2022-2023学年河南省鹤壁市淇滨区致远中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省鹤壁市淇滨区致远中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分

1.    使式子有意义的的取值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    直线：为常数的图象如图，化简：得(    )

A.
B.
C.
D.

4.    一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

5.    某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的元降到了元，设平均每次降价的百分率为，列出方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.    已知一元二次方程的两根为，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影长为，，，，点到的距离是，则点到的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.    如图，是内一点，，，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点若，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分

11. 写出一个比大且比小的整数______．
12. 当 ______ 时，代数式比代数式的值大．
13. 九章算术中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为______米．

14. 如图，在中，，为上一点，连接交于点，已知，，，则______．

15. 你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢以方程即为例加以说明．数学家赵爽公元世纪在其所著的勾股圆方图注中记载的方法是：构造图如下面左图中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得那么在下面右边三个构图矩形的顶点均落在边长为的小正方形网格格点上中，能够说明方程的正确构图是_____只填序号
     

三、解答题（本大题共8小题，共75分

16. 计算：
    ；
    ．
17. 解方程：
    ；
    ．
18. 已知关于的方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
19. “题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答．

20. 如图，平直的公路旁有一灯杆，在灯光下，小丽从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长小丽身高．
    求灯杆的长；
    若小丽从处继续沿直线前进到达处如图，求此时小丽的影长的长．
     

21. 网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，某销售商亲自在一网络平台上进行直播销售某品牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为元，每日销售量与销售价元满足关系式：经销售发现，销售价不低于成本价格且不高于元设板栗公司销售该板栗的日获利为元．
    请求出日获利与销售价之间的函数关系式；
    当元时，此时的销售单价定为多少元？
22. 如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为．
    
    用含的代数式表示：______，______．
    当以，，为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少？
23. 如图，已知边长为的正方形，是边上一动点与、不重合，连结，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．
    求证：∽；
    若，求的面积；
    请直接写出为何值时，的面积最大．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：使式子有意义，则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.无法合并，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：直线：为常数的图象可知，
，．




故选D．
先从一次函数的图象判断的正负值，的正负值，然后再化简原代数式．
本题主要考查二次函数的性质及其化简，绝对值的化简．
 

4.【答案】 

【解析】解：将原方程整理得，
，
方程有两个相等的实数根，
故选：．
化为一般形式，求出判别式即可得答案．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
由题意得出方程为：．
故选：．
根据降价后的价格原价降低的百分率，本题可先用表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式，其中是变化前的原始量，是两次变化后的量，表示平均每次的增长率．
 

6.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两根为，，
，，
．
故选：．
根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一元二次方程的解，找出，是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查相似三角形的对应高的比等于相似比．
由平行得到两三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解．
【解答】
解：设点到的距离是
，，，点到的距离是，
∽
，

故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：．
利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，，分别是，，，的中点，
，，，，
四边形的周长，
故选：．
根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】【试题解析】

解：，
，
，为中点，
，
，
又平分，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得且，结合角平分线可得，即，进而可得，由可得答案．
本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．

11.【答案】或或 

【解析】解：，，
比大且比小的整数有、、，
故答案为：或或．
根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用开平方法解一元二次方程，注意题目中信息的提取，本题属于比较典型的题目．代数式比代数式的值大，即将两式相减值为，即可得到关于的方程，解方程可得出答案．
【解答】
解：由题意得：，
可得：，
，
故．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
∽，
，
，
，
即井深为米，
故答案为．
首先证明∽，得到，将相关数值代入，求出即可．
本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，
，
故答案为：．
根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得到的长．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积为，可求出，此题得解．
【解答】
解：即，
构造如图中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
据此易得．
故答案为：．  

16.【答案】解：；

；


． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
先化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，，，
，
，
所以，． 

【解析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．
 

18.【答案】证明：，

，
而，即，
方程总有两个实数根；

解：，
或，
，，
当为正整数或时，为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
正整数的值为或． 

【解析】先计算判别式的值得到，再根据非负数的值得到，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
利用因式分解法解方程得到，，然后利用整数的整除性确定正整数的值．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

19.【答案】解：，
不论取何值，这个代数式的值总是正数；当取时，这个代数式的值很小，最小值是；
，
不论取何值，这个代数式的值总是负数；当取时，这个代数式的值最大，最大值是． 

【解析】首先将代数式变形为，根据非负数的意义即可得到结论．
首先将代数式变形为，根据非负数的意义即可得到结论．
本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
 

20.【答案】解：如图，根据题意得：，米，
∽，
，
即，
解得：米；
答：灯杆的高度为；

如图，根据题意得：，米，
∽，
，
即，
解得：米；
答：此时小丽的影长的长是． 

【解析】根据题意得出，由平行线得出∽，得出对应边成比例，即可得出结果．
根据相似三角形∽的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可．
本题考查了中心投影及相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
 

21.【答案】解：根据题意得：，
日获利与销售价之间的函数关系式为；
当时，
，
解得，
答：销售单价定为元． 

【解析】日获利为每千克利润销售量，代入数据可得答案；
结合的结论，令解出的值即可．
本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
 

22.【答案】解：厘米，厘米；
  ，
当时，∽，即，解得；
当时，∽，即，解得．
运动时间为秒或秒． 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
利用速度公式求解；
由于，利用相似三角形的判定，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程即可．
【解答】
解：厘米，厘米，
故答案为：厘米，厘米；

见答案．  

23.【答案】解：四边形是正方形，，
，
，，
，
，
∽；
四边形是正方形，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
由知，∽，
，
，
，
；
设，则，
，
由知，∽，
，
，
，
，
当时，． 

【解析】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出∽是解本题的关键．
利用同角的余角相等，判断出，进而得出∽，即可得出结论；
先判断出，求出，进而表示出，由∽，得出，求出，最后用三角形面积公式即可得出结论；
同的方法，即可得出，即可得出结论．