长沙市周南教育集团2020-2021学年九年级上学期期中联考数学试题

这是一份长沙市周南教育集团2020-2021学年九年级上学期期中联考数学试题，共22页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，下列运算正确的是，分式的值为0，则，下列说法正确的是，如图，，平分，若，则的度数为等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
湖南省长沙市周南教育集团2020-2021学年九年级上学期期中联考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人
得分



一、单选题
1．在0，2，，﹣1，这五个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．2 C． D．﹣1
2．下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正方形
3．截止到2020年10月23日，电影《我和我的家乡》的累计票房达到了2536000000元，2536000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．分式的值为0，则
A．x=－2 B．x=±2 C．x=2 D．x=0
6．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．度数相等的弧是等弧
C．三角形内心到三边的距离相等
D．垂直于半径的直线是圆的切线
7．如图，，平分，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
8．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且，，则OC的长是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在△ABC中，∠C＝67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为(　　)

A．56° B．50° C．46° D．40°
11．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为

A．3 B．4 C． D．

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

评卷人
得分



二、填空题
13．若1是的解，则________．
14．已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是_____．
15．如图，在平行四边形中，，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，交于点，则的长为_______．

16．如图，O是正△ABC内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论正确有______．(请填序号)
①点O与的距离为4；②；③；④．


评卷人
得分



三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．解不等式组．
20．中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
(1)写出扇形图中________%，并补全条形图；
(2)在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是________个，________个；
(3)该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上(含6个)得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？

21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出△ABC关于y轴对称的；
(2)画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的，求、、的坐标．

22．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一周获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的周销售量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件)
12
13
14
15
16
y(件)
120
110
100
90
80
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的周销售量固定为40件．试问：当x为多少时，线上和线下周利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
23．如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)求AD的长．

24．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG=2时，求⊙O的直径．

25．已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M.

(1)a、b的值；
(2)设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQˆ扫过的区域的面积；
(3)设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围.

参考答案
1．D
【分析】
将这五个数比较大小，即可求解．
【详解】
解：∵﹣1＜＜＜0＜2，
∴最小的数为﹣1．
故选：D．
【点睛】
本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握比较有理数大小的方法．
2．A
【分析】
根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项．
【详解】
A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意；
D、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，正确理解轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．
3．B
【分析】
直接根据科学记数法进行求解即可．
【详解】
由2536000000用科学记数法表示为；
故选B．
【点睛】
本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
4．C
【分析】
根据完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的乘除法进行排除选项即可．
【详解】
A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误；
故选C．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的乘除法是解题的关键．
5．C
【分析】
根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0解答.
【详解】
根据分式的值为0的条件，要使，则有
即
解得．
故选C．
【点睛】
本题考查分式的值为0，分子等于0，分母不等于0，熟记概念是关键.
6．C
【分析】
利用确定圆的条件，等弧的概念，切线的判定，角平分线的性质进行判断即可．
【详解】
A选项：不共线的三点确定一个圆，则A错误；
B选项：能够重合的弧是等弧，则B错误；
C选项：三角形内心到三边的距离相等，则C正确；
D选项：过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，则D错误．
故选C．
【点睛】
考查了三角形的内切圆与内心，熟练运用确定圆的条件，等弧的概念，切线的判定，角平分线的性质是本题的关键．
7．B
【分析】
根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得答案．
【详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
8．D
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：由题意可得：
，解得：，
在数轴上的表示为：
；
故选D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的解法是解题的关键．
9．D
【分析】
连接OA，根据垂径定理可得AD=DB，然后根据勾股定理可求解．
【详解】
解：连接OA，如图所示：

∵半径OC⊥AB，
∴AD=DB，
∵AB=8，OD=3，
∴AD=4，
在Rt△ADO中，，
∴OC=OA=5，
故选D．
【点睛】
本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
10．C
【分析】
根据旋转的性质和∠C=67°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度数，从而可以求得∠B′C′B的度数．
【详解】
∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC上，
∴AC=AC′，∠C=∠AC′B′，
∴∠C=∠AC′C，
∵∠C=67°，
∴∠AC′B′=67°，∠AC′C=67°，
∴∠B′C′B=180°-∠AC′B′-∠AC′C=46°，
故选C．
【点睛】
考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
11．C
【分析】
原价为18，第一次降价后的价格是18×（1-x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2，则即可求得函数关系式．
【详解】
解：原价为18，
第一次降价后的价格是18×（1-x）；
第二次降价是第一次降价后的价格的基础上降价：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2，
则函数解析式是：y=18（1-x）2，
则A、B、D选项错误，C选项正确．
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的增长率问题.本题需要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
12．B
【详解】
试题解析：∵P在直线y=-x+6上，
∴设P坐标为（m，6-m），
连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，

在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2=PQ2+OQ2，
∴PQ2=m2+（6-m）2-2=2m2-12m+34=2（m-3）2+16，
则当m=3时，切线长PQ的最小值为4．
故选B．
点睛：由P在直线y=-x+6上，设P（m，6-m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在直角三角形OPQ中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出PQ的最小值．
13．2
【分析】
把x=1代入方程进行求解即可．
【详解】
解：把x=1代入方程得：
，解得；
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
14．21π．
【分析】
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】
解：圆锥的侧面积＝×2π×3×7＝21π．
故答案为21π．
【点睛】
本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．2
【分析】
根据两圆相交两圆心的连线垂直平分公共弦，又因为以点，为圆心的圆半径相等，因此，PF垂直平分AB，即AE=BE=3，由已知条件可知，，BF=2BE=6，即可得出CF=8-6=2．
【详解】
解：由两圆相交我们可知：两圆心的连线垂直平分公共弦，
由题意可得，
又∵
∴
∴
∴
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解此题的关键是根据题意得出PF垂直平分AB．
16．①②④
【分析】
连接，根据旋转的性质即可得到为等边三角形，进而可求证①②③的正确性，然后将△AOB绕点A逆时针旋转60°至，连接OD，易得△ACD也为等边三角形，由此可求解．
【详解】
解：连接，如图所示：

∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，
∴，，
∴为等边三角形，
∵，，，
∴，，故①正确；
∴，
∴，
∴，故②正确；
过点B作BE⊥于点E，如图所示，
∴，
∴，
∴，
∴，故③错误；
将△AOB绕点A逆时针旋转60°至，连接OD，如图所示：

同理易得△AOD为等边三角形，OD=OA=3，OB=DC=4，∠ODC=90°，
∴，故④正确；
∴正确的有①②④；
故答案为①②④．
【点睛】
本题主要考查勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键．
17．
【分析】
根据二次根式的运算、负指数幂及零次幂进行求解即可．
【详解】
解：原式=．
【点睛】
本题主要考查二次根式的运算、负指数幂及零次幂，熟练掌握二次根式的运算、负指数幂及零次幂是解题的关键．
18．，
【分析】
先进行分式的化简，然后代入求解即可．
【详解】
解：原式=，
把代入得：原式=．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值及二次根式的分母有理化，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的分母有理化是解题的关键．
19．
【分析】
根据一元一次不等式组的解法直接进行求解即可．
【详解】
解：
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
20．（1）25；（2）5；5；（3）810名
【分析】
（1）根据扇形统计图可直接进行求解，然后依此进行作图即可；
（2）由统计图可求样本总人数，然后根据众数及中位数的求法进行求解即可；
（3）根据题意可直接进行列式求解．
【详解】
解：（1）由扇形统计图可得：
，
故答案为25；
∴总人数为：60÷30％=200（名），
6个以上的人数为：200×25％=50（名），
画图如图所示：

（2）由（1）及题意得：
众数为5个；中位数为：（个）；
故答案为5，5；
（3）由统计图可得：
（名）；
答：该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有810名．
【点睛】
本题主要考查扇形统计图及条形统计图、众数、中位数，熟练掌握扇形统计图及条形统计图、众数、中位数是解题的关键．
21．（1）画图见详解；（2）画图见详解，，，
【分析】
（1）分别描出点A、B、C三点关于y轴的对称点，然后依次连接即可；
（2）根据旋转图形的性质直接作图即可，然后根据图像得出点、、的坐标．
【详解】
解：（1）分别描出点A、B、C三点关于y轴的对称点，如图所示：

（2）将△ABC绕B点顺时针旋转90°后的，如图所示：

∴由图像可得：，，．
【点睛】
本题主要考查图形与坐标，熟练掌握平面直角坐标系中图形的对称及旋转是解题的关键．
22．（1）；（2）；730元．
【分析】
（1）根据线下周销售量与线下售价存在一次函数关系，将表格中任意两个数值代入一次函数，计算求解即可．
（2）先算线上、线下销售额总数，再减去线上、线下总成本，所得结果就是线上、线下周利润总和，其结果可表示成以x为自变量的二次函数，运用求二次函数最大值的方法运算求解．
【详解】
（1）解：线下的周销售量y与线下售价x()满足一次函数的关系，
，
从题中表格任取两组数值，联立二元一次方程组，

解得：
．
（2）解：设线下每件商品售价x元，线上每件商品售价元，
销售额=单价×销售量
线上、线下总销售额=，
成本=每件商品进价×件数
线上、线下总成本=，
总利润=总销售额-总成本
可列式子：
整理得：，
设总利润y与商品线下每件售价x存在二次函数关系：，
当 ，函数有最大值，
最大值为．
当时，线上和线下周利润总和达到最大，最大利润是730元．
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数在销售中求最大值，找出题中的数量关系，掌握二次函数求最值的方法是解题关键．
23．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据圆周角定理可知，，由直径所对圆周角是90°，可知和互余，推出和互余，和互余，从而证明结论．
（2）DC平分∠ACB可知，根据圆周角定理可知，是等腰直角三角形，AD的长是圆半径的倍，计算求出答案．
【详解】
（1）和是所对圆周角，
；
AB是圆的直径，
，
在中，，
，
，
，
，AE是⊙O的切线．
（2）如图：

AB是圆的直径，DC平分∠ACB，
，，
，
，是直角三角形；
，，
．
【点睛】
本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．
24．(1) ∠B与∠C的度数和为120°；(2)详见解析；（3）8.
【分析】
根据题意得出∠B=∠D,∠C=∠A,代入∠A+∠B+∠C+∠D=360°求出即可;
求出△BED≌△BEO ,根据全等得出∠BDE=∠BOE ,连接OC,设∠EAF=α,则∠AFE=2∠EAF=2α,求出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α,∠AOC=180°-2α,即可得出等答案;
过点O作OM⊥BC,再由角与角之间关系得出边与边之间关系，进而得出解.
【详解】
（1）在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，即∠B与∠C的度数和为120°；
（2）证明：∵在△BED和△BEO中BD＝BO，∠EBD＝∠EBO，BE＝BE∴△BED≌△BEO，∴∠BDE=∠BOE，∵∠BCF=∠BOE，∴∠BCF=∠BDE，连接OC，设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α，∴∠ABC=∠AOC=∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；
（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴BC=2BM=BO=BD，∵DG⊥OB，∠DBO=30°，∵DH=BG=2时，BD=4，直径=8.

【点睛】
本题主要考查多边形内角和定理，全等三角形判定等知识点，灵活运用是根据.
25．（1）a=1，b=4；（2）MQ扫过的面积为；（3）或
【分析】
（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．
（2）连接MQ、DN后，由图可以发现曲线MQ扫过的面积正好是▱MQND的面积；连接QD，则▱MQND的面积是两倍的△MQD的面积，所以这道题实际求的是△MQD的面积；由（1）的抛物线解析式，不难求出顶点M的坐标，联立直线OM和直线CD的解析式可以求出点D的坐标；以OQ为底，M、D两点的横坐标差的绝对值为高即可得△MQD的面积，则此题可求．
（3）在平移过程中，抛物线的开口方向和大小是不变的，即二次项系数不变；抛物线的顶点始终在直线OM上，根据直线OM的解析式（y=x）可表达出抛物线顶点的坐标（h，h），可据此先设出平移后的抛物线解析式；若求平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时顶点横坐标的取值范围，那么就要考虑到两个关键位置：
①抛物线对称轴右侧部分经过C点时，抛物线顶点横坐标h的值；
②抛物线对称轴左侧部分与直线CD恰好有且只有一个交点时，h的值；
【详解】
解：（1）将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，得：
，
解得：a=1、b=4．
（2）连接MQ、QD、DN，

由图形平移的性质知：QN∥MD，即四边形MQND是平行四边形；
由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，则点M（-2，-1），
当x=0时，y=3，
∴Q（0，3）；
设直线OM的解析式为y=kx，
∴-2k=-1，
∴k=，
∴直线OM：y=x，联立直线y=-2x+9，得：
，
解得
．
则D（）；
曲线QM扫过的区域的面积：S=SMQND=2S△MQD；
（3）由于抛物线的顶点始终在y=x上，可设其坐标为（h，h），设平移后的抛物线解析式为y=（x-h）2+h；
①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C（0，9）时，有：
h2+h=9，解得：h=（依题意，舍去正值）
②当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时，依题意：
，
消去y，得：x2-（2h-2）x+h2+h-9=0，
则：△=（2h-2）2-4（h2+h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，
结合图形，当平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，h＜或h＞4．
【点睛】
该题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的图相与性质，二次函数的平移，一次函数与二次次函数交点坐标的求法，一元二次方程根的判别式等知识；（2）题中，要通过观察图形找出曲线扫过的面积和平行四边形的面积之间的联系；最后一题中，要注意“射线CD”这个条件及分类思想的运用．