2023-2024学年河南省郑州市中牟县东枫外国语学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省郑州市中牟县东枫外国语学校九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，下列式子不成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若将中的与都扩大倍，则这个代数式的值(    )

A. 不变 B. 扩大倍 C. 扩大倍 D. 缩小到原来的

4.  小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  中国古代的“四书”是指论语孟子大学中庸，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分若从这四部著作中随机抽取两本先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本，则抽取的两本恰好是论语和大学的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程课程开设后学校花费元购进第一批面粉，用完后学校又花费元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的倍，但每千克面粉价格提高了元设第一批面粉采购量为千克，依题意所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

8.  关于的不等式的解集如图所示，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是(    )
若，则点到的距离为；
；
点在的中垂线上；
若，则．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上轴，，，，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个分式，并写出使其有意义的条件______．

12.  如图，在▱中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是______．

13.  如图，在中，，分别是和上的点，，，，且，则 ______ ．

14.  如图，已知函数与函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是______ ．

15.  如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，且动点，同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动那么运动到第______ 秒时，点，，以及的边上一点恰能构成一个平行四边形．

三、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
因式分解：；
解不等式组：．

17.  本小题分
化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学：解：原式；
乙同学：解：原式
甲同学解法的依据是______ ，乙同学解法的依据是______ ；填序号
等式的基本性质；
分式的基本性质；
乘法分配律；
乘法交换律．
请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从，，，，中挑选一个合适的数代入求值．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
将沿轴方向向左平移个单位后得到，画出；
将绕顺时针旋转后得到，画出，并写出顶点，，的坐标．

19.  本小题分
如图，中，点在边上，且．
请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线保留作图痕迹，不写作法；
若中所作的角平分线与边交于点，连接求证：．

20.  本小题分
“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多元，用元购买的跳绳个数和用元购买的键子数量相同．
求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，请你求出学校花钱最少的购买方案．

21.  本小题分
课本再现

定理证明
为了证明该定理，小明同学画出了图形如图，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在▱中，对角线，垂足为．
求证：▱是菱形．

知识应用
如图，在▱中，对角线和相交于点，，，．
求证：▱是菱形．

22.  本小题分
已知：是等腰三角形，其中，，点为边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在点处，连接、．
当时，如图，此时恰好平分，则和的数量关系是：______ ；
当时：
请判断线段，，的数量关系，并根据图进行证明提示：过点作，交与；
若，在点的移动过程中，当是等腰三角形时，直接写出此时的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：图形既是中心对称图形又是轴对称图形，
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】
解：，
扩大倍，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：只有两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，
带两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，
故选：．
只有两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，平行四边形的四个顶点确定了，平行四边形也就确定了．
本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是如何确定平行四边形的四个顶点．

5.【答案】 

【解析】解：记论语孟子大学中庸分别为，，，，画树状图如下：

一共有种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是论语即和大学即的可能结果有种可能，
抽取的两本恰好是论语和大学的可能结果，
故选：．
用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是论语和大学的可能结果，再利用概率公式求出即可．
本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：．
故选：．
根据第二批面粉比第一批面粉的每千克面粉价格提高了元列方程即可．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．

7.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据一元二次方程根的判别式解答即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，
，
由数轴可得，
，即．
故选：．
解不等式求出，再由数轴可得，解得．
本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是利用数轴上的解集求出的值．

9.【答案】 

【解析】解：根据作图的过程可知，是的平分，到的距离和相等，故正确．
如图，过作于，

在中，，
，
又是角平分线，
，
，
故正确；
，
．
点在的中垂线上．故正确．
如图，在和中，
，为公共边，有≌，
在等腰三角形中，为中垂线，≌，
≌≌，
，
故正确．
综上所述，正确的结论是：，共有个．
故选：．
根据题意可知为的角平分线，到的距离和相等也是；过作于，在中，所以；，为等腰三角形，可得到结论；可证≌≌，得到对应结论．
此题考查的是作图基本作图，角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是求解的关键．

10.【答案】 

【解析】解：连接，过点作，垂足为，如图所示，
，，，
≌，
，
在中，，，
，
，
在中，，
，
点的坐标为，
每次旋转，，
每旋转次为一个循环．
，
第次旋转结束时点的位置和第次旋转结束时点的位相同，
第次旋转结束时，点的坐标为，
故选：．
连接，过点作，垂足为，通过证得≌，得出，通过解直角三角形得到点的坐标为，由每旋转次为一个循环，即可得出第次旋转结束时点的位置和第次旋转结束时点的位相同，从而得出第次旋转结束时，点的坐标为．
本题考查图形的旋转，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第次旋转后点的位置是解题的关键．

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：分式：．
故答案为：答案不唯一．
写出一个分式，注明有意义的条件即可．
本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，

，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质证明，，进而可得和的长，然后可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．

13.【答案】 

【解析】解：，即，
，
．
故答案为：．
利用比例线段得到，然后根据比例性质求．
本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如  ：：即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了比例的性质．

14.【答案】 

【解析】解：根据图象得当时，．
故答案为：．
利用函数图象，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

15.【答案】或 

【解析】解：当时，点、、的位置如图所示：

四边形为平行四边形，
，，，
，，
，
，
，
即：，
；
当时，此时、、三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
时，点、、的位置如图所示：

四边形为平行四边形，
，，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，，
解得：，
当时，点、、的位置如图所示：

则，，
由题意可知：为等边三角形，
，即：，解得，此时、重合，不能构成平行四边形．
综上所述：的值为或，
故答案为：或．
分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解．
本题是考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．

16.【答案】解：原式
；
，
解不等式得，
解不等式得，
原不等式组得解集为． 

【解析】利用提取公因式法分解；
先解不等式组中的不等式，再通过数轴或口诀确定不等式组的解集．
本题考查了因式分解、一元一次不等式组，掌握因式分解的提公因式法、解一元一次不等式组的一般步骤是解决本题的关键．

17.【答案】   

【解析】解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：；；
若选择甲同学的解法，
原式


；
若选择乙同学的解法，
原式


；
，，，
，，，
当时，原式．
根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答；
若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，即可解答，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；，，．
 

【解析】利用点平移的坐标变换规律得到，，的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

19.【答案】解：如图所示，即为所求，

证明：平分，
，
，，
≌，
． 

【解析】利用角平分线的作图步骤作图即可；
证明≌，即可得出结论．
本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

20.【答案】解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：跳绳的单价为元，毽子的单价为元．
设购买毽子个，则购买跳绳个，
依题意，得：，
解得：，
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值元，
则，
答：当学校购买个跳绳，个毽子时，总费用最少． 

【解析】设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，由题意：用元购买的跳绳个数和用元购买的键子数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设购买毽子个，则购买跳绳个，由题意：跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，列出一元一次不等式组，解之得的取值范围，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花元，再由总价单价数量可得出关于的函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
又，垂足为，
是的垂直平分线，
，
▱是菱形．
▱中，对角线和相交于点，，，
，，
又，
在三角形中，，
，
即，
▱是菱形． 

【解析】根据平行四边形的性质和已知条件判定是的垂直平分线，推出后利用菱形的定义即可判定▱是菱形；
根据平行四边形的性质求出、的长，然后根据勾股定理逆定理判定，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形．”即可得证．
本题主要考查菱形的判定与性质，深入理解题意是解决问题的关键．

22.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
将线段绕点逆时针旋转，使点落在点处，
，，
，
恰好平分，
，
，
≌，
；
故答案为：；
过点作，交与，如图：

，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
由旋转可得，
≌，
，
，
；
当与重合时，此时，如图，

，
，
，
；
当时，如图：

，
，
，
由可知，，
，
同可得≌，
，
，
；
当时，如图：

此时不存在，不符合题意；
综上所述，的面积为或．
证明≌，可得；
过点作，交与，可得是等腰直角三角形，，，再证≌，即可得；
分三种情况：时，；当时，可得，而，可得，≌，可证，故；当时，不存在，不符合题意．
本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，分类讨论思想的应用等，解题的关键是掌握旋转的性质．