专题1.3 正方形的性质与判定（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

这是一份专题1.3 正方形的性质与判定（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版），共30页。
专题1.3 正方形的性质与判定（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1. 理解正方形的概念；
2. 探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；
3. 通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；
4. 通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力．
【知识点梳理】
考点 1 正方形的概念与性质 ：
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

考点3 正方形的判定：
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：



【典例分析】
【考点 1 正方形的性质】
【典例1】（2022春•溆浦县期中）一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（　　）
A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm
【变式1-1】（2021秋•简阳市 期中）正方形ABCD的一条对角线长为2，则正方形ABCD的周长为（　　）
A．4 B．8 C．2 D．4
【变式1-2】（2020秋•武功县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）

A．4 B．2 C． D．2
【变式1-3】（2022•榆林模拟）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【典例2】（2020秋•莲湖区期中）如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　）

A．10° B．15° C．30° D．22.5°
【变式2-1】（2010秋•金口河区期末）如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，∠BEC＝70°，且△BCE≌△DCF．连接EF，则∠EFD的度数是（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【变式2-2】（2021春•永嘉县校级期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　）

A．20° B．22.5° C．25° D．30°
【变式2-3】（2021秋•文山市期末）如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（　　）

A．30° B．20° C．15° D．10°
【变式2-4】（2022•兴宁区校级模拟）如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3）
【典例3】（2020秋•杏花岭区校级月考）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【变式3-1】（2021春•泗水县期末）如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　）

A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1）




【变式3-2】（2019•海口二模）如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）

A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，）
【典例4】（2020秋•城关区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-1】（2020秋•台州期中）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　）

A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④



【变式4-2】（2020春•老城区校级月考）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-3】（2019秋•巴州区校级期中）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（　　）
①AP＝EF
②∠PFE＝∠BAP
③△APD一定是等腰三角形
④PD＝EC

A．①②④ B．②④ C．①②③ D．①③④








【考点 2 正方形的判定】
【典例5】（2021秋•南海区月考）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．
（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．
（2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明．





【变式5-1】（2021春•昆明期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：DE＝EF；
（2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论．






【变式5-2】（2021•平凉模拟）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．







【考点3 正方形的性质与判定】
【典例6】（2022春•覃塘区期中）如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长．






【变式6-1】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积．




【变式6-2】（2022•惠城区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．
（1）求证：矩形DEFM是正方形；
（2）求CE+CM的值．







专题1.3 正方形的性质与判定（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1. 理解正方形的概念；
2. 探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；
3. 通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；
4. 通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力．
【知识点梳理】
考点 1 正方形的概念与性质 ：
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

考点3 正方形的判定：
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：



【典例分析】
【考点 1 正方形的性质】
【典例1】（2022春•溆浦县期中）一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（　　）
A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm
【答案】C
【解答】解：∵正方形的面积为8cm2，
∴正方形的边长为＝2（cm），
∴正方形的对角线长为2×＝4（cm），
故选：C．
【变式1-1】（2021秋•简阳市 期中）正方形ABCD的一条对角线长为2，则正方形ABCD的周长为（　　）
A．4 B．8 C．2 D．4
【答案】D
【解答】解：因为正方形ABCD的一条对角线长为2，
设正方形的边长为a，
根据勾股定理，得a2+a2＝22，
解得a＝，
所以正方形的边长为，
则正方形ABCD的周长为4．
故选：D．
【变式1-2】（2020秋•武功县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）

A．4 B．2 C． D．2
【答案】C
【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
【变式1-3】（2022•榆林模拟）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：∵正方形ABCD的周长为8，
∴BC＝2，
又∵O是正方形对角线的交点，
∴O是BD的中点，
∵H是CD边的中点，
∴OH是△DBC的中位线，
∴OH＝BC＝1．
故选：D．
【典例2】（2020秋•莲湖区期中）如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　）

A．10° B．15° C．30° D．22.5°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°＝∠ADB，
∵BE＝BD，
∴∠BDE＝67.5°，
∴∠EDA＝∠BDE﹣∠ADB＝22.5°，
故选：D．
【变式2-1】（2010秋•金口河区期末）如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，∠BEC＝70°，且△BCE≌△DCF．连接EF，则∠EFD的度数是（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCE＝∠DCF＝90°；
由旋转的性质知：CE＝CF，∠BEC＝∠DFC＝70°；
则△ECF是等腰直角三角形，得∠EFC＝45°，
∴∠EFD＝∠DFC﹣∠EFC＝25°．
故选：D．
【变式2-2】（2021春•永嘉县校级期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　）

A．20° B．22.5° C．25° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，
∵AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，
∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
【变式2-3】（2021秋•文山市期末）如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（　　）

A．30° B．20° C．15° D．10°
【答案】C
【解答】解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AD＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．
故选：C．
【变式2-4】（2022•兴宁区校级模拟）如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3）
【答案】A
【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示：

则∠CHD＝∠DOA＝90°，
∴∠OAD+∠ADO＝90°，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADO+∠CDH＝90°，
∴∠DAO＝∠CDH，
∴△OAD≌△HDC（AAS），
∴CH＝OD，DH＝AO，
∵A（0，2），D（1，0），
∴OA＝2，OD＝1，
∴DH＝2，CH＝1，
∴C（3，1），
故选：A．
【典例3】（2020秋•杏花岭区校级月考）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC＝∠ADO＝90°，

∴∠COE+∠ECO＝90°，
∵A的坐标为（2，），
∴AD＝，OD＝2，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∴∠AOD＝∠ECO，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE＝AD＝，CE＝OD＝2，
∴C（﹣，2）．
故选：A．
【变式3-1】（2021春•泗水县期末）如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　）

A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1）
【答案】A
【解答】解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，

则∠AEO＝∠ODC＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝CO＝BA，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COD＝90°，
∴∠OAE＝∠COD，
在△AOE和△OCD中，
，
∴△AOE≌△OCD（AAS），
∴AE＝OD，OE＝CD，
∵点A的坐标是（﹣3，1），
∴OE＝3，AE＝1，
∴OD＝1，CD＝3，
∴C（1，3），
故选：A．
【变式3-2】（2019•海口二模）如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）

A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，）
【答案】A
【解答】解：作AD⊥y轴于D，作CE⊥y轴于E，如图所示：

则∠ADO＝∠OEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵点A的坐标为（1，），
∴AD＝1，OD＝，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC＝90°，OC＝AO，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE＝AD＝1，CE＝OD＝，
∴点C的坐标为（，﹣1）．
故选：A．
【典例4】（2020秋•城关区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．
∴∠BAE+∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF（故①正确）．
∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°（故②正确），
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC＝x，由勾股定理，得
EF＝x，CG＝x，
∴AG＝AEsin60°＝EFsin60°＝2×CGsin60°＝x，
∴AC＝x+x，
∴AB＝，
∴BE＝﹣x＝，
∴BE+DF＝x﹣x≠x，（故④错误），
∵S△CEF＝，
S△ABE＝ו＝，
∴2S△ABE＝＝S△CEF，（故⑤正确）．
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【变式4-1】（2020秋•台州期中）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　）

A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，故①正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，故②正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，故③错误；
∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB＝∠ACD，
∴AC⊥EF，EG＝FG，
∴AG＝AE•sin60°＝2×＝，CG＝EF＝1，
∴AC＝AG+CG＝+1；故④正确．
所以其中正确的序号是：①②④．
故选：A．

【变式4-2】（2020春•老城区校级月考）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，连接PC，延长AP交EF于H，延长FP交AB于G，

在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，
∵在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①④正确；
只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故③错误；
∵PF∥BC，
∴∠AGF＝∠ABC＝90°，
∵∠BAP＝∠PFE，∠APG＝∠FPH，
∴∠AGP＝∠AHF＝90°，
∴AP⊥EF，故②正确，
故选：C．
【变式4-3】（2019秋•巴州区校级期中）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（　　）
①AP＝EF
②∠PFE＝∠BAP
③△APD一定是等腰三角形
④PD＝EC

A．①②④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解答】解：连接PC，如图所示：
在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，
∵在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①②正确；
∵PF⊥CD，∠BDC＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD＝PF，
∵矩形的对边PF＝EC，
∴PD＝EC，故④正确；
只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故③错误；
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：A．
【考点 2 正方形的判定】
【典例5】（2021秋•南海区月考）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．
（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．
（2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明．

【答案】（1）四边形ACBD是矩形
（2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形
【解答】解：（1）四边形ACBD是矩形，
证明：∵CD平行MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵CD＝OC+OD，
AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形，
证明：由（1）得四边形ACBD是矩形，
∵CB＝BD，
∴四边形ACBD是正方形．

【变式5-1】（2021春•昆明期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：DE＝EF；
（2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论．

【答案】（1）略 （2）
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF＝BC，
∵D为边AB的中点，DE∥BC，
∴DE＝BC，
∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣CB＝CB，
∴DE＝EF；
（2）解：当△ABC满足∠BAC＝45°，四边形ADCF是正方形，
证明：∵四边形DBCF为平行四边形，
∴BD＝CF，
∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∴AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠DCA＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是正方形．
【变式5-2】（2021•平凉模拟）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．

【答案】（1）略 （2）当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM＝CM；
（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，
∵MF＝CM，
∴NE＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
∵M为AD中点，
∴AD＝2AM，
∵AB：AD＝1：2，
∴AD＝2AB，
∴AM＝AB，
∵∠A＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
同理∠DMC＝45°，
∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
【考点3 正方形的性质与判定】
【典例6】（2022春•覃塘区期中）如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长．

【答案】（1）略 （2）20
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF＝CD﹣CG＝AD﹣DH，
∴BE＝CF＝DG＝AH，
在△AEH，△BFE，△CGF，△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，∠AHE＝∠BEF，
∴四边形EFGH是菱形，∠AEH+∠BEF＝∠AHE+∠BFE，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∴∠FEH＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形EFGH是正方形；
（2）解：∵AB＝7，AE＝3，
∴BE＝AH＝AB﹣AE＝7﹣3＝4，
∴EH＝＝＝5，
∵四边形EFGH是正方形，
∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20．
【变式6-1】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积．

【答案】（1）略 （2）4
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD．
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD．
∴∠EDA＝∠EAD．
∴AE＝DE．
∴四边形AFDE是菱形．
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFDE是正方形．
（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝2，
∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝2．
∴四边形AFDE的面积为2×2＝4．
【变式6-2】（2022•惠城区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．
（1）求证：矩形DEFM是正方形；
（2）求CE+CM的值．

【答案】（1） 略（2）6
【解答】解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD．
∵EG⊥CD，EH⊥BC，
∴EG＝EH，
∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，
∴四边形EGCH是矩形，
∴∠GEH＝90°．
∵四边形DEFM是矩形，
∴∠DEF＝90°．
∴∠DEG＝∠FEH．
∵∠EGD＝∠EHF＝90°，
∴△EGD≌△EHF（ASA），
∴ED＝EF．
∴矩形DEFM是正方形；
（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．
∴∠ADE＝∠CDM．
∴△ADE≌△CDM（SAS），
∴AE＝CM．
∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．