由邻补角的性质可得，可得结论；
由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，，由相似三角形的性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆的有关知识，锐角三角函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】     

【解析】解；设关于对称的点为，
令，则，
若，则，
不是“函数”；
设关于对称的点为，
令，则，
若，则或，
是“函数”；
设关于对称的点为，
令，则，
若，
则有或，
是“函数”；
故答案为：，，；
一是“”函数，
，
如图，与轴交于点，与轴交于点，作轴交于点，轴交于点，
，，
，
由对称性可知，，
，，
，
，
设，则，
十，，，
，
，
，
；
由题意得，
解得，
此“函数”为，
当时，
时，，
时，十，
，
；
当，即时，
时，十，
时，，
一，
；
当时，
时，，
时，十，
，
舍去：
时，
 时，，
时，，
，
舍去，
综上所述：或．
设关于对称的点为，将点代入，求得，则可判断；
设关于对称的点为，将点代入，求得，则可判断；
设关于对称的点为，将点代入，求得，则可判断；
由题意可求，与轴交于点，与轴交于点，作轴交于点，轴交于点，求出，再由由对称性可知，，求出，设，则，求出十，，，可得，即可求，则；
先判断“函数”为，分四种情况讨论：当时，，则；当，即时，一，则；当时，十，则舍去：时，，则舍去．
本题是函数的综合题，理解新函数的定义，根据函数的特点画出函数图象，数形结合，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
令，得或，
在的左侧，
，，
，
，
将代入，
；
，
抛物线为，
，
，，，
，
，
为直角三角形，
，
是抛物线上的点，
，
，
如图，作轴于点，
，
，
，
解得舍去或，
；
如图，作点关于点对称的点，
，，
，
，
在以为圆心，为半径的圆上，
易知为中位线，当最大时，最大，
连接并延长与相交于点，此时最大，
作轴，垂足为点，
，，，
过点作轴的平行线与过点作轴的平行线相交于点，
，
，
轴，
，
∽，
，即，
，，
 

【解析】求出，再将代入，即可求解；
由可得，然后判断为直角三角形，可得，由点在抛物线上则，作轴于点，则有，即可求；
作点关于点对称的点，求出，在以为圆心，为半径的圆上，易知为中位线，当最大时，最大，连接并延长与相交于点，此时最大，作轴，垂足为点，则可求，，，过点作轴的平行线与过点作轴的平行线相交于点，由轴，，则，可求，，即可求
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用平行线的性质，三角形函数值，数形结合解题是关键．